人教A1.2任意的三角函数市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

进入名师伴你行SANPINBOOK学点一学点二学点三学点四名师伴你行SANPINBOOK1.在直角坐标系中，

叫做单位圆.2.设α是一个任意角，它终边与单位圆交于点Ｐ（x，y），那么：（１）

叫做α正弦，记作

，即

.（２）

叫做α余弦，记作

，即

.（３）

叫做α正切，记作

，即

.当α＝

时，α终边在y轴上，这时点Ｐ横坐标x等于

，所以

无意义.除此之外，对于确定角α，上述三个值都是

.所以正弦、余弦、正切都是以

为自变量，以

为函数值函数，我们将它们统称为

.由于

与

之间能够建立一一对应关系，所以三角函数能够看成是自变量为

函数.x０角实数以原点为圆心，以单位长度为半径圆sinα＝ycosα＝xcosαysinαtanαtanα＝（x≠０）＋kπ（k∈Z）tanα＝唯一确定单位圆上点坐标或坐标比值三角函数角集合实数集

返回目录名师伴你行SANPINBOOK3.依据任意角三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下定义域填入下表，再将这三种函数值在各象限符号填入括号.三角函数定义域sinαcosαtanαx|x∈Ｒ且x≠kπ＋，k∈ＺＲＲ

返回目录名师伴你行SANPINBOOK4.由三角函数定义，能够知道：

角同一三角函数值

.由此得到公式一：

，

，

，其中

.5.

叫做有向线段.6.如图所表示，已知角α终边位置.则由三角函数定义可知点Ｐ坐标为（cosα，sinα）.点Ｔ坐标为（１，tanα）.其中cosα＝

，sinα＝

，tanα＝

.把轴上向量OM，ＯＮ，ＡＴ（ＡＴ′）叫做α

和

.终边相同相等sin（α＋k·２π）＝sinαcos（α＋k·２π）＝cosαtan（α＋k·２π）＝tanαkk∈Ｚ带有方向线段ＯＭＯＮＡＴ余弦线、正弦线正切线

返回目录名师伴你行SANPINBOOK1.已知角α终边经过点Ｐ（－４a，３a）（a≠０），求sinα,cosα,tanα值.【分析】由三角函数定义直接求.学点一求任意角三角函数值【解析】依据任意角三角函数定义，应首先求出点Ｐ到原点距离r，因为含有参数a，要注意分类讨论.r＝若a＞０，r＝５a，α角在第二象限，则sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝.若a＜０，r＝－５a，α角在第四象限，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.

返回目录名师伴你行SANPINBOOK【评析】易错解为：∵x＝－４a，y＝３a，∴r＝＝５a，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝.错因是忘记讨论a符号.三角函数定义是求任意角三角函数值有效方法，只要知道角终边上任一点坐标即可.2.已知角α终边与直线y＝x重合，求α三个三角函数值.【分析】给出角α终边而要求α六种三角函数值，只需在α终边上任取一点Ｐ，再利用定义直接求解，但必须注意这里角α终边有两种情形，应分别求解.

返回目录名师伴你行SANPINBOOK【解析】如图所表示，直线y＝x过原点和一、三象限，所以，当α终边在第一象限时，在终边上取点Ｐ(2,3)，则当α终边落在第三象限时，在其终边上取点（-2，-3），则

返回目录名师伴你行SANPINBOOK【评析】由此例能够看出，当两个角终边反向共线时，它们六种三角函数值绝对值应相等，仅仅在符号上有所不一样.

