2020八年级下册期中数学试卷及答案北师大版

【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2=u得出关于U的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．23.已知a,b,c是AABC的二边，b2+2ab=c2+2ac，则AABC的形状是等腰三角形.【考点】因式分解的应用.【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b=c，才能说明这个三角形是等腰三角形.【解答】解：b2+2ab=c2+2ac可变为b2-c2=2ac-2ab，(b+c)(b-c)=2a(c-b)，因为a,b，。为厶ABC的三条边长，所以b,c的关系要么是b>c，要么bVc,当b>c时，b-c>0,c-bVO,不合题意；当bVc时，b-cVO,c-b>0,不合题意.那么只有一种可能b=c.所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形.【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键.24.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP=PP=PP—=PP=PA,则ZA的度数是1122313141412°.【考点】等腰三角形的性质【分析】设ZA=xZAPP''一•.•AP=PP=PP—=PP=PA,1【考点】等腰三角形的性质【分析】设ZA=xZAPP''一•.•AP=PP=PP—=PP=PA,11223131414等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出据三角形的‘7■p和定理列式进行计算即可得解..\ZA=ZAPP=ZAPP=x,11314.\ZPPP=ZPPP=2x,213131412.\ZPPP=ZPPP=3x,24121311ZPPP=ZPPP=7x,TOC\o"1-5"\h\z768897.\ZAPP=7x,ZAPP=7x,7887在厶APP中，ZA+ZAPP+ZAPP=180°,787887即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即ZA=12°.故答案为：12°•【点评】本题考查了等腰三角形■等

