数学竞赛-试题2003年集训队测试

在2003年中国国家集训队测第1次 设正实数x,yz满足𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦𝑧.求𝑥7(𝑦𝑧−1)+𝑦7(𝑧𝑥−1)+𝑧7(𝑥𝑦−𝑧)的最小值设△ABCa、b、c上对应的中线为𝑚𝑎𝑚𝑏𝑚𝑐，内角平分线为𝑤𝑎𝑤𝑏𝑤𝑐，且𝑤𝑎𝑚𝑏=P，𝑤𝑏∩𝑚𝑐=Q,𝑤𝑐∩𝑚𝑎=R.记△PQR的面积为δ，△ABCF等式𝛿<λ成立的最小正常数λn2n边形，若存在一种跳法，跳完后有青第2次 =x、yx＜y，令𝑃=

P复系数多项式𝑓(𝑧)=𝑧𝑛+𝑎1𝑧𝑛−1+⋯+𝑎𝑛−1𝑧+𝑎𝑛n个根为𝑧1，𝑧2，…，𝑧𝑛∑|𝑎𝑘|2≤∑|𝑧𝑘|2≤第3次 n、m为正整数，A={1，2，n}，B𝑚={(𝑎，𝑎

∈𝐴，i=

1、|𝑎𝑖−𝑎𝑖+1|≠n−1，i=1，2，m−2、a1,a2,⋯,am(m≥3)中至少有三个不同。求Bm和B3 是否存在正实数𝑎1𝑎2，…𝑎2002，使得对任意正整数k1≤k2002，多项式 + 𝑎𝑘+1𝑥+𝑎𝑘z都满足|𝐼𝑚z|≤|𝑅𝑒z|𝑎2002+i=𝑎𝑖,i=1,2,⋯设𝑥0√2003𝑦0为方程式𝑥22003𝑦2=1…(𝑥，𝑦)x，y＞0x的所有素因子整除𝑥0.第4次 △ABC中，AB＞BC＞CA，AB=6，∠C－∠B=90O为内切圆，EBC边上的切点。EFOAFBCDDE等于△ABCBC，AC的长。求所有函数𝑓𝑔𝐑→𝐑，使得𝑓(𝑥+𝑦𝑔(𝑥))=𝑔(𝑥)+𝑥𝑓(𝑦)𝑥𝑦∈设A{𝑎1，𝑎2…，𝑎𝑛}B{𝑏1，𝑏2…，𝑏𝑛为两个正整数集合，且|𝐴∩𝐵|=1，C={𝐴的所有二元子集{𝐵的所有二元子集}，函数𝑓AB→{0，1，2，2𝐶2}的一C中至少有两个元素的标号相同。第5次 S1rANBFMDCP为△ADE的外接圆和△ABF的外接圆的另一个交点；NAF与△ACE的外接圆的另一个交点；PANBFMDCP设数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1=3，𝑎2=7，𝑎2+5=𝑎𝑛−1𝑎𝑛+1，n≥2.证明：若𝑎𝑛+(−1)𝑛为素m，使得𝑛=3𝑚。第6次 设𝑔(𝜃)=𝜆1𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜆2𝑐𝑜𝑠2𝜃+⋯+𝜆𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃，其中𝜆1𝜆2𝜆𝑛，𝜃均为实数。若对一切实数𝜃，恒有𝑔(𝜃)≥−1，求证：𝜆1+𝜆2+⋯+𝜆𝑛≤n.n23ab，使得|2𝑎−3𝑏|=n.n(1)设D为△ABC内任一点，求证

≥{2sin𝐴，当∠A<90°时； (2)EABCD内任一点，A、B、C、D、E五点中任意两点间的最大距离与最小距离之比记为k，求证：k≥2sin70°.并说明等号能否成立。第7次 在平面上有n(3)1对给定的整数𝛼1(≠−1)，求一个实数列{𝛼𝑛}(𝛼𝑖≠0，𝑖=1，2，5)𝜒1,𝜒2,…,𝜒5,𝑦1,𝑦2,…,满足{𝑏11𝑦1+𝑏12𝑦2+⋯+𝑏15𝑦5=𝑏51𝑦1+𝑏52𝑦2+⋯+𝑏55𝑦5=则𝜒1𝑦1+𝜒2𝑦2𝜒5𝑦5=0𝑏𝑖j=∏(1+S为平面上给定的有限整点集，AS的满足任两点的连线都不平行于坐标轴的元素个数最多的子集。B为整数集的满足对任意(𝑥，y)∈𝑆，总有x∈B或y∈B的元素个数最少的子集，证明:|𝐴|≥|𝐵|.第8次 设△ABCOAPD，DBC上，PDAPO的割线PU，UBD上，PU交圆OQ、T且交AB、ACR、S。证明：若QR=ST，则S是一个有限集合，fS的子集族2𝑠f是单调递减的，如果X⊂Y⊂S，推出𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑦)。证明：f满足𝑓(𝑋𝑌𝑓(𝑋𝑌)≤𝑓(𝑋𝑓(Y)，X，Y⊂S的充要条件是对任意的𝛼∈S,𝑔(X)=𝑓(X∪{𝛼})−𝑓(X)是S\{𝛼}的子集族2𝑆\{𝛼}上的单调递设𝛼1，𝛼2，𝛼𝓃是不全相等的𝓃个正数(𝓃≥2)∑𝑎𝑘−2𝑛=求证

