量子力学-18讲-自旋纠缠态

20、量子纠缠一、自旋态与自旋波函数二、双电子体系的自旋态三、可分离态与纠缠态30、量子纠缠有两个相反方向、速率相同的电子，即使一颗行至太阳边，一颗行至冥王星，如此遥远的距离下，它们仍保有特别的关联性；亦即当其中一颗

作（例如量子测量）而状态发生变化，另一颗也会即刻发生相应的状态变化。如此现象导致了“鬼魅似的远距作用”，仿佛两颗电子拥有超光速的

通信。返4一、自旋态与自旋波函数(1)1221

1

(r)

2

(r)

sz

0

(r)

2

(r,sz

)。自旋变量sz只取/2两个值，

(r,sz

)可以用一个列向量来表示

1

(r)

电子以一定的概率处于/

2或

/

2自旋态/

2自旋态

0

，－/2自旋态

sz考虑自旋后，稳态下电子的波函数为一、自旋态与自旋波函数(2)11

21

(r)

(r)

2

,一般

(r)

(r)通常，轨道与自旋的耦合能量很小，忽略不计的话，有

(r,

sz

)

(r)

(sz

)(r)

a

(r)

2

z

(r,

s

)

zz

(r,

s

)

z

(r)

(s

)

b

其中，

(s

)

a

自旋函数

(r)

b

考虑自旋后，稳态下电子的波函数6一、自旋态与自旋波函数(3)1221222122

(1 0)

0

0

1

z

(r,

s

)

z

(r)

(s

)z

1

b

0

1

z

z

1

0

a

(r)

1

12

(r)

(r)

b

2

自旋函数

(s

)

a

a

1

b

0

a

b

0

1

1

，

Sˆ

的属于本征值s

+的本征函数,

Sˆz的属于本征值sz

的本征函数它们彼此是正交的：

一、自旋态与自旋波函数(4)1221xy

1

0

1

1

,

0

0

i

,

1

0

x

10

y

i

0

z

01

01

1

0

0

0

1

0i

0

i

1

i

i0

1

0

1

，

0

,泡里矩阵例1：证明

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

证：

返同理可证另外两式8二、双电子体系的自旋态(1)j氦原子有两个电子，自旋角动量分别为s1和s2，分属两个电子，涉及不同的

度， [s1

j

,

s2k

]

0,

j,

k

x,

y,

z令S

s1

+s2为两个电子的自旋之和,则有[Sx

,

Sy

]

i

Sz

,[Sy

,

Sz

]

i

Sx

,[Sz

,

Sx

]

i

Sy证：[Sx

,Sy

][s1x

s2

x

,s1y

s2

y

][s1x

,s1y

][s2

x

,s2

y

]

i s1z

i

s2

z

i

(s1z

s2

z

)

i

Sz

.同理可证另两式设S2

S

2

S

2

S

2

,则[S2

,

S

]

0,

j

x,

y,

zx

y

z

j习题：证明[S2

,

S

]

0,

j

x,

y,

z二、双电子体系的自旋态(2)[s1z

,s2

z

]

0,选(s1z

,s2

z

)为自旋力学量完全集，求其共同本征态。记

(1),

(1)

s1z的本征态，

(2),

(2)

s2

z的本征态，则(s1z

,s2

z

)的共同本征态为：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)910二、双原子体系的自旋态(3)s1z

(1)

/

2

(1),

s1z1

s1z

(1)

(2)s2

z

(2)

s2

z1

s2

z

(1)

(2)

(1)s2

z

(2)为什么

1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)是(s1z

,s2

z

)的共同本征态？以1为例

/2

(1)

(2)

/21

1是s1z的本征态又/2

(2),且s2

z对

(1)不起作用

(1)/2

(2)

/21

1是s2

z的本征态1是s1z和s2

z的共同本征态11二、双原子体系的自旋态(4)同时，(s1z,s2

z

)的共同本征态1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)也是Sz

s1z

s2

z的本征态：Sz1

(s1z

s2

z

)

