数学竞赛立体几何专题精讲(例题练习)

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题练习)数学竞赛之立体几何专题精讲(例题练习)39/39数学竞赛之立体几何专题精讲(例题练习)合用文档数学竞赛中的立体几何问题立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，自然也是每年的全国联赛的必然观察内容．解法灵便而备受人们的喜欢，竞赛数学中间的立几题经常会以中等难度试题的形式出现在一试中，观察的内容常会涉及角、距离、体积等计算．解决这些问题常会用到转变、切割与补形等重要的数学思想方法．一、求角度这类题常以多面体或旋转体为依赖,观察立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小解决这类题的要点是,依照已知条件正确地找出或作出要求的角．立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种．其中两条异面直线所成的角经过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的订交直线所成的角，再构造一个包括该角的三角形，解三角形即能够完成；直线和平面所成的角则要第一找到直线在平面内的射影，一般来讲也能够经过解直角三角形的方法获取，其角度范围是0,90；二面角在求解的过程中间一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面订交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③依照三垂线定理或逆定理．别的还可以够依照面积射影定理SScos获取．式中S表示射影多边形的面积，S表示原多边形的面积，即为所求二面角．例１直线OA和平面斜交于一点O，OB是OA在内的射影，OC是平面内过O点的任素来线，设AOC,AOB,BOC.，求证：coscoscos．解析：如图，设射线OA任意一点A，过A作AAB于点B，又作BCOC于点C，连B接AC．有：OCOCOBOCcos因此，coscoscos．,cos,cos;OAOAOB评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用．过平面内一个角的极点作平面的一条斜线，若是斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影必然会落在这个角的角均分线上．利用全等三角形即可证明结论建立．②从上述等式的三项能够看出cos值最小，于是可得结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小．A例、（1997年全国联赛一试）如图，正周围体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得：AECF0，记f，EEBFD其中表示EF与AC所成的角，其中表示EF与BD所成的角，则：BDF（A）f在0,单调增加；（B）f在0,单调减少；GC标准文案合用文档（C）f在0,1单调增加；在1,单调减少；（D）f在0,为常数．`解析：依照题意可第一找到与,对应的角．作EG∥AC，交BC于G，连FG．显然FG∥BD，∠GEF=，∠GFE=．∵AC⊥BD，∴EG⊥FG∴90例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，则sin．CB解析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都DAO等于只要该平面与正方体的过同一个极点的三条棱所成的角都等于即可．以下列图的平面ABD就是吻合要求的平面，于是：CB3DAsin3二、求体积这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积相关的问题解决这类题的要点是,依照已知条件选择合适的面作为底面并求出这个底面上的高例十五、（2003年全国联赛一试）在周围体ABCD中，设AB1,CD3，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则周围体ABCD的体积等于A3A3;B1;C1;D32233E1解析：依照锥体的体积公式我们知道：V=Sh．B3D从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于C两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距．显然需要进行转变．作BE∥CD,且BE=CD，连接DE、AE，显然，三棱锥A—BCD与三棱锥A—BDE底面积和高都相等，故它们有相等的体积．于是有：VABCDVABDEVDABE1SBDEh1ABBEsinABEh1362例十六、（2002年全国联赛一试）由曲线x24y,x24y,x4,x4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，满足1x2y216,x2y222y22x,y组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体4,x4的点积为V，则：2（A）V=12V；（C）V=V；（D）V=2V；V；（B）V=1212121223标准文案合用文档解析：我国古代数学家祖暅在关于两个几何体体积的比较方面作出了优异的贡献，祖暅原理告诉我们：关于两个底面积同样，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，若每一个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖原理的思想我们能够将不规则的几何体的体积计算转变成规则几何体的体积计算．如计算球的体积时我们能够将半球转变成圆柱与圆锥的组合体．显然，本题中的两个几何体吻合祖暅原理的条件，比较其截面面积以下：取ya4a4，则：2S1162a164a当a0时：S216a2224a2164a当a0时：S216a2224a2164a显然，S1S2，于是有：V1V2．例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正周围体的六条棱都相切，若正周围体的棱长为a，则这个球的体积是．解析：由正周围体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正周围体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，观察三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，因此每组对棱间的距离即为内切球的2aP直径，于是有：2r23∴V42a2a33424ROCa的正周围体的外r练习：同样可用体积法求出棱长为AED接球和内切球的半径．解析可知，正周围体的内切球B与外接球球心同样，将球心与正周围体的个极点相连，可将正周围体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正周围体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正周围体的高度即可．2又：ha23a2a26a，因此，R6a,r6a．333412标准文案合用文档例十八、（1999年全国联赛一试）已知三棱锥S--ABC的底面为正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30，SA=23．那么，三棱锥S-ABC的体积为．解析：在求解立体几何问题时，经常需要第一理解所要观察对象的图形特点．连接BH并延长交SC于D，连AD．

