2023版高考数学一轮总复习第六章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积课件

第二讲空间几何体的表面积与体积课标要求考情分析知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题1.从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考的必考内容，考查形式可以是直接求几何体的表面积和体积，也可以是根据几何体的体积、表面积求某些元素的量.2.同时要特别注意内切球与外接球相关的计算问题，全国卷多年都有考查.3.题型一般为选择题、填空题几何体侧面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl柱、锥、台和球的侧面积和体积(续表)(续表)【名师点睛】(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

题组一走出误区

1.(多选题)如图6-2-1，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()图6-2-1A.圆柱的侧面积与球的表面积相等B.圆锥的侧面展开图的圆心角为πC.圆柱的表面积为4πR2D.圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和答案：AD题组二走进教材2.(教材改编题)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()B.2cm 3D.

cm 2A.1cmC.3cm答案：B

3.(教材改编题)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a，则球的体积为________.题组三真题展现

4.(2020年天津)若棱长为

2一球面上，则该球的表面积为( A.12π

的正方体的顶点都在同 )B.24πD.144πC.36π答案：C5.(2021年新高考Ⅱ)已知正四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()答案：D考点一几何体的表面积

[例1]一个搭建好的无底帐篷如图6-2-2所示，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2m，PA1＝4m时，求帐篷的表面积.图6-2-2解：如图6-2-3，连接O1A1，因为PO1＝2m，PA1＝4m，图6-2-3【题后反思】

求该几何体的表面积时，先要确定该几何体的结构特征，再利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.【变式训练】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a)时，该三棱锥的表面积是(答案：A2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比值是()解析：设圆柱底面半径为r，则高为2πr，答案：A3.已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和. (1)求圆台的母线长； (2)求圆台的表面积.解：(1)设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5.(2)由(1)可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.

考点二几何体的体积考向1多面体的体积通性通法：求几何体体积的常用方法

[例2]如图6-2-4，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1.图6-2-4(1)求V1，V2

以及V1∶V2；(2)求点A到平面A1BD的距离d.解：(1)截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面图6-2-5考向2旋转体的体积

通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.[例3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥)分成两部分的体积之比是( A.1∶1 C.1∶7B.1∶6D.1∶8解析：如图6-2-6，设圆锥底面半径OB＝R，高PO＝h，图6-2-6答案：C【考法全练】1.(考向2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()

解析：设圆台上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，上底面面积为S1，下底面面积为S2，圆台高为h，则S1＝π，S2＝4π， ∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，答案：D

2.(考向1)如图6-2-7所示，在三棱台ABC-A1B1C1

中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1

的体积之比.图6-2-7考点三组合体的表面积与体积

[例4]如图6-2-8，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.图6-2-8解：如图6-2-8，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，【题后反思】

求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差).【变式训练】

如图6-2-9所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积.图6-2-9⊙与球有关的切、接问题[例5](1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________.解析：由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半

(2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________.

解析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合.可见，正方体的体对角线是球的直径.设球的半径是r，则正方体的体对角线长是2r.依题【题后反思】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略

(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.

(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【高分训练】1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________.解析：如图D36，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.图D3