中考数学平行四边形(大题培优)及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.如图1,当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明/BMC=90°；如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在/BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；如图3,当bV2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；存在，理由见解析;不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析：(1)由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得/AMB=ZDMC=45°,则可求得/BMC=90°；由/BMC=90°,易证得△ABM-△DMC，设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：X2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定厶>0,即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；由(2)，当bV2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案.试题解析：(1)Tb=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a,又•••在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,.ZBMC=90°.(2)存在，理由：若ZBMC=90°,则ZAMB+ZDMC=90°,又:ZAMB+ZABM=90°,.ZABM=ZDMC，又:ZA=ZD=90°,△ABM-△DMC,.AM_ABCD一DM，xa设AM=x，则一_,ab一x整理得：X2-bx+a2=0,vb>2a,a>0,b>0.二△=b2-4a2>0,•••方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，•••当b>2a时，存在ZBMC=90°,(3)不成立．理由：若/BMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0，vbV2a,a>0,b>0,△=b2-4a2<0,方程没有实数根,•当bV2a时，不存在/BMC=90°,即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接DE、点C关于直线DE的对称点为U,连接AC并延长交直线DE于点P,F是AC的中点，连接DF.求/FDP的度数；连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；连接AC,若正方形的边长为^2，请直接写出△ACC的面积最大值.【答案】(1)45°；(2)BP+DP=、迈AP,证明详见解析；(3)-1.【解析】【分析】1证明上CDE=ZCDE和上ADF=ZCDF,可得上FDP'=-乙ADC=45；作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP^△DAP'(SAS)，得BP=DP',从而得△PAP是等腰直角三角形,可得结论；先作高线C'G,确定△ACC的面积中底边AC为定值2,根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其AACC的面积最大，并求此时的面积.【详解】(1)由对称得：CD=CD,ZCDE=ZCDE,在正方形ABCD中,AD=CD,ZADC=90°,•AD=CD,TF是AC'的中点，DF丄AC,ZADF=ZCDF,1.ZFDP=ZFDC+ZEDC=ZADC=45°；2(2)结论：BP+DP=迈AP,理由是：如图，作AP1±AP交PD的延长线于PZPAP=90°,在正方形ABCD中，DA=BA,ZBAD=90°,.ZDAP=ZBAP,由(1)可知：ZFDP=45°TZDFP=90°.ZAPD=45°,.ZP=45°,.AP=AP,在厶BAP和厶DAP'中，〜BA=DAt</BAP=ADAP,AP=AP'△BAP^△DAP'(SAS),.BP=DP，.DP+BP=PP'=迈AP；1(3)如图，过C作CG丄AC于G,则沐ACC=2AC^C'G,RtAABC中，AB=BC=迈,二AC=弋(2)2+(2)2二2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD,交AC于0,当C1在BD上时，CG最大，此时G与0重合，,厂1•••CD=CD=\：2，0D=-AC=1,二CG=込-1，11_二二ACC=-AC•CG=-x2(迈-1)=迈-1.【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE丄AG于E，BFIIDE,交AG于F．求证：AF=BF+EF.G【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出/BAD为90°,AB=AD，进而得到/BAG与/EAD互余,又DE垂直于AG,得到/EAD与/ADE互余，根据同角的余角相等可得出/ADE=ZBAF,利用AAS可得出△ABF^△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF,等量代换可得证.【详解】TABCD是正方形，AD=AB,ZBAD=90°TDE丄AG,.ZDEG=ZAED=90°.ZADE+ZDAE=90°又TZBAF+ZDAE=ZBAD=90°,.ZADE=ZBAF．TBFIDE，ZAFB=ZDEG=ZAED.在厶ABF与厶DAE中，rZAFB=/AED</ADE=/BAF,、AD=AB△ABF竺△DAE（AAS）..BF=AE.TAF=AE+EF,.AF=BF+EF.点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.4.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边厶ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积.【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形C彳身彳.解析】分析】11在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=亍AB，BE=3AB，得到ZBCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC，得ZAFE=ZBCE=60°.又ZD=60°，得ZAFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因为ZBAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtAABC中，求出BC,AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在厶ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,.ZABC=60°，在等边厶ABD中，ZBAD=60°,•••ZBAD=ZABC=60°,TE为AB的中点，.AE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11.△AEF^△BEC，在△ABC中，ZACB=90°,E为AB的中点，二CE=AB,BE=—AB,22CE=AE,ZEAC=ZECA=30°,.ZBCE=ZEBC=60°,又T△AEF竺△BEC,ZAFE=ZBCE=60°,又TZD=60°,.ZAFE=ZD=60°,.FCIIBD,又