∑a2𝑛− (𝒶𝒾−

>𝓃2

2003年中国国家队选拔第一天331在锐角△ABC中，AD∠ADBCD分别作BG、GEBF组成的三角形是直角三角形。设A⊂{0,1,2,,29}满足：对任何整数𝓀A中任意数𝔞、𝔟(𝔞、𝔟可以相同)，𝔞𝔟设A⊂{(𝔞1𝔞2𝔞𝔫)|𝔞𝔦∈𝑹,𝔦=1,2,𝔫},A是有限集，对任意的𝛼=(𝔞1,𝔞2𝔞𝔫)∈𝐴𝛽=(𝔟1𝔟2𝔟𝔫)∈𝐴,定义:𝛾(𝛼𝛽)=(|𝔞1−𝔟1||𝔞2−𝔟2||𝔞𝔫−𝔟𝔫|)𝐷(𝐴){𝛾(𝛼𝛽)|𝛼∈𝐴𝛽∈𝐴}。试证：|𝐷(𝐴)|≥|𝐴|第二天4月1 求所有正整数集上到实数集的函数𝑓（1）对任意𝓃1𝑓(𝓃1)𝑓(𝓃)（2）对任意𝓂，𝓃,(𝓂，𝓃)=1，有𝑓(𝓂𝓃)=𝑓(𝓂)𝑓(𝓃)。设A{1,2,,2002}𝑀={1001,2003,3005}ABB和不属于M时，称B为M一集。如果A=𝐴1∪𝐴2，𝐴1∩𝐴2=∅，且𝐴1、𝐴2均为M一集，那么称有序对(𝐴1𝐴2)AMAM（供题设实数列{𝑥}满足

=0，𝑥=3√2𝑥，𝑥是正整数，且

=1

+

4√4

1

(n≥2)。问：这类数列中最少有多少个整数项？（民供题22003年中国国家队培训ABW的直径，ℓAW的切线，C、M、D为直线ℓ上依次排列的三CM=MD.BC、BD分别交WP、Q.BMR，RPRQW相切。n2的一个例子。 设𝑝为质数，任给𝑝1个不同的正整数。求证：从中可以找出两个数，使得其中较大的数除以它们的最大公因数所得的商不小于𝑝+1。ABCABHI、BCDECAFGXYZEF、GH围出的三角形。求证：𝑆∆𝑋𝑌𝑍≤(4−2√3)𝑆∆𝐴𝐵𝐶(1)求所有的正整数对(𝔞，𝔟),使得𝔞、𝔟不相等，𝔟2a𝔟2𝔞|𝔞2(2)设𝔞、b1的两个不同的正整数，且𝔟2+𝔞−1|𝔞2+𝔟−1求证：数𝑏2+𝑎−1n为给定的正整数（n≥5整数m的最小值，使得任意一个有m条边的n阶简G中存在两个恰有一个公共顶点的三角形，

2

非负实数𝔞，𝔟，𝔠满足𝔞𝔟𝔟𝔠𝔠𝔞=求1+

+1

设𝑢1，𝑢2，𝑢𝑛n1，且它们的0。证明：可以将𝑢1，𝑢2，𝑢𝑛重排为𝑣1，𝑣2，𝑣𝑛，使得向量𝑣1，𝑣1𝑣2，，𝑣1+𝑣2+⋯+𝑣𝑛的模长都不超过√5设𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4是一个既有外接圆，又有内切圆的凸四边形，且其内切圆分别与边𝐴1𝐴22𝐴𝐴𝐴𝐴和𝐴𝐴切于点𝐵𝐵𝐵𝐵.求证2

𝐴2𝐴3

𝐴3𝐴4

𝐴4𝐴12 3 48

+

+

+ )非负实数𝓍、𝓎、𝓏满足𝓍2+y2+𝓏2=1.1

+𝓎

≤ 求所有的正整数𝓃11的正约数具有𝒶𝓇1𝒶为正整数，r1的正整数。 三角形BCE和ADF的外心。求证：AB、CD、GH三线共点或两两平行的充要条件是A、B、E、F四点共圆。 设S是由2𝓃个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶设𝓀为正整数。求证：任何一个以√𝓀+1−√𝓀 设在三角形ABC内存在一点F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA。直线BFCF分别交AC、ABD和E。求证：AB+AC≥4DE。 考虑直角坐标平面上由100个点组成的集合M。求证：至多有2025个长方形，其顶点M，且该长方形的边与坐标轴平行。 对怎样的正整数𝓃，存在一个以-1，0，1为元素的𝓃𝓃的方阵，使得它的各行元和与各列元和这2𝓃个和数两两不同？证明你的结论。 圆S1和S2交于点P和Q，在S1上取两个不同的点A1和B1(不同于P，Q)，直线A1P和B1P分别交S2于另外一点A2,B2.直线A1B1和A2B2交于点C。求证：当A1和B1变化时，三角形设𝒶1，𝒶2，𝒶2020个两两不同的正整数，且集合{𝒶𝒾+𝒶𝒿|1≤𝒾≤𝒿≤20}201个不同的元素。求集合{|𝒶𝒾−𝒶𝒿||1≤𝒾＜𝒿≤20}设𝔟1，𝔟2，𝔟𝓃为𝓃个正实数，且方程组x𝓀−1−2𝓍𝓀+𝓍𝓀+1+𝔟𝓀𝓍𝒽=0，𝓀=1,2,𝑛。有一组不全为零的实数解x1，𝓍2，𝓍𝓃。这里𝓍0=𝓍𝓃+1=求证：𝔟1+𝔟2+⋯+

≥4 ABC的内切圆ΩBCK，ADABC的高，MAD的中点，直KM交ΩNBCN的外接圆与ΩN。 给定正整数𝑘>2,k角形数形成的数列为1,𝑘3𝑘3,6𝑘8,；是一个二阶等差数k－2。Fermat数形成的数列为3/