SH为SBC的垂心∴BD⊥SC，且HD⊥SC，故AD⊥SC，SC⊥平面ABCASC⊥AB作SO⊥平面ABC于O，连接CO并延长交AB于E，易知：CE⊥AB，连DE．AB=AC

E

DHCOB∴HB=HC，即A在平面SBC内的射影H在线段BC的垂直均分线上，而点H是

SBC的垂心，可知SBC为SB=SC的等腰三角形．∴S在平面ABC内的射影O在线段BC的垂直均分线上．故射影O为ABC的中心，三棱锥S—ABC为正三棱锥．设底面边长为2a，则CE=3a，SA=SB=SC=23∴SO=3，OC=32CE=23a33∴VSABC1SABCh1133339333224标准文案合用文档例十九、（1998年全国联赛一试）ABC中，C90,B30,AC2，M是AB的中点．将ACM沿CM折起，使A、B两点间的距离为22，此时三棱锥A—BCM的体积等于．解析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系经常是我们解决问题的要点，问题中经常会涉AA及折叠图形形成MDD二面角，在折叠FMFCBCB前作一条直线与EE折叠线垂直订交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角向来能代表图形折叠所形成的二面角的大小．其他，经过解析可知解决本例的另一个要点是需要获取棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能瓜熟蒂落了．如图，作BD⊥CM的延长线订交于D，AF⊥CM于F，并延长到E，使EF=BD，连BE．显然，AF=EF=BD=3，EB=DF=2,因此：AE2=AB2-EB2=8-4=4三棱锥A—BCM的高即点A到平面BCM的距离也就是等腰AEF中点A到边EF的距离．依照面积相等可求得：23126h3.3标准文案合用文档∴V1123126223233例二十、（1995年全国联赛一试）设O是正三棱锥P—ABC底面△ABC的中心，过O的动平面与P—ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q、R、S，则和式111PQPRPS（A）有最大值而无最小值；（B）有最小值而无最大值；（C）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；（D）是一个与平面QRS地址没关的常量．A解析：借助于切割思想，将三棱锥P—QRSQ划分成三个以O为极点，以三个侧面为底面的三棱锥O—PQR，O—PRS，O—PSQ．OSCh，又设P显然三个三棱锥的高相等，设为QPRRPSSPQ，于是有：BRVPQRSVOVOPRSVO1SPRSSPSQhPQRPSQSPQR13PQPRPRPSPSPQsinh61PQPRPSsin又：VPQRSVQPRSsin，其中为PQ与平面PRS所成的角．6PQPRPRPSPSPQsinhPQPRPSsinsin于是得：

111sinPQPRPSh例二十一、（1993年全国联赛一试）三棱锥S—ABC中，侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP．证明：（1）DP与SM订交；2）设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥S—ABC的外接球的球心．解析：依照题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为一个以下列图的长方体，由于C、M、D三点共线，显然，点C、S、D、MCG在同一平面内．于是有DP与SM订交．FDDDM1H又由于：MC，而点D为长SC2D方体的底面SAEB的中心，故必有点D为MS对角线SF的中点，即为长方体的也是三棱BD标准文案AE合用文档锥的外接球的球心．例二十二、（1992年全国联赛一试）从正方体的棱和各个面的面对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是．解析：本题能够采用构造法求解．观察图中的D1C1四条线段：AD、AC、BC、BD，显然其中任意1111A1B1两条都是异面直线．另一方面，若是满足题目要求的线段多于4条，若有5条线段满足要求，DC由于5条线段中任意两条均为异面直线，AB10个，这因此其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的极点的个数必然大于或等于与题中的正方体相矛盾．故：k4．例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．解析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设P所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由F直线与平面平行的性质定理得：EF∥BC，连接MGAE，AF，则平面AEF为吻合要求的截面．HEC作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．ADBCPDPGGDGDGDAD5O111；BEFPGPGPGOHAO2故：VAPEFSPEFEF24；于是：VAPEF4．VAPBCSPBCBC25VAEFBC21三、求面积这类题常设计为求几何体中某一特别地址的截面面积解决这类题的要点是,封断出截面的形状及截面和已知中相关图形的关系标准文案合用文档四、求距离这类题常是以几何体为依赖,求其中的某些点、线、面之间的距离解决这类题的要点在于,依照已知条件判断出或作出吻合题意的线段,其长度就是吻合题意的距离4、（1996年全国联赛一试）已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰获取一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两极点间的距离是________．解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．取CD中点AG，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，