返回目录名师伴你行SANPINBOOK已知角α终边经过点Ｐ(-2,3)，试求α正弦、余弦、正切值.因为x＝-2，y＝3，所以，所以sinα＝cosα＝tanα＝

返回目录名师伴你行SANPINBOOK学点二三角函数值符号

【分析】判定三角函数符号应分两步：一是判定角象限；二是判定这一象限内某三角函数符号.【答案】Ｂ

返回目录1.给出以下三角函数值：（１）sin１１２５°；（２）tanπ·sinπ；（３）；（４）sin１－cos１.其中为正值个数是（）A.１B.２C.３D.４名师伴你行SANPINBOOK

返回目录【解析】1125°＝1080°＋45°，则1125°是第一象限角，所以sin1125°＞０；因为＝２π＋，所以是第三象限角，所以tanπ＞０，sinπ＜０，故tanπ·sinπ＜０；因为４弧度角为第三象限角，所以sin４＜０，tan４＞０，故；因为＜１弧度＜，所以sin１－cos１＞０.综合上述，（１）（４）为正.故应选Ｂ.【评析】判断三角函数值和符号时，要灵活处理，若只有一个角，则需观察角象限，然后逐一判断每项符号；若是多项式，则可由三角函数变形，也可由三角函数线判断.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录2.若sinθ＜０且tanθ＞０，试确定角θ所在象限.【分析】依据判定三角函数符号口诀：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”判定.【解析】∵sinθ＜０，∴θ是第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上.又∵tanθ＞０，∴θ是第一或第三象限角.综上可知,θ是第三象限角.【评析】三角函数在各象限符号取决于终边所在位置.若角终边所在象限确定，则三角函数值符号就确定.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录已知tanα＞０，且sinα＋cosα＞０，那么角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角Ａ（设Ｐ（x，y）是角α终边上一点，它到原点距离为r.由题意知tanα＝，sinα＋cosα=，而r＞０，所以x＞０，y＞０，即Ｐ点应在第一象限，于是角α是第一象限角.故应选A.）A名师伴你行SANPINBOOK

返回目录1.x取什么值时，使有意义？学点三三角函数定义域【分析】考虑到分母不能为零，而且使得tanx有意义.【解析】∵tanx≠０，∴x≠kπ（k∈Ｚ）.又∵x≠kπ＋（k∈Ｚ）,∴x≠（n∈Ｚ）.∴当x∈x|x≠，n∈Ｚ时,有意义.【评析】求三角函数定义域一要注意三角函数本身限制条件，二要注意应用求函数定义域要求.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录2.求函数y＝tan()定义域.【分析】由y=tanx定义域为﹛x|x≠kπ+,k∈Z﹜求.【解析】∵y＝tanx定义域为﹛x|x≠kπ＋，k∈Ｚ﹜，∴x－≠kπ＋，k∈Ｚ，∴x≠kπ＋，k∈Ｚ，∴原函数定义域为﹛x|x≠kπ＋，k∈Ｚ﹜.【评析】（１）求一个函数定义域就是要找出使这个函数有意义x取值集合.（２）将三角函数符号后整体看作一个角，从而化为一个角三角函数，这种整体化归思想在今后学习中经惯用到，要注意了解与应用.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录1.求函数定义域：（１）y＝＋tanx；（２）y＝lg（３－４sin２x）.2.已知sinα＜，求α取值集合.1.(1)（定义法）当sinx≥０且tanx有意义时函数有意义，所以２kπ≤x≤（２k＋１）π，x≠kπ＋，k∈Ｚ，所以函数y＝+tanx定义域为名师伴你行SANPINBOOK

返回目录(2)（三角函数线法）如图所表示，因为３－４sin２x＞０，所以sin２x＜，所以＜sinx＜.所以函数定义域为(２kπ－，２kπ＋)∪(２kπ＋，２kπ＋)，k∈Ｚ，即(kπ－，kπ＋)，k∈Ｚ.名师伴你行SANPINBOOK2.如图所表示，首先在y轴上找到，过此点作平行于x轴直线，交单位圆于Ｐ１与Ｐ２两点.若sinα＝，则α＝２kπ＋或α＝２kπ＋（k∈Ｚ），角α所对应正弦线分别为Ｍ１Ｐ１,Ｍ２Ｐ２，当角２kπ＋终边按逆时针方向旋转至２kπ＋时，显然sinα＞，故应舍去，所以α应取线ＯＰ１和线ＯＰ２以下角，如图阴影部分所表示.故α取值集合是﹛α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z.﹜