的性质，规律探"度较大.BC■中，【点评】本题考查了等腰三角形■等

的性质，规律探"度较大.BC■中，ZC=90°,,寸等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折,25；如图，在.….-使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，贝9△PEB的周长的最小值是亠「卫L此此点】轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换(折叠问题).几何动点问题.连接CE，交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可E的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,先求出BC和BE长，代入求出即可.cE，交AD于M,口E重合，T沿细折叠.•・ZACD=D(P)T沿细折叠.•・ZACD=D(P)吕:.AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称，CD=DE=1,.•.当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时厶BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,VZDEA=90°,.•・ZDEB=90°,•.•ZB=60°，DE=l,.•・BE=,BD=,3即BC=1+,.•.△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+,故答案为：1+.「3【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中.二.解答题(共30分)26.观察下列各式：，，，，，•••请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x(x表示正整数)的等式表示出来_=-.请利用上述规律计算：.(x为正整数)_.--请利用上述规律，解方程：.【考点】解分式方程；分式的加减法.【专题】规律型.【分析】(1)观察一系列等式得出一般性规律，写出即可；利用得出的规律化简所求式子计算即可得到结果；利用得出的规律化简方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：(1)=-；(2)原式=11…-,=l-,lx+1(3)方程变形得：-+-+-=,整理得：-二，l_me山1去分母得：x+1-x+2=x-2,解得：x=5,检验：将x=5代入原方程得：左边=右边，・•・原方程的根为x=5.忑【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键.27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtAABC中，AB=BC,ZABC=90°,B0丄AC于点0,点P、D分别在AO和BC上,PB=PD,DE丄AC于点E,求证：△BP09APDE.晅证明的思路可用下列框图表示:A，完成解答(2)考点】全等三角形的判定与性质．晅证明的思路可用下列框图表示:A，完成解答(2)考点】全等三角形的判定与性质．专题】压轴题．【分析】(1)求出Z3=Z4,ZB0P=ZPED=90°，根据AAS证厶BPO^^PDE即可;(2)求出ZABP=Z4,求出△ABP9ACPD,即可得出答案；应作三角.形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程:应作三角.形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程:(3)设OP二CP二x，求出AP=3x,CD=x-,即可得出答案.【解答】(1)证明:VPB=PD,AZ2=ZPBD,VAB=BC,ZABC=90°,AZC=45°,•.•BO丄AC,.\Z1=45°,AZ1=ZC=45°,VZ3=ZPBC-Z1,Z4=Z2-ZC,AZ3=Z4,BO丄AC,DE丄AC,.\ZB0P=ZPED=90°,在厶BPO和厶PDE中V3=Z4、BP=PD'(2)证明：由(1)可得：Z3=Z4,BP平分ZABO,.\ZABP=Z3,.\ZABP=Z4,在厶ABP和ACPD中fG^^ABP^^CPD(AAS),解：CD'与AP‘的数量关系是CDZ=APZ.理由是：设OP二PC二x,则A0=0C=2x=B0,2则AP=2x+x=3x,由厶OBP9AEPD，得BO=PE,PE=2x,CE=2x-x=x,•ZE=90°,ZECD=ZACB=45°,••・DE=x，由勾股定理得：CD=x,即AP=3x,CD=x,••・CD‘与AP'的数量关系是CD'=APJ-—点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合用，主要考查学生的推理和计算能力.2•操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC,分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF丄AB于点F,EG丄AC于点G,M是BC的中点，连接MD和ME,则下列结论正确的是①②③⑷（填序号即可）①AF=AG=AB:②皿D=ME；③整个图形是轴对称图形；④ZDAB=ZDMB.•数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；•类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断厶MED的形状.答：等腰直角三角形.A考.【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM9AMGE,根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,DF和MG相交于H,根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM9AMGE,由全等三角形的性质就可以得出结论；【解答】解：•操作发现：•/△ADB和AAEC是等腰直角三角形，.\ZABD=ZDAB=ZACE=ZEAC=45°,ZADB=ZAEC=90°在厶ADB和厶AEC中，"^△DB^AEC(AAS),.^BD=CE,AD=AE,TDF丄AB于点F,EG丄AC于点G,.•・AF=BF=DF=AB,AG=GC=GE=AC.VAB=AC,22••・AF=AG=AB，故①正确；•••M是BC的中点，••・BM=CM.AB=AC,.\ZABC=ZACB,.\ZABC+ZABD=ZACB+ZACE,即ZDBM=ZECM.在厶DBM和AECM中，BD=CE'•歸瑚•故②正确；连接AM,根据前面的证明可以得出将图形1,沿AM对折左右两部分能完全重合，・••整个图形是轴对称图形，故③正确.•AB=AC,BM=CM,AM丄BC,ZAMB=ZAMC=90°,VZADB=90°,・•・四边形ADBM四点共圆，/.ZADM=ZABM,*/ZAHD=ZBHM,/.ZDAB=ZDMB，故④正确，故答案为：①②③④•数学思考：MD=ME,MD丄ME.理由：作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,AF=AB,AG=AC.•/△ABD和厶AEC是等腰直角三角形，DF丄AB,DF=AB,EG丄AC,EG=AC,ZAFD=ZAGE=90°,DF=AF,GE=AG.M是BC的中点，MF〃AC,MG〃AB,・四边形AFMG是平行四边形，AG=MF,MG=AF,ZAFM=ZAGM.MF=GE,DF=MG,ZAFM+ZAFD=ZAGM+ZAGE,/.ZDFM=ZMGE.在厶DFM和厶MGE中，；FM=GE\ZDF^='ZMGEDF二MG.•.△DFM9AMGE(SAS),••・DM=ME,ZFDM=ZGME.•.•MG〃AB,••・ZGMH=ZBHM.VZBHM=90°+ZFDM,.•・ZBHM=90°+ZGME,•?ZBHM=ZDME+ZGME,.\ZDME+ZGME=90°+ZGME,即ZDME=90°,AMD丄ME..•・DM=ME,MD丄ME；•类比探究：•・•点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点,.•・MF〃AC,MF=AC,MG〃AB,MG=AB,A四边形MFAG是平行四边形，2.•・MG=AF,MF=AG.ZAFM=ZAGM•/△ADB和AAEC是等腰直角三角形，.•・DF=AF,GE=AG,ZAFD=ZBFD=ZAGE=90°.•・MF=EG,DF=MG,ZAFM-ZAFD=ZAGM-ZAGE,即ZDFM=ZMGE.在厶DFM和厶MGE中，*\^>M^MGE(SAS),■eMD=M§,zmdf=zemg.•mg〃ab,.\ZMHD=ZBFD=90°,.\ZHMD+ZMDF=90°,.\ZHMD+ZEMG=90°,即ZDME=