bbbF作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面B2aaDGC标准文案E合用文档角．AG=EG=22，BF=DF=2ab2－a2223a)2=2b－ab，AE=2b－(32AG2－AE2224(b2－42a2)2222得=2BF－BD．∴32=4ab9b2AG22BF22222=16a，b－a4a(b－a)最远的两个极点距离为3．

b2－4a2．由cos∠AGE=cos∠BFD，34b=3a，从而b=2，2a=3．AE=2．即解析：设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则：Pa2a22b3即：bb2a2F2223ab2ab2aAC44bDOE3bB化简得：a2P因此，a3,b2．于是可求得线段PP的长：pp2432．于是有最远距离为底边长3．标准文案合用文档五、求元素个数这类题常以长方体或三棱锥等几何体为背景,经过计算吻合题意的元素个数,来观察学生对计数问题的理解程度解决这类题的要点是计数时要有规律的数,作到不重复、不遗漏标准文案合用文档8、若是空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都订交的直线cP有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无量多条

Q

D’C’b解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD—ABCD，在c上取线段AD上一点P，过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a订交．由于能够取无量多个点P．应选D．

DCRaA‘B‘ABS9、给定平面上的5个点A、B、C、D、E，任意三点不共线.由这些点连成4条线，每点最少是一条线段的端点，不同样的连接方式有种.解：图中，4种连接方式都满足题目要求.（图中仅表示点、线间连接形式，不考虑点的地址).（1）（2）（3）（4）状况（1），依照中心点的选择，有5种其连接方式；状况（2），可视为5个点A、B、C、D、E的排列，但一种排列与其逆序排列是同一的，且两者是一一对应的，则有连接方式5!60种；状况（3），首2先是分歧点的选择有5种，其次是分叉的两点的选择有C426种，最后是余下并连两点的序次有别，有2!种，共计56260种；状况（4），选择3点构造三角形，有C5310种.共有5606010135种连接方式.标准文案合用文档3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面( )(A)不存在(B)只有1个(C)恰有4个(D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个极点所能组成的正三角形的个数为（A）4；（B）8；（C）12；（D）24．解析：一个正方体一共有8个极点，依照正方体的构造特点可知，组成正三角形的边必定是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线组成两个等边三角形，即每一条边要在组成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现2C12124次，而每一个三角形由三边组成，故一共24可组成的等边三角形个数为8个．3例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个极点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若是只有5种颜色可供使用，那么不同样的染色方法的总数是．解析：就四棱锥P—ABCD而言，显然极点P的颜色必然不同样于A、B、C、D四点，于是分三种状况考虑：①若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：A5360（种）②若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：C21A54240（种）③若使用五种颜色，则各极点的颜色各不同样，其染色种数为：A55120（种）故不同样染色方法种数是：420种．六、特别周围体1．周围体由于周围体是三角形在空间中的实行，因此三角形的好多性质也能够实行到周围体：（1）连接周围体的棱中点的线段交于一点，且在这里均分这些线段；（2）连接周围体任一极点与它对面重心的线段交于一点，且这点将线段分成的比为3：1，G称为周围体的重心．（3）每个周围体都有外接球，球心是各条棱的中垂面的交点．（4）每个周围体都有内切球，球心是周围体的各个二面角的均分面的交点．例10（1983年全国）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有周围体中，最大的体积是多少？证明你的结论．2．特别周围体（i）等腰周围体：三组对棱分别相等的周围体．性质（1）等腰周围体各面积相等，且为全等的锐角三角形；（2）体积是陪同长方体的13．（ii）直角周围体从一个极点出发的三条棱相互垂直的周围体．性质（1）直角周围体中，不含直角的面是锐角三角形（称该面为底面）；（2）任一侧面面积是它在底面投影的面积和地面面积的比率中项，且侧面面积的平方和是底面面积的平方；（3）三个侧面与底面所成三个二面角的余弦的平方和是1．3．正周围体每个面都是全等的等边三角形的周围体．标准文案合用文档性质（1）若正周围体的棱长为a，则周围体的全面积S＝3a2，体积V＝2a3；（2）正周围体对棱中点的12连线长d＝2662a；（3）正周围体外接球的半径4a，内切球的半径为12a．七、“多球”问题在解决立体几何问题时，常会遇到若干个球依照必然的法规“叠加”的问题，我们将这类问题简称为“多球”问题．