卓越农林项目班数学基础课教学的改革与探索

卓越农林项目班数学基础课

教学的改革与探索摘要：大学数学基础课程重在强化学生的逻辑推理能力，对培养本科阶段各专业人才具有重要作用。针对现有卓越农林项目班数学基础课程教学中存在的问题，从教学内容、教学方法、教学理念方面进行创新，在结合专业及考研需求设置例题、混合式教学模式及实践教学环节的运用、以能力为导向的数学思想与方法的融入方面开展改革与探索，以提升学生的数学综合能力。关键词：数学基础课;卓越班;教学探索；教学改革—、引言为深入贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》，推进高等农林教育综合改革，教育部、农业部、国家林业局共同组织实施了“卓越农林人才教育培养计划”，将“以人为本，德育为先，能力为重，全面发展”作为总体要求，为生态文明、农业现代化和社会主义新农村建设提供人才支撑。首批试点项目140项，其中拔尖创新型农林人才培养模式43项，复合应用型70项，实用技能型27项。以内蒙古农业大学为例，学校2015年启动“卓越农林计划”，旨在培养科研素质良好，具备较强科研潜力的拔尖创新型农林人才，历经4年多的培养，在多个方面取得了优异成绩，例如草业科学卓越农林项目班的首届毕业班共计36人,报考硕士研究生的人数高达35人,被录取24人。高等数学、线性代数、概率论与数理统计是卓越农林项目班重要的公共基础课,也是相关专业研究生入学考试的必考科目，在各门类学科（如电路设计与分析、力学、规划论、对策论、排队论、信息论、控制理论和经济社会学科等）中，应用都非常普遍E。其严谨的逻辑推理、巧妙的归纳综合有助于强化数学素养与科学智能，在拔尖创新型农林人才的培养中具有重要作用。然而，卓越农林项目班的数学基础课大多仍采用传统的教学内容与教学方法,未考虑到学生的专业需求与考研需求，缺乏培养学生自主学习能力的线上教学和实践教学环节,忽略了数学思想与数学方法的传输，无法满足卓越农林项目班学生对知识的需求和思路的开拓，亟需更新教学理念、创新教学方法和教学手段，为“卓越农林计划”的实现提供有力支持和基础保障。二、卓越班数学类基础课教学存在的问题在内蒙古农业大学卓越农林项目班（简称卓越班）数学基础课程的教学实践中，发现存在下述问题。(-)教学内容与学生需求脱节数学的教学既要符合其自身的规律，又要切合专业特点和专业需要，二者尚未达到兼顾与平衡。数学基础课教学目前主要采用理论知识传输型模式，脱离了面向学生专业的实际应用⑵，例如所有农科类专业采用同一教材、同一大纲、同一进度，教师的教学内容没有涉及学生专业方面的例题与介绍，学生无法了解数学课程在本专业的应用方向，同时由于数学课程的高度抽象性，容易导致学生丧失学习兴趣，不利于卓越班学生数学素养的提升。此外，目前的教学内容较少结合相应的考研数学课程大纲进行设置，例题通常也仅选择综合性不强的简单题目，导致卓越班中等程度以上的学生都觉得考研数学课程复习吃力。教师的教学方法传统而简单目前数学基础课的教学方法仍为“多媒体+板书”的线下教学模式，没有考虑卓越班学生的学习能力及个体之间的差异，学生缺乏学习和思考的主动性与参与性，仍是“知识接受者”，尚未转变为“知识探索者另外，未设置使用数学软件解决问题的实践教学环节，没有体现现代科技对于数学问题解决的巨大作用，成为学生使用数学手段解决实际问题的瓶颈。数学课程的受重视程度不足数学作为基础课，其作用往往并非立竿见影，一直以来都被认为是工具学科，没有得到足够的重视,导致数学思维与数学素养的教育无法贯彻执行,卓越班学生对数学课程的重视程度同样不足，仍停留在“学数学”层面，无法理解数学文化、数学思想与方法所蕴含的丰富教育意义,未达到“用数学”的高度。鉴于上述问题，本文将以培养拔尖创新型农林人才为目标，对卓越班数学基础课程的教学内容、教学方法、教学理念进行创新与改革。三、卓越班数学类基础课的教学改革与探索结合专业及考研需求设置教学内容现有数学基础课程的教学内容基本上是封闭的、线性的、确定的，知识体系相对稳定，缺少与相关学科专业的创造性整合，不利于启发引导学生。如何实现大学数学基础课程与专业课程的有机结合，是每一位高校数学教师特别是卓越班教师面临的首要问题⑶。在例题的选择方面，要尽可能搜集与学生所学专业密切相关的案例，如在面向机电类专业的高等数学课程中，讲到定积分的应用时，可加入如下实例：例1:在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线方程为!"#(1+cos!)，求凸轮横截面的面积。解:该凸轮横截面如图1,为心形线，关于极轴对称，因此凸轮横截面的面积S为极轴以上部分图形面积%1的2倍。极轴以上部分图形!的变化区间为】0,"［,则所求面积为：%=2=2!