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1.已知０＜α＜，求证：（１）sinα＋cosα＞１；（２）sinα＜α＜tanα.【分析】建立平面直角坐标系，作出单位圆及正弦线、余弦线、正切线，依据图形证实.学点四单位圆、三角函数线应用名师伴你行SANPINBOOK

返回目录【评析】利用三角函数线意义，数形结合处理这类问题非常方便，本题两个结论应该记住，对以后做题很有帮助.【证实】如图所表示，设α终边与单位圆交于Ｐ，作ＰＭ⊥x轴，垂足为Ｍ，过点Ａ（1,0）作ＡＴ⊥x轴，交α终边于Ｔ，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.(1)在△OMP中，∵OM＋MP＞OP，∴cosα＋sinα＞１.(2)连接PA，则Ｓ△OPA＜Ｓ扇形OPA＜Ｓ△OTA，即·ＯＡ·ＭＰ＜·ＯＡ2·α＜ＯＡ·ＡＴ，∵OA=1，∴sinα＜α＜tanα.

返回目录2.在单位圆中画出适合以下条件角α终边范围，并由此写出角α集合.（１）sinα≥；（２）cosα≤.【分析】作出满足sinα=a(或cosα=a)三角函数线再利用特值找不等式表示范围.也能够作出y=a,与单位圆交于A，B两点，OA，OB将圆分成两个区域，特值确定哪一个.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录【解析】(1)作直线y＝交单位圆于Ａ，Ｂ两点，连接OA，OB，则OA与OB围成区域（如图所表示中阴影部分）即为角α终边范围.所以满足条件角α集合为﹛α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Ｚ﹜.(2)作直线x＝交单位圆于Ｃ，Ｄ两点，连接ＯＣ与ＯＤ，则ＯＣ与ＯＤ围成区域（如图1.2-1-5所表示中阴影部分）即为角α终边范围.所以满足条件角α集合为﹛α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Ｚ﹜.【评析】三角函数线能够用来求满足形如f（α）≥m或f（α）≤m三角函数角α范围.

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返回目录在单位圆中画出满足以下条件角α终边.（１）sinα＝；（２）cosα＝；（３）tanα＝３.分别以下列图所表示.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录1.怎样了解三角函数定义？三角函数定义能够结合以下几点来了解：①一个角三角函数值只与这个角终边位置相关，即角α与β＝２kπ＋α（k∈Ｚ）三角函数值相等；②因为|x|≤r，|y|≤r，故由sinα＝，cosα=，得|sinα|≤１，|cosα|≤１，这是三角函数中最基本一组不等关系式.即三角函数值是比值，是一个实数，这个实数大小和点Ｐ（x，y）在终边上位置无关，而仅由角α终边位置所决定.对于确定角α，其终边位置也唯一确定了.所以，三角函数值大小仅与角相关，它是角函数.三角函数定义还能够推广为：设点Ｐ（x，y）是角α终边上任意一点，它到坐标原点距离|ＯＰ|＝r，于是sinα＝名师伴你行SANPINBOOK

返回目录2.怎样掌握三角函数在各象限符号？由三角函数定义以及各象限内点坐标符号，能够确定三角函数符号.sinα＝，其中r＞０，于是sinα符号与y符号相同，即当α是第一、二象限角时，sinα＞０；当α是第三、四象限角时，sinα＜０.cosα＝，其中r＞０，于是cosα符号与x符号相同，即当α是第一、四象限角时，cosα＞０；当α是第二、三象限角时，cosα＜０.tanα＝，当x与y同号时，它们比值为正；当x与y异号时，它们比值为负，即当α为第一、三象限角时，tanα＞０；当α为第二、四象限角时，tanα＜０，以上结果如图所表示.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录正弦函数符号取决于纵坐标y符号，余弦函数符号取决于横坐标x符号，正切函数是x，y同号为正，异号为负.在记忆三角函数在各象限符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦.口决含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正、余切为正，在第四象限余弦为正.名师伴你行SANPINBOOK

返回目录3.怎样了解三角函数线？

（1）有向线段数量当有向线段与数