河北省滦南县2023学年高三第二次联考数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．2．已知，，，则（）A． B．C． D．3．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．4．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．6．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心9．已知为实数集，，，则（）A． B． C． D．10．已知集合，则的值域为（）A． B． C． D．11．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．12．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.15．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．16．已知，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；（2）若，求的值.18．（12分）已知.（1）若，求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大小；（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.20．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.21．（12分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.22．（10分）已知数列{an}的各项均为正，Sn为数列{an}的前n项和，an2+2an＝4Sn+1．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn，求数列{bn}的前n项和．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【题目详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．【答案点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．2、C【答案解析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【题目详解】，所以，即.故选:C.【答案点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.3、A【答案解析】

首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【题目详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A【答案点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.4、C【答案解析】

不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.【题目详解】不妨设在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故选：.【答案点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.5、D【答案解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【题目详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【答案点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.6、D【答案解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可．【题目详解】解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【答案点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．7、D【答案解析】

取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.【题目详解】如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，则，，即为二面角的平面角，过点B作于O，则平面ACD，由，可得，，，即点O为的中心，三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，，,解得，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【答案点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.8、B【答案解析】

解出，计算并化简可得出结论．【题目详解】λ（），∴，∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选B．【答案点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键．9、C【答案解析】

求出集合，，，由此能求出．【题目详解】为实数集，，，或，．故选：．【答案点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、A【答案解析】

先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【题目详解】由，得，，令，，，所以得，在上递增，在上递减，，所以，即的值域为故选A【答案点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题11、A【答案解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【题目详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【答案点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．12、A【答案解析】

设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.【题目详解】双曲线的右顶点为，右焦点为，M所在直线为，不妨设，∴MF的中点坐标为.代入方程可得，∴，∴，∴（负值舍去）.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解.【题目详解】因为即又等比数列各项均为正数，故故答案为：【答案点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.14、【答案解析】

由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．【题目详解】解：如图，直线过定点，，而抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于．故答案为：．【答案点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．15、【答案解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.【题目详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，由，得，代入，得，所以点C的坐标为．等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，故答案为：.【答案点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.16、【答案解析】解：由题意可知：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）或【答案解析】

（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由，，可得点的轨迹的极坐标方程；（2）将曲线极坐标方程求，与直线极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【题目详解】（1）曲线的直角坐标方程为，圆的圆心为，设，所以，则由，即为点轨迹的极坐标方程.（2）曲线的极坐标方程为，将与曲线的极坐标方程联立得，，设，所以，，由，即，令，上述方程可化为，解得.由，所以，即或.【答案点睛】此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.18、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【答案解析】

（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间.（2）分离出参数后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.【题目详解】（1）由得或①当时，由，得.由，得或此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.②当时，由，得由，得或此时的单调递减区间为，单调递增区间为和综上：当时，单调递减区间为，单调递增区间为和当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.（2）依题意，不等式恒成立等价于在上恒成立，可得，在上恒成立，设，则令，得，（舍）当时，；当时，当变化时，，变化情况如下表：10单调递增单调递减∴当时，取得最大值，，∴.∴的取值范围是.【答案点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.19、（1）B（2）【答案解析】

（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB，进而可求B；（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.【题目详解】（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA，∴，即2bcosB＝acosC+ccosA由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因为，所以，所以B；（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac＝4，因为a2+c2≥2ac，所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，所以△ABC面积S即面积的最大值.【答案点睛】本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.20、（1）；（2）①82，②分布列见解析，【答案解析】

（1）从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【题目详解】（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件，则，所以，恰有1人“优秀”的概率为.（2）组别分组频数频率120.01260.03380.04440.02①，估计所有员工的平均分为82②的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为，∴；；；；∴的分布列为0123∵，∴数学期望.【答案点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.21、（1）（2）证明见解析【答案解析】

（1）由已知可得，构造等比数列即可求出