误差-p1.2.1背景介绍Introduction

1.2

误差

(Error

)§1.2.1

误差的背景介绍

(Introduction)模型误差(Modeling

Error):从实际问题中抽象出数学模型观测误差(Measurement

Error):通过测量得到模型中参数的值方法误差(截断误差Truncation

Error）:求近似解计算误差

(舍入误差Roundoff Error

):机器字长有限计算方法实际问题数学模型(数值)算法编程计算结果抽象：“去伪存真，去粗取精”模型误差,观测误差截断误差舍入误差例：(截断误差)2!

3!n!

1

xn

,已知e

1

x

1

x2

1

x3

求e1的近似值，并估计误差。解：利用展开式的前三项，取n=2，2

(01.)

(11)

1

2e1

截断误差分析,

xxn10

1Rn

(

x)

(n

1)!

e23!R

e1

0.5

1

1.7*101截断误差0

0

(f

(

n)

(

x

)n!n(

n1)

f

(

x0

)

f

'(

x0

)(

x

x0

)

x

)n1由Taylor公式：f2!

1

h

h2!例：eh试确定近似计算公式eh

+sin(h)

1

2的截断误差。

1

2h

1

h2

O(h3

)解：eh

sin(h)

1

2h

1

h2

1

h3

O(h3

)

O(h5

)2!

3!2!eh

+sin(h)的截断误差为O(h3

)。例：舍入误差1.4921.066

1.590472设在一台虚构的4位数字计算机上计算1.4921.066

1.590舍入误差为

0.000472舍入误差分析例：考虑

简单程序format

longx=4/3-1y=3*xz=1-y舍入误差对计算结果影响很大21

1x

1

11

6

3

x

131 1

2

1

1

1

31

2

12

4

1

x

47

3

3

4 5

60

方例3：3

1其解为在计算机上是否根据

数学公式编程就能得到正确结果?

1.00

1.83

0.5002

0.3330.500

0.333

x1

0.333

0.250

x

1.08

0.250 0.200

x3

0.783如果把系数舍入成三位数字1.09,

x2

0.488,

x3

1.49求解得

1.0

1.8

0.502

0.50

0.33

x1

0.33

0.25

x

1.1

0.33

0.250.20

x3

0.78如果把系数舍入成二位数字3

33.65求解得例：考虑

程序x=0.988:0.0001:1.012;y=x.^7-7*x.^6+21*x.^5-35*x.^4+35*x.^3-21*x.^2+7*x

-1;plot(x,

y)绝对误差限。显然有，*x

*

3.1416设

3.1415926，用四舍五入方法取4位小数得近似数求§1.2.2

误差与有效数字(Error

and

Significant

Digits)绝对误差

(

absolute

error

)

(x)

x

x*

其中x为精确值，x*

为x的近似值。102e

dx

0.743

0.006

x例如：x

x*

|

(x)|

的上限记为工程上常记为,称为绝对误差限(accuracy)，2|

e(

)

||

*

|

1

104相对误差

(

relative

error

))|r

x的相对误差限定义为)r

()(x)x*x*(

(x))2

2

2

(

(x)

(x)

0结论：近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量，一个近似数的相对误差越小，说明近似数越精确相对误差是个无名数，它没有量纲。有效数字（significant

digits

）

*例：

3.1415926535

897932

;

*

3.1415问：

*有几位有效数字？请证明你的结论。证明：

π*

0.31415

101

,and

|π

*

π

|

0.5

103

0.5

1014有4

位有效数字，精确到小数点后第3

位。误差限是第n位的n位有效数字。(a1

0,

ai

0,定义设近有效数字

（significant

digits

）（另一种定义）1.3计算机数系（补充）在实数系中，每一个实数可以有无穷位，不同的实数代表数轴上不同的点；3

1.732050808

在计算机数系中，每一个数只有有限位，只有部分有理数能被计算机数系中的数精确表示。3不能被计算机数系精确表示浮点数：允许小数点位置浮动的数的表示法称为数的浮点形式。尾数阶码基数a1≠0,(1)称为x的规格化的浮点形式。(1)实数x的十进制浮点形式为x=0.a1a2…ak…10c,ai{0,1,2,…,9},

c∈Z1

2

3

t1

jx

0.a

a

a

...a

2l其中a

1,

a

0,1

,

(

j

2,...,

t);2l

:指数部分；l：阶码，L

l

U

,a1a2a3...at：尾数。x的k位规格化十进制机器数为y=

0.a1

a2...

ak10c,

y=fl(x)ai{0,1,2,…,9},

a10，Lc

U,k是机器的字长；L、U

是常数。二进制中具有t

位有效数字的实数都可以表示成：k

1k

1a

5a

5fl(

x)

