不动点的性质与应用(教师版)

①若方程无实根；②若方程有实根，且实根是方程根，

作差，得2x+1=0

综上：，故选D2、方程根称为函数不动点，若函数有唯一不动点，且，，，，，……，则——2008——.3、对于函数,若满足,则称为函数一阶不动点,若满足,则称为函数二阶不动点，（1）设f(x)=2x+3,求f(x)二阶不动点。（2）设,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点，求实数a取值范围.考点：[函数及方程综合运用,函数值]解：（1）若f(x)=2x+3,则f[f(x)]=2(2x+3)+3=4x+9，由f[f(x)]=x,得4x+9=x,解得x=−3；（2）函数在R上单调递增，则由(2)可知,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点，则f(x)在[0,1]上也必存在一阶不动点；反之,若f(x)在[0,1]上存在一阶不动点,即，那么,故f(x)在[0,1]上也存在二阶不动点.所以函数f(x)在[0,1]上存在二阶不动点等价于f(x)=x在[0,1]上有解,即方程在[0,1]上有解，∴在[0,1]上有解∴a取值范围是[−e,−1].

已知函数

，设函数（1）求证:如果存在一个实数，满足

，那么对一切都成立都成立；（2）若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间，对于任意，有，且时，.试问是否存在区间,对于区间内任意实数，只要，都有.解析:(1)证明:当

n

=1时，，显然成立；设

n

=

k

时，有成立，则，即

n

=

k

+1时，命题成立.∴对一切都成立都成立由（1）知，稳定不动点，只需满足由，得或∴稳定不动点为0和

.（3）∵

f

(

x

)＜0，得或x＞1.∴或要使一切，都有，必须有或.由

x

＜0或

x

＞1由故对于区间(

)和(1,+∞)内任意实数

x

,只要，都有.【真题】（2012年北京东城一模文）对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立x成为函数f(x)不动点，把使得f(f(x))=x成立x成为函数f(x)稳定点，函数f(x)不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}，(1)设函数f(x)=3x+4，求集合A和B；(2)求证：A⊆B；(3)设函数，且A=∅，求证：B=∅.考点：[集合包含关系判断及应用,空集定义、性质及运算、方程无解证明]解：(1)令f(x)=3x+4=x，解得x=−2,故有A={−2}由于f[f(x)]=3(3x+4)+4=9x+16，令9x+16=x,得x=−2,故有B={−2}(2)若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t，∴t∈B，故A⊆B.(3)无解或时，则在上恒成立时，则在上恒成立综上，（上海中学2015学年第一学期高一期终考试）一、填空题/12、若实数满足，则称为函数不动点，有下面三个命题：（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；（2）若是二次函数，则函数可能有4个不动点；（3）若不动点个数是2，则不动点个数不可能是3.它们中所有真命题序号是______（1）、（2）、（3）_______.三、解答题/5、对定义在上函数和常数，若恒成立，则称为函数一个“凯森数对”.（1）若是一个“凯森数对”，且，求；（2）已知函数及定义域都为，问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（3）若是一个“凯森数对”，且当时，，求在区间上不动点个数（不动点概念参考填空题第12题）.解：（1）（2）存在“凯森数对”不存在“凯森数对”（3）不动点个数为0（杨浦区2016学年度第一学期高一年级期中质量调研）21、（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分.对于函数，称满足为函数“不动点”，称满足为函数“稳定点”.（1）求函数“不动点”；（2）求函数“稳定点”；（3）已知函数有无数个“稳定点”，若且，求取值范围（用表示）.解：（1）0、1（2）（3）或时，则时，则（2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛）17、对于函数f(x)，若f(x)=x，则称x为f(x)“不动点”，若f(f(x))=x，则称x为f(x)“稳定点”。函数“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f(f(x))=x}.(Ⅰ)求证：A⊆B；(Ⅱ)若，且，求实数a取值范围.考点：[集合包含关系判断及应用,集合相等,函数单调性性质]解：(Ⅰ)若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f(t)=t，f(f(t))=f(t)=t，∴t∈B，故A⊆B(Ⅱ)有解有解

A⊆B∴左边有因式

∴；

又A=B∴无实数根，或实数根是方程根；

①若无实数根，则

②若有实根，且实根是方程根

得

∴a取值范围为【数列中应用】1、求线性递推数列通项：法四：不动点法构造等比数列令为函数不动点，递推公式两边同减不动点，得=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则.2、形如型：不动点法构造等比数列或线性递推数列将均换成，得是函数两个不动点两边同减两个不动点，得=1\*GB3①=2\*GB3②法一：构造等比数列=1\*GB3①/=2\*GB3②，得是以为首项，为公比等比数列法二：构造线性递推数列对=1\*GB3①或=2\*GB3②取倒数，得或数列或均为线性递推数列，可用线性递推数列方法解决【点评】数列递推公式