安徽省三人行名校联盟2022-2023学年数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．2．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（）A． B． C． D．3．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）A． B．C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．5．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为()A． B． C． D．7．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）10．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.15．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.16．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.18．（12分）若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“数列”，求的取值范围；（3）若数列为“数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．19．（12分）在极坐标系中，已知曲线，．（1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离．20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．21．（12分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．22．（10分）如图，在棱长为的正方形中，，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角．（1）证明：；（2）求与面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．【详解】由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．2、B【解析】

作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.【详解】如下图所示：设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，四边形为平行四边形，且，且，且，则四边形为平行四边形，，平面，则存在直线平面，使得，若平面，则平面，又平面，则平面，此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四边形为平行四边形，可得，为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3、A【解析】

是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．【详解】由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，∴的最小值是．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．4、B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5、C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6、C【解析】

设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．【详解】设分别是的中点平面是等边三角形又平面为与平面所成的角是边长为的等边三角形，且为所在截面圆的圆心球的表面积为球的半径平面本题正确选项：【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．7、A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8、C【解析】

显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.9、B【解析】

根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），选项B正确；选项C，，所以，即，选项C错误；选项D，，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.10、A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.11、C【解析】

将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12、D【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，∴，解得.∴.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．【详解】解：①在中，，故①正确；②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，但是，故②错误；③对于函数，若，满足，但可能为奇函数，故③错误；④函数与的图象，可令，即，即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．故答案为：①．【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．14、【解析】

分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.【详解】首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案为：.【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.15、【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.【详解】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称，可得，，，即时，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.16、7【解析】

根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论.【详解】由题意，当时，，又，解得，当时，由，所以，，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，又，，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）的最小值为1，此时直线：【解析】

（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，设，，则可得，，由求出，将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.【详解】（1）设，则，即整理得（2）设：，将其与曲线的方程联立，得即设，，则，将直线：与联立，得∴∴设.显然构造在上恒成立所以在上单调递增所以，当且仅当，即时取“=”即的最小值为1，此时直线：.（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．18、（1）不是，见解析（2）（3）【解析】

（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证时，是否为数列中的项，即可得答案；（2）由题意得，再对公差进行分类讨论，即可得答案；（3）由题意得数列为等差数列，设数列的公差为，再根据不等式得到公差的值，即可得答案；【详解】（1）当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“数列”（2）因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，．（3）由题意，所以，又因为，且数列为“数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为．【点睛】本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.19、（1）表示一条直线，是圆心为，半径为的圆；（2）.【解析】

（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线的形状，在曲线的方程两边同时乘以得，由可将曲线的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线的形状；（2）由直线过圆的圆心，可得出为圆的一条直径，进而可得出.【详解】（1），则曲线的普通方程为，曲线表示一条直线；由，得，则曲线的直角坐标方程为，即．所以，曲线是圆心为，半径为的圆；（2）由（1）知，点在直线上，直线过圆的圆心．因此，是圆的直径，．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）由点可得,由,根据即可求解；（2）设直线的方程为,联立可得,设,由韦达定理可得,再根据直线的斜率公式求得；由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则/