(1)

(2)

s1z

(1)

(2)

s2

z

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

2

2

11是Sz属于本征值的本征态.同理，

2

,

3

,

4是Sz属于本征值-,0,0的本征态2 2 2421x

2

x

1

y

2

y1z

2

z(

)

3

3

14

121 2 1 2 1 2二、双原子体系的自旋态(5)1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)是(s1z

,s2

z

)的共同本征态，也是Sz

s1z

s2

z属于本征值

，-

,

0,

0的本征态。[S2

,

S

]

0,(S2

,

S

)也可选为自旋力学量完全集z

z其共同本征态=？S2

(s

s

)2

s2

s2

2s

s2221121x

2

x1y

2

y1z

2

z1x

2

x1y

2

y1z

2

z(3

)(3

)

(1)

(2)S

二、双原子体系的自旋态(6)2211z

2

z(3

1x

2

x

1

y

2

y

)

(1)

(2)22[3

(1)

(2)

(1)

(2)

i

(1)i

(2)122122

(1)

(2)]

2

2

(1)

(2)

212由例1，

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

,可得12(2)

2S

S

S

(1)S2

2

2

,同理可得S2

21

1

2222

(1)

(2)

(1)

(2)S

(1)

(2)

214二、双原子体系的自旋态(7)2122

2221

1

22

3

423421

3

2

42

2S2

(s1z

,s2

z

)的共同本征态为：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)其中，

和都是S

属于本征值2

2的本征态，即S

,

S

2

，但

和

都不是S

的本征态。不过，

和的线性组合是否为S

的本征态？令

c

c

即

c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)检验是否满足二、双原子体系的自旋态(8)22

1 2222212(3

1x

2

x

1y

2

y

1z

2

z

),

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

S2

1)(3

1x

2

x

1y

2

y

1z

2

z2[c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)]S2

1

312

2[c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)]

S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),检验{c

(1)

(2)c2

(1)

(2)

c1i

(1)[i

(2)]

c2[i

(1)]i

(2)c1

(1)[

(2)]

c2[

(1)]

(2)}16二、双原子体系的自旋态(9)221 2 121 222

(2)]2

(2)][(c

c

)

(1)

(2)

(c

c

)

(1)

0S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),

检验1 2左边=S2

右边

2

[c

(1)

(2)

c

(1)c

(1-)c

0

1左边=右边

(1-)c1

c2

0

1-

11-

1得到

1

0,

2

22

2

c1

c22

,1

0

c1

c2

,归一化，c1

c2

117二、双原子体系的自旋态(10)21

22

2222

12

S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),检验得到

1

0

c1

c2

1

2

2

2

c1

c2

1

21

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S2本征值为0）

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S2本征值为22）若令

S

(S

1)

2

,

S2

S

(S

1)

S2本征值为0

S

0S

本征值为2

S

1二、双原子体系的自旋态(11)

0

z

1

z2S

2

1S[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S

1,

M

=0）S

1

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S

0,

M

=0)

1

s

= ,

0

s

=-

,2

2引入量子数MS

,

代表

(1)

(2)等项中自旋变量sz的值.则S2

S

(S

1)

2

,

有四种形式S

S2

(1)

(2)

2

2

(1)

(2)

S

1,

M

=1以前得到S2

(1)

(2)

2

2

(1)

(2)

S

1,

M

=-1，sz

=sz1+sz

219二、双原子体系的自旋态(12)记

j

,

j

1

4为(S

,

Sz

)的共同本征态2自旋三重态：1

(1)

(2)23

(1)

(2)4S

1

MS

=1S

1

MS

=0S

1

MS

=-1

1

(2)][

(1)

(2)

(1)22

1

[

(1)

(2)

(1)

(2)]SS

0

M

=0自旋单态：返20三、可分离态与纠缠态(1)(s1z

,s2

z

)的共同本征态为：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)21z

12324(S

,

S

)的共同本征态:

(1)

(2)

,22

1

[

(1)

(2)

(1)