#2($+cos!)2&!=#2j(1+2cos!+cos2!)&!=#2j(2+2cos!+}cos2!)d!=a2if!+2sin!+jsin2!［"而在面向水利类专业时，同样讲述定积分的应用，则采用如下例题：例2:一闸门为梯形，其上底为6米,下底为2米，深为10米，当水面与门顶相齐时，求闸门所受的水压力。解：由物理学可知，液面以下深度为h处的压强为P"pgh，由于闸门竖直放置于水中，而水下不同深度的点处压强P不同。建立如图2所示的坐标系,.为积分变量，其变化范围是［0,10］，在该区间内任取一小区间［.,.+d.］，对应小横条的面积近似为2yd.，压强近似为pg.，则小横条受到水的压力等于压强与面积的乘积,即：AF二pg.・ "2pg.(3-—)dx,因此，压力元素为&F=2pgx(3-专)dx，则闸门所受的水压力为10 . 500F=J。2pgx(3-—)dx=-#-pg"1633.3(千牛)。将数学课程的知识点与专业课程的具体案例相结合，有助于激发学生的学习兴趣，建立数学建模的思想,提高数学的实际运用能力。当然，这对任课教师的备课工作提出了新的要求，需要任课教师在教学实践中不断学习相关专业知识，更新与补充相关案例。目前，内蒙古农业大学数学与统计学系为了解决这一问题，已启动《大学数学在工科中的实证分析》《大学数学在经济中的实证分析》《大学数学在农科中的实证分析》三本教材的编写计划，分类搜集与整理适合于学生所学专业的数学案例，对原有的教材进行必要的补充，正如Hummel所述“教材的精心设计是为了实现可理解性、示范性及以学生中心的教学，通过教材改变数学教学与学生专业疏离的状态。卓越农林人才教育的培养目标定位为具备较强科研潜力的拔尖创新型人才，考研是多数卓越班学生的选择，从近年的考研成绩来看，致使考生落榜的往往是数学或英语的单科成绩⑸，因此，数学课程内容的设置在满足常规教学的基础上，还要满足多数学生的考研需求，要依据考研大纲中的重点内容与常见题型进行内容设置，并予以归纳和总结。如在线性代数课程中，研究生入学考试更侧重于考察知识点的系统性，往往是矩阵、向量、线性方程组的综合试题，而归纳整理具有事半功倍的效果，能够使学生开拓思路，彻底弄清楚诸多知识点之间的内在联系，达到熟练掌握和灵活运用所学知识的目的。例如“1阶方阵*可逆”是常考知识点，与其等价的命题可归纳为：I*#0;2(*)=i;*可以表示为有限个初等矩阵的乘积；*的列(行)向量组线性无关；齐次线性方程组*3=0仅有零解；非齐次线性方程组*3=4有唯一解；*可以是向量空间的某两个基的过渡矩阵。在例题的选择上，卓越班的学生数学基础较好，学习积极性较高，可选用一些典型的考研真题进行强化训练,例如在线性代数课程讲到常考内容“矩阵的相似对角化”时，例题可选用2015年全国硕士研究生入学考试数学三中的第23题,如下：-02 -3-例3：设矩阵*=-1 3 -3相似于-1-2a--1-20-1矩阵+=0b0O-0 31(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵(，使(-1*(为对角矩阵。解题思路:由相似矩阵的性质，当矩阵*与+相似时，二者的特征多项式、特征值、行列式的值、迹和秩均相同，可以通过行列式和迹相同计算出a,b的值,相似变换矩阵P则由线性无关的特征向量组构成。解：(1)矩阵*与+相似，则{Tr(*)=Tr(+) {3+a=1+b+1{ |*l=l+l${ 2a-3=b${a=4。lb=5(2)由| -+|=0可解出+的特征值为%1=九2=1，%3=5，*与+的特征值相同。当九1=九2=1时，方程组(6-*)3=0的基础解系为&=(2,1,0)T，&2=(-3,0,1)T；当%3=5时,方程组(56-*)3=0的基础解系为&3=(-1,-1,1)5。

-2-3-1-1 0 -1，则TOC\o"1-5"\h\z-0 1 1 --1 -P-1*P= 1 ,P为所求可逆矩阵。- 5-要解答本题，需将多个知识点（相似矩阵的性质、相似对角化的判别、特征值和特征向量的求法、相似对角化过程的实现）有机整合，具备综合运用知识的能力⑹。这类题目的引入为学生参加研究生入学考试夯实了基础，树立了信心。（二）混合式教学模式及实践教学环节的运用传统数学课采用“满堂灌”的讲授式教学，课堂上学生思考和消化所学内容的时间被压缩，个性化教学无法实现，随着互联网时代的到来，新的思维方式产品进入教育行业。教师的教学手段、学生的学习方式正在发生巨大的变化，特别是在培养创新型人才时,从完全面授的线下教学转变为线上线下混合式教学，可以给学生提供更加多元开放的学习环境⑺。