线面平行证明的常用方法

湖北民族学院学报（自然科学版）200812线面平行证明的常用方法摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。关键词：找平行线；找第三个点；作平行平面；建立空间坐标系立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；证明的内容包括以下内容：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：在线面平行这节里有三个重要的定理：直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。求证：AE//平面DCF.EBEBADCGF与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平面与已知平面的交线。（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO.PEDPEDCBOA∴O是BD的中点又E是PD的中点∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC.方法三：两个平面是平行,其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面_M_D_C_N_A_B_OE（０８安徽卷）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为_M_D_C_N_A_B_OE分析：为的中点,找OA(或AD)中点,再连线。证明：取OB中点E，连接ME，NE又方法四：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。（07全国Ⅱ•理）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；分析：因为侧棱底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系．设，则FyCFyCBE