关于“多球”问题，我们经常能够从多球中提炼出球心所组成的立体图形，将问题简化，尔后经过解决这简化的问题，获取原问题的待求结论，这是解决“多球”问题的一个常用方法．5、将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD是基层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心H与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是EG把正方形ABCD绕其中心旋转45而得．设E的射影为N，则MN=2－F1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴EN=48．所求圆柱的高=2+48．DCNM1AB6、底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为2cm的实心铁球，四个球两两相切，其中基层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好吞没所有铁球，则需要注水cm3．2填(3＋2)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为基层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为2的正方形．因此注水高为1＋2．故应注水π(1＋2222)－441312×3π(2)＝(3＋2)π．例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．标准文案合用文档标准文案合用文档例2制作一个底圆直径为4cm的圆柱形容器，要内装直径为2cm的钢珠26只，那么这容器最少要多高?(上海市1986年竞赛试题)标准文案合用文档例3在正周围体内装入半径同样的球，使相邻的球相互相切，且外层的球又和正周围体的面都相切，这样装法，当球的个数无量大时，求所装球的体积与正周围体体积之比的极限．(第八届希望杯高二数学培训题)标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档八、体积法及其应用标准文案合用文档体积法是办理立体几何问题的重要方法．在高中数学竞赛中，利用体积法解题形式简洁、构思简单，内涵深刻，应用广泛，备受喜欢．几何体的体积包括基本几何体的体积计算、等积变换等方法，同时有以下常用方法和技巧：(1)转移法：利用祖咂原理或等积变换，把所求几何体转变成与它等底、等高的几何体的体积．(2)切割求和法：把所求几何体切割成基本几何体的体积．(3)补形求差法：经过补形化归为基本几何体的体积．(4)周围体体积变换法．(5)算两次法：对同一几何体的体积，从两种方法计算，建立出未知元素的等量关系，从而使问题求解．利用这类方法求点到平面的距离，能够回避作出表示距离的垂线段．别的，体积法中对周围体的体积变换涉及很多应用广泛．关于周围体的体积有以下常用性质：(1)底面积同样的两个三棱锥体积之比等于对应高之比；(2)高同样的两个三棱锥的体积比等于其底面积之比；(3)用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方；标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档九、立体几何中的截面问题截面问题涉及到截面形状的判断、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值．本文介绍此类问题的求解方法．判断截面图形的形状标准文案合用文档截面面积和周长的计算标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档计算截面图形的个数标准文案合用文档确定截面图形的性质标准文案合用文档标准文案合用文档求截面图形的最值标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档标准文案合用文档九、综合问题7、极点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为525626A．3B．3C．3D．3解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面积在OH=HC=2时获取最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=POtan30=26．31PHPO2解2：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=VB－AOP，而VO－PHC∶VO－PBC==22PBPB21313，(PO=PH·PB)．记PO=OA=22=R，∠AOB=，则VP—AOB=Rsincos=12Rsin26

PAB，OH⊥HC，PCHOBA标准文案合用文档VB－PCO=13．PO2R2=12．VO－PHC=sin21R3sin2，24Rsin22=2222=3+cos212．∴令y=PBR+Rcos1+cos3+cos23+cos22cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2=0，得cos2=－1，326y=(3+cos2)23cos=，∴OB=3，选D．3例19把一个长方体切割成k个周围体，则k的最小值是.例20已知l是大小为45的二面角，C为二面角内必然点，且到半平面和的距离分别为2和6，A，B分别是半平面，内的动点，则ABC周长的最小值为_____．例21以下列图，等腰△ABC的底边AB66，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点