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自主招生数学模拟试卷一、填空题（每题8分，共80分）1、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且，，则实数a的取值范围为

.2、设，则=

.3、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是

分钟.4、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么合适这个不等式组的整数解a、b的有序实数对（a，b）共有

对.5、已知平行四边形ABCD的周长为52，自定点D作DE⊥AB，DF⊥BC，点E、F为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF=

.6、请将填入以下方格，使得每行、每列、对角线的和都相等.7、已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分，这x是连结梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则=

.8、在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB、AC相较于点D、E，则DE的长为

.9、实系数二次多项式p（x）满足对所有的实数x，都有,已知，则=

.10、如图，△ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c，a，b，c都是整数，且a、b的最大公约数为2，点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC=90°，则△ABC的周长是

.二、解答题（共70分）11、（本题15分）若两个不相等的实数a、b，使得和都是有理数，称数对（a，b）是和谐的.（1）找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的.（2）证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a、b都是有理数.（3）证明：若（a，b）是和谐的，且是有理数，则a、b都是有理数.12、（本题15分）试求实数a、b，使得抛物线和与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等.13、（本题20分）如图，C是线段AB的中点，△DCE和△BDF都是等腰直角三角形，连结AE、AF，请猜想∠EAF的度数并证明.14、（本题20分）已知a+b+c是a、

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