•:乙BAD=ZABC=60°,•••ADIIBC,即FDIIBC,二四边形BCFD是平行四边形；⑵解：在RfABC中，VZBAC=30°，AB=6,•••BC=AF=3,AC=3爲，二S平行四边形bcfd=3x3^3=9爲,S“CF=2x3x人3=~2~,S平行四边形adbc^2【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,在RtAPFE中，ZEPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．（1）如图1,若点P与点0重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为2、巨，当ZD0E=15。时，求线段EF的长；（2）如图2,若RtAPFE的顶点P在线段0B上移动（不与点0、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF.Q(P)【答案】（1）①证明见解析，②2迈；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△A0思△D0E根据全等三角形的性质证明；②作0G丄AB于G,根据余弦的概念求出0F的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP丄BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系.【详解】（1）①证明：V四边形ABCD是正方形，OA=OD,ZOAF=ZODE=45°,ZAOD=90°,ZAOE+ZDOE=90°,VZEPF=90°,.ZA0F+ZA0E=90°,.ZD0E=ZA0F,在厶AOF和厶DOE中,

^ZOAF=ZODE<OA=ODZAOF=ZDOE△AOF竺△DOE,AF=DE；②解：过点O作OG丄AB于G,T正方形的边长为2运,1•••0G=2bc=,TZDOE=15°,△AOF竺△DOE,•ZAOF=15°,.ZFOG=45°-15°=30°，OG…OF==2,cosZDOG•EF=pOF2+OE2=2、；2；(2)证明：如图2,过点P作HP丄BD交AB于点H,團2则厶HPB为等腰直角三角形，ZHPD=90°,.HP=BP，TBD=3BP，.PD=2BP，.PD=2HP，又TZHPF+ZHPE=90°，ZDPE+ZHPE=90°，.ZHPF=ZDPE，又TZBHP=ZEDP=45°,△PHF-△PDE,.PF_PH_1~PE~~PD~2，.PE=2PF．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和厶BCD是“友好三角形”，并且S“cd=SaBCD*应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上,AE=BF，AF与BE交于点0.（1）求证：△A0B和厶A0E是“友好三角形”；（2）连接0。，若厶A0E和厶D0E是"友好三角形”，求四边形CDOF的面积.探究：在厶ABC中，ZA=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和厶BCD是“友好三角形”，将厶ACD沿CD所在直线翻折，得到△AZCD，若厶AZCD与厶ABC重合部分的面1【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2：.【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得厶AOE和厶AOB是友好三角形；（2）△AOE和厶DOE是"友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S=SaBCD-2S“Bf即可求解.探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A'DCB是平行四边形，求出BC和A'D推出ZACB=90°,根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ,求出△A'DC的面积.即可求出厶ABC的面积.试题解析：（1）T四边形ABCD是矩形，.ADIIBC,TAE=BF,

••四边形ABFE是平行四边形，OE=OB,△AOE和厶AOB是友好三角形.(2)T△AOE和厶DOE是友好三角形,1•S“OE=SADOE,AE=ED="D=3，••△AOB与厶AOE是友好三角形,•S"OB=SAAOE,/△AOE竺△FOB,S=S,AOE△FOBS=S,AOD△ABF=4x6-2加x4x3=12.=4x6-2加x4x3=12.四边形CDOF矩形ABCD△ABF探究：解：分为两种情况：①如图1,解：分为两种情况：①如图1,§图1•••S△ACD=SaBCD1•AD=BD=-AB,T沿CD折叠A和•AD=BD=-AB,T沿CD折叠A和A'重合,•AD=A'D=»AB=»x4=2,T△AZCD与厶ABC重合部分的面积等于△ABC面积的！,'△DOC=''△ABC=〈BDC=〈ADC='S^A<DC?DO=OB,A'O=CO,•四边形A0CB是平行四边形,•BC=A'D=2,过B作BM丄AC于M,AB=4,ZBAC=30°,BM=»AB=2=BC,即C和M重合,ZACB=90°,由勾股定理得：AC=「——J'-',11.△ABC的面积是:，BCxAC=】x2x2「：=2.-；②如图2,'Saacd=SaBCD1AD=BD=»AB,T沿CD折叠A和A'重合,11AD=A'D=‘AB=»x4=2,T△A'CD与厶ABC重合部分的面积等于△ABC面积的！,1111.'△doc='△abc='abdc='aadc=_SaA'DC'.DO=OA',BO=CO,.四边形A'BDC是平行四边形,.A'C=BD=2,过C作CQ丄A'D于Q,TA'C=2,ZDA'C=ZBAC=30°,.CQ=：Wc=1,11.1abc=2Saadc=2Saa'dcG’xA'DxCQgJ2*2；即厶ABC的面积是2或2―I考点：四边形综合题．