(0.a

a

a

10k

)10c1

2

k

0.a

a

a

10c1

2

kx=0.a1a2…akak+1…10cx的k位十进制机器数fl(x)可用两种方法定义：截断式fl(x)=

0.a1a2...ak10c四舍五入式y=0.a1a2...akc

,

=2,8,10,16,ai{0,1,2,…,-1},

LcU,a1≠0F(,k,L,U)表示以上数集全体，它是计算机中使用的有限离散数集(机器数系）。F(,k,L,U)中的数称为机器数。F(10,4,-33,33)，

y=0.a1a2a3a410c一般数制情况：k位规格化机器数

3.14159260.1000

1033

F

(10,

4,

33,

33),

0.9999

1033但是例：

在机器数系

F(10,4,-33,33)中表示fl(∏

).采用截断式fl(

)

0.采用四舍五入式

fl(

)

0.若浮点数的阶码不在[L,U]内，则出现上溢或下溢。例如在4位机器数系

F(10,4,-33,33)中输入0.199

1035出现上溢。输入0.28

1034出现下溢，计算机中数的计算特点:= 0

10001

105=

0.1000

105

=

104加法先对阶,单（双）精度舍入，运算,再规格化舍入乘法先运算,再舍入；不在计算机数系中的数做四舍五入处理。例如:在四位浮点十进制数的计算机上计算1+

104解:

1+

104

=0.1000

101

+0.1000105=0.00001105+0.1000105

(对阶)(运算)(计算机舍入)nxx1

n1

dy

f

(x)

dx

f

(x)

dx自变量较小的变化引起的因变量变化。dy

f

(x)

f

(x)

f

(x)dx

x1

x2

xn1.4数值计算中的误差估计1）函数的误差2）算术运算结果的误差(1)和、差的误差估计设u=x+y,当x,y同号时,u为两数和;当x,y异号时,u为两数差绝对误差绝对误差限x

(u)

(x

y)

(x

y)

(x

y)

x

y

x

y此结论可推广至有限个近似数,即:和或差的绝对误差限不超过各近似数绝对误差限之和.相对误差r

rrrxy

(

y)

(u)

(x

y)

(x

y)

(x)

(x

y)

x

yx

y相对误差限rrrxy

(

y)

(x

y)

(x)

x

y

x

y设x,y同号时,则

r

(x

y)

max

r

(x)

,

r

(

y)

结论:和的相对误差限不超过各数相对误差限中的最大者.即:和的相对误差不增长(2)积、商的误差估计积误差估计

设函数

u=xy绝对误差相对误差商误差估计绝对误差

(xy)

y

(x)

x

(

y)er

(xy)

er

(x)

er

(y)设函数u

x

du

(ydx

xdy)/y2yyy

x

/

y

(

x

)

(

x

)x

y相对误差

r

(

)

r

(

x)

r

(结论:积的相对误差等于相对误差的和,商的相对误差等于相对误差的差,连乘除相对误差限可看做乘数和除数相对误差限之和数值方法中参加运算的数一般是近似值，计算时会出现问题解严重失真。原因有二：问题本身的条件很坏，不管用什么方法都无法得到好结果；由于使用的算法不当，产生了数值不稳定。1.5设计算法的若干原则问1)良态与良态与

差很大，这29f

(解：（f

100/3）＝－

50

－5.6，

f（33）＝－28

,该函数是9313100**

400%.9

50

50

28)

22.4,

初始数据相对变化1%，计算结果相对变化400%！

！f

(x*

)

1%

,

f

(x

)

f

(x)

x*x

x

A

solution

existsThe

solution

is

uniqueThe

solution

depends

continuously

on

the

data,insome

reasonable

topology(稳定的).2)

算法的数值稳定性数值稳定性:一个算法如果初始数据有误差，而在计算过程中舍3

113119

1fl(((fl(((

x

0.4000

100x

0.00004

104)

x

)

入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法是不稳定的。F

(10,4,L,U

)按四舍五入方法处理数据,有:11求

S

)

x

)＝0.50551042算法一算法二x

)＝0.5059

104算法一不稳定,算法二稳定算法二准确,大数””小数3)在数值计算中应注意的几个问题(1)要避免两个相近数作减法数值计算中，两相近数相减会严重损失有效数字rrrrx

y

(y)

(x

y)

(x)

x

y

x

y时,

(x

y)

很大,

应改变算法sin

x1xs)ixn(sinxsin

2

x

cos1x

cos1xs)ixsin

x

cos

cos1x x()(-

c当x

y

cos1x化为当x

接近零时,计算计算化为1例1000i

1其中

0.1

.i

0.92.要防止大数“ ”小数在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“

”小数的现象，影响计算结果的可靠性.在五位十进制计算机上，计算A

52492

i

,把运算的数写成规格化形式1000iA

0.52492

105

.i

1由于在计算机内计算时要对阶，若取

i

，0.9成的.掉”小数造i对阶时

i

0.000，00在9五位10的计算机中表示为5机器0， 因此A

0.52492

105

0.000009

105

0.000009

105

0.52492

105

(符号Δ

表示机器中相等)结果显然不可靠，这是由于运算中出现了大数52492

“吃1000