利用优慕课、雨课堂、腾讯课堂、钉钉等网络平台，构建网络教学环境，整合多样化的学习资源，帮助学生实现电脑、手机端的碎片化学习，通过在线讨论与分组学习等互动模式,提升学生的自学能力和思辨能力。线上教学作为课堂教学的有益补充,能够使教与学的效率显著提升囱。例如，使用雨课堂平台，可以实现课前预习授课PPT,课上快速签到、视频直播教学、学生发弹幕互动，课后提交测试题与笔记，还可以通过手机端进行分组讨论。每一次测试系统都能够自动进行客观题的批改,教师在手机或P*端可以进行主观题的批改，不仅使作业的布置更加灵活高效，还能给出每题的得分统计与详情（见图3），使教师了解每位学生的掌握情况，及时发现问题,进行有针对性的讲解。同时，雨课堂详尽的学习情况记录能够更加全面对学生的签到、测试、笔记等方面进行考核。图3雨课堂手机端功能界面与测试题统计早在1998年第一届东亚数学教育会议上，Kaput教授就提出，计算机可以完成复杂的计算与图像的模拟，加深对大学数学概念、性质和定理的理解回。ChantalButeau和EricMuller也指出,大学数学教师要鼓励学生运用计算机应用程序进行数学探索，开发数学创造力问。基于这一理念,可以在高等数学、线性代数课程中加入使用数学MATLAB、MATHEMATICA等软件解决问题的案例，在概率论与数理统计课程中加入使用SAS等统计学软件的应用。这些数学软件的引入与学习，将学生感到困难的计算、画图、统计等问题用电脑上的几条简单命令来实现，让学生对现代信息技术解决数学问题有初步的探索与尝试，在提高学生的学习兴趣和主观能动性的同时，培养其分析、解决问题以及编程的综合能力I"'。例如，在高等数学的空间解析几何部分，学生往往对曲面的图形停留在空间想象阶段，缺乏直观的印象，可加入以下实例：

例4:利用MATLAB中的"surf#语句绘制马鞍2 2面(函数7"寻-子)的图形。在MATLAB命令窗口输入以下语句：>>[x,y]=meshgrid(-25：1：25,-25：125);>>z=x.*2/9-y.*2/4;>>surf(x,y,z)>>title(马鞍面)>>gridoff可绘制出马鞍面的图像(见图4)%在此基础上，指导学生绘制其他曲面与曲线的图形，如双曲正切函数tanhx，星形线x=2cos3t，y=2sin31(1(t(2")和摆线x=2(t-sint)，,=2(1-cost)(1(t(4")的图形，将抽象的符号表示式转变为生动的图像，可以提高学生的学习兴趣,改善教师的教学效果。融入数学思想与方法的教学理念数学教学的真正目标是理解数学的重要性,领悟数学的思想方法和精神实质接受过良好数学教育的人，时光的流逝可能会使其忘记学过的内容和解题技巧，但数学思想与方法却已内化为数学素养，随时运用于所从事的业务中的。因此，要把“学数学#升华到“用数学#的高度，除了要讲授必要的知识点外，还要以能力为导向，将数学思想和数学方法融入其中，才能使数学课程起到培养拔尖创新型人才的作用。图4马鞍面示意图在高等数学课程中，“逼近’“由简入繁’“化繁为简#的思想方法贯穿整个微积分理论,本文例1中的面积元素、例2中的压力元素都是运用“逼近#的思想计算得出的。而在线性代数课程中，“降阶”’数形结合’’类比’“化归#的数学思想至关重要询，如在二次型的讨论中，首先要建立二次型与对称矩阵之间一一对应的关系，将二次型的标准化转变为实对称矩阵对角化问题,这种将未知的问题转化为已知问题，正是“化归#思想的运用与呈现。而在概率论与数理统计课程中，在明确问题的实际背景与意义的基础上，常常采用“数学建模#的思想方法解决实际问题。例如，教师在讲到概率论中的“贝叶斯公式#时,可选用“贷款购房#这个热点问题构建数学模型首先设置如下问题让学生思考:假设李先生在还贷期间有两次逾期还款，当他还清本次贷款后，若想再次向银行贷款,银行会贷款给他吗？分析:设*“李先生逾期还款”，+“李先生可信”，则+为’李先生不可信”，假设银行对李先生的初始印象为：((+)=1.7,((+)=1.3;另外设可信的人逾期还款的概率较小，为((*1+)=1.1，不可信的逾期还款的概率较大,为((*1+)=1.5,由贝叶斯公式，李先生第一次逾期还款后的可信度为:((*1+)((+)((+9*)_((*1+)((+)+((*I+)((+((+9*)_((*1+)((+)+((*I+)((+)1.1x1.7李先生的可信度由1.7下降至1=318,而当李先生再次逾期时，将1.318作为新的((+)，再使用一次贝叶斯公式：((*1+)((*1+)((+)( )_((*1+)((+)+((*I+)((+)= 1.1x1.318 =1185=1.1x1.318+1.5x1.682=. ，李先生两次逾期还款后，他的可信度下降至1.185,银行将不予批准其再次贷款。在面向卓越班的数学课程教学中，将三门数学基础课中的重要思想与方法融