17.如图，抛物线；"“交x轴的正半轴于点人，点B(■',a)在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC,以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n,(1)求a的值及点A的坐标；当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；记CD与抛物线的交点为E,连接AE,BE，当△AEB的面积为7时，【解析】试题解析：(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令尸0即可求出点A的坐标.(2)求出点D的坐标即可求解；(3)运用△AEB的面积为7,列式计算即可得解.a时，1121a时，试题解析：(1)当/时丄24(舍去)，由「心得"(舍去)，A(3,0)(2)过D(2)过D作DG丄」'轴于G,BH丄'轴于H.TCDIIAB,CD=AB8．TCDIIAB,CD=AB如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为;（2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使/ABC=ZAMN，AM=MN，连接CN，试探究ZABC与/ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点,方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10，CN=^2,AADa以AM为边作正试求EF的长．【答案】（1）NCIAB；理由见解析；（2）ZABC=ZACN；理由见解析；（以AM为边作正试求EF的长．【解析】分析：（1）根据△ABC,△AMN为等边三角形，得到AB=AC,AM=AN且ZBAC=ZMAN=60°从而得到ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM，即ZBAM=ZCAN,证明△BAM竺△CAN,即可得到BM=CN.（2）根据△ABC,△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ZABC=ZAMN,根据相似ABAC三角形的性质得到二，利用等腰三角形的性质得到ZBAC=ZMAN,根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；（3）如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,根据BMAB相似三角形的性质得出二，得到BM=2,CM=8，再根据勾股定理即可得到答案.CNAC详解：（1）NCIIAB，理由如下:

•••△ABC与氐MN是等边三角形，AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,ZBAM=ZCAN,在厶ABM与厶ACN中，'AB=AC<ZBAM=/CAN,AM=AN.△ABM竺△ACN(SAS),.ZB=ZACN=60°，TZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°.CNIIAB；ZABC=ZACN,理由如下：ABAMT==1且ZABC=ZAMN,BCMN.△ABC〜△AMNABAC•…~AMAN,TAB=BC，1.ZBAC=(180°-ZABC),2TAM=MN1.ZMAN==(180°-ZAMN),2TZABC=ZAMN，.ZBAC=ZMAN，.ZBAM=ZCAN，ABM〜AACN,.ZABC=ZACN；如图3，连接AB，AN，T四边形ADBC，AMEF为正方形，.ZABC=ZBAC=45°，ZMAN=45°，.ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC即ZBAM=ZCAN,..AB=AM=汀'~BC~~AN~X,.AB=AC…AMAN,ABM〜AACN

BM=AB~CNACCN

~BMCN

~BMACAB=cos45°=:.BM=2,CM=BC-BM=8,在RtAAMC,AM=、：'AC2+MC2^.102+82=2J4T，EF=AM=2J4T.点睛：本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE丄PB，PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC,垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.AD【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为亍；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.要证PB=PE，只需证到△PGB^△PHE即可；②连接BD,如图2.易证△BOP^△PFE,则有BO=PF,只需求出BO的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形,同理可得（1）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长.详解：（1）①证明：过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.T四边形ABCD是正方形，PG丄BC,PH丄DC,ZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45°.PG=PH,ZGPH=ZPGB=ZPHE=90°.TPE丄PB即ZBPE=90°,ZBPG=90°-ZGPE=ZEPH.在厶PGB和厶PHE中，rZPGB=ZPHE<PG=PH,ZBPG=ZEPH△PGB竺△PHE(ASA),.PB=PE.②连接BD,如图2.T四边形ABCD是正方形，.ZBOP=90°.TPE丄PB即ZBPE=90°,

ZPBO=90°-ZBPO=ZEPF.TEF丄PC即ZPFE=90°,.ZBOP=ZPFE.在厶BOP和厶PFE中，'"BO=ZEPF<ZBOP=ZPFEPB=PE△BOP竺△PFE(AAS),.BO=PF.T四边形ABCD是正方形，.OB=OC，ZBOC=90°，.BC=\：：2OB.TBC=1,.OB=^2,2•••点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为空.2(2)当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示同理可得：PB=PE，PF=(3)①若点E在线段DC上，如图1.TZBPE=ZBCE=90°，.ZPBC+ZPEC=180°．

ZPBCV90°,ZPEC>90°.若厶PEC为等腰三角形，则EP=EC..ZEPC=ZECP=45°,.ZPEC=90°，与ZPEC>90。矛盾，•••当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形.若厶PEC是等腰三角形，TZPCE=135°,.CP=CE，.ZCPE=ZCEP=22.5°.•ZAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.TZPRC=90°+ZPBR=90°+ZCER，.ZPBR=ZCER=22.5°，.ZABP=67.5°，.ZABP=ZAPB..AP=AB=1..AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1：如图1,在RtAABC中，ZC=90°，AC=4,BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造AP□APBQ,求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值.在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为—，当PQ最小时APAC=；小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点，延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE，PC为边作dPCQE,试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小AP时一£的值；问题2：在四边形ABCD中,ADIIBC