2022年历届全国大学生高等数学竞赛真题预测及答案非数学类

(*)=-2J°(1-2t2+t4)dt(*)=-2J°(1-2t2+t4)dt前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参与高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，合适看部分教导书及有关题目，核心是部分各大高校试题。）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每题5分，共20分）（x+y）ln（l+Z）计算口一 d），= ,其中区域。由直线x+y=1和Dx-y两坐标轴所围成三角形区域.f01解：令x+y=u,x=v,则x=v,y=u-v,dxdy=detdwdv=dwdv,yJJC)m(七"』Dyj\-x-y DJ]U'^Pdv-"Plnvdv)dMoyloJl-uo_Lm2Inw_u(u\nu-u)如令t=J\-u,则u=\-t2w(l-u)=n(l-/)(l+0.du=-2zdt,i<2=1-2n+14,w(l-u)=n(l-/)(l+0.1_161_16"15=2j'(1-2/2+/4)dr=2t~-n+-t5

o [_3 5设/(x)是持续函数，且满足f(x)=3x2-l7(x)dx-2,则f(x)=_0解：令A=J2f(x)dx，则f(x)=3x2-A-2,0A=J2(3x2-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,)4 10解得4=-o因此/(x)=3x2-_0曲面Z=2+埒一2平行平面2x+2y—z=0切平面方程是 .解：因平而2x+2y-z=0法向量为(2,2,-1),而曲而[=三+歩一2在TOC\o"1-5"\h\z(x,y)处法向量为(z(x,y),z3,y),-1),故0 0 X0 0 >00(z(X,y),Z(x,y),-1)和(2,2,-1)平行，因此，由z=x,z=2y知x0 0y0 0 x y2=z(x,y)=x,2=z(x,y)=2y,x00 0 y00 0即x=2,y=1,又z(x,y)=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y-z=。在oo oo(爲,*,z(爲,*))处切平面方程是2(X-2)+2(y-l)-(z-5)=0，即曲面z=^-+y2-2平行平面2x+2y-z=0切平面方程是2x+2y-z-l=0o设函数y=yM由方程xe/(y)=eyln29拟定，其中/•具有二阶导数，且广”，则d2y_砧= .解：方程=e〉ln29两边对工求导，得ef(y)+xf'(y)y'ef{y}=e>y'\n29因e>In29=xef(y),故-+ =即V=八、、,因此x XI-/(力)也y"=- 1 ,广3双_广。)_ 1 =r(y)-[i-/W~x2[l-r(y)]3 一-X2[l-r(y)]3Px+fi2x+•,•+€nxe二、(5分)求极限hm( )，，其中〃是给定正整数.解：因TOC\o"1-5"\h\z 2心、《 ex+C2x 一hm( ).«=lim(1+ )xx->0 n x->0 n故

..ex+e2x+•••+e心一〃eA=lim TOC\o"1-5"\h\zio 〃 xe«+e2x enx-n=elim .5 nx..e«+2eix-\ 心1+2 nn+1=ehm =e = e.e n n 2因此..Q+C2x+•••+& Jiilhm( )*= =e2x-*O n三、(15分)设函数/(x)持续，g(x)=JV(A7)由，且lim虫=人，A为常数，求0 »->ox，⑴并讨论g\x）在X=0处持续性.解：由lim竺1=A和函数/(X)持续知，/(O)=limf(x)=limxlimZ^=0x-M)* x-»O x->0x-»O*因g(x)=j1f(xt)dt,故g(O)=jI/(O)dr=/(O)=O,0 0因此，当时工。0,g(x)=LJj(“)血，故x0JV(w)dM f()limg(x)=lim =lim八)=/(O)=0x->0.iO x->0X x-»O1x->0当时f(x)_A*项 x->o2x2f(x)_A*项 x->o2x2-lim—fV(w)<1M=A—iXeX2o 2 2g，(O)=lim"冲=Hm =]血 =limx-»OX iOX x->0工2x->0x->()limg，(x)=lim[-—fxf(w)dw+"')]—limx->0 x->0x2ox->()这表白g'(x)在x=O处持续.四、（15分）已知平面区域。=｛（x,y）IO＜x＜兀，0＜），＜兀｝,L为D正向边界，试(1)证:(1)ye-sinxdx=Jxe-^ydy-泪mdr；

(2)Iydy-ye-^mydx>|k2.证：因被积函数偏导数持续在。上持续，故由格林公式知33(xesin〉)-言(-ye-sinx)jlrdy(1)j必nydy-ye-sinxdxL=JJ(esin)'+g-sinx)d_rdyJxe-sinrdy-yesinxdr=JJ—(xe-siny)-—(-ye«nX[Sr dy=/I(g-siny+esinx)dxdy而。有关x和y是对称，即知fj(esiny+e-sinx)dxdy=//(^-siny+esinx)dvdy因此[jvgsinydy-ye-sinxdr=1xe-smydy-yesinxckL L(2)t2t4e>+e->=2(1+—+—+)>2(l+/2)、c ,1一cos2x5-cos2xesinx+e-sinx22+sin2工=2+ = TOC\o"1-5"\h\z2 2由siny+esin.t)dxdyJxesinydysiny+esin.t)dxdyJxe^inydy—ye-sin、dr=-1JJ(esiny+e-sinX)dxdy+-1jj(e-siny+e$inX)dxdyL D D=yj/(cmy+e-sin，Jdxd)‘+iJJ(e-sinx+e'in*)dxd>'=jl(e-sinx+esint)d_rdyD D D=7iJn(e-sinx+gnx)dx>tiJ"5cos2x心=5丸20 0 2 2[xgsinydy-ye-sinydx>五、(10分)已知=xex+e2x, =xex+e-x,七=炊*+皿一心是某二阶常系数线性非齐次微分方程三个解，试求此微分方程.解设yx=xex+e2x,y^=xex+e-Xt=xex+e2x-e-x是二阶常系数线性非齐次微分方程y,,+by,+cy=f(x)三个解，则义-七=e-x-s和I’-七=z所有是二阶常系数线性齐次微分方程y"+by'+cy=Q解，因此)，〃+处'+。，=0特性多项式是(人—2)。+1)=0,而y',+hy,+cy=0特性多项式是人2+人入+c=0因此二阶常系数线性齐次微分方程为一y'—2"0,由y,y；-2七=f(x)和y'=ex+xex+2e2x,y"=2e*+xe^+4m知，f(x)= -2)[=xex+2e«+4m-{xex+e«+2m)-2(xe^+皿)=(1-2x)ex二阶常系数线性非齐次微分方程为y"—y'-2y=e•-2xex六、(10分)设抛物线y=axz+bx+2hicxL原点.当时0《人《1,yNO,又已知该抛物线和丄轴及直线x=1所围图形