一元线性回归模型

第三章一、练习题（一）简答题1、 对随机项£•作了哪些假定？这些假定为什么是必要的？i2、 简要说明显著性检验的意义和过程？3、 已知回归模型y=a+Px+卩，式中一为某类公司一名员工的年收入（元）x为工作时间（年）。随机扰动项卩的分布未知，其他所有假设都满足。（1） 从直观及经济角度解释Q和0。（2） OLS估计量/和0满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。（3） 对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。4、 为什么用决定系数R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？5、 可决系数R2说明了什么？在简单线性回归中它与斜率系数的t检验的关系是什么？6、 有n组观测值（X.,Y.）i=l,2,...,n，用最小二乘法将Y对X回归得Y=d+dX，将ii12X对Y回归得X=卩+卩Y，这两条直线是否一致？在什么条件下一致？12（二）计算题1、下表1989-2003年我国的财政收入y（亿元）与国民生产总值x（亿元）的统计资料:财政收入和与国民生产总值的统计资料yx19892664.916917.819902937.118598.419913149.4821662.519923483.3726651.919934348.9534560.519945218.14667019956242.257494.919967407.9966850.519978651.1473142.719989875.9576967.2199911444.0880579.36200013395.2388254200116386.0495727.85200218903.64103935.332003 21715.25 116603.2资料来源：《中国统计年鉴2004》，中国统计出版社做出散点图，建立财政收入随GDP变化的一元线性回归模型，并解释斜率系数的经济意义；对所建立的回归模型进行检验；若2004年的GDP为25000亿元，计算2004年财政收入的预测值。2、下表是1989-2003年我国的城镇居民家庭人均可支配收入(元)x与城市人均住宅建筑面积(平方米)y的统计资料：城镇居民家庭人均可支配收入与城市人均住宅建筑面积的数据xy19891373.913.4519901510.213.6519911700.614.1719922026.614.7919932577.415.2319943496.215.691995428316.2919964838.917.0319975160.317.7819985425.118.6619995854.0219.422000628020.2520016859.620.820027702.822.7920038472.223.7资料来源：《中国统计年鉴2004》，中国统计出版社做出散点图，建立城市人均住宅建筑面积随城镇居民家庭人均可支配收入的一元线性回归模型，并解释斜率系数的经济意义；对所建立的回归模型进行检验；若2004年的城镇居民家庭人均可支配收入为9000元，计算2004年的城市人均住宅建筑面积预测值。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3、对于模型：y=a+ +8i—1, ,n\o"CurrentDocument"i ii从10个观测值中计算出；工y—&工x—40,工y2—26,工x2—200,工xy—20,i i i i ii请回答以下问题：⑴求出模型中a和0的0LS估计量;⑵当x二10时，计算y的预测值。4、下面数据是对x和y的观察值得到的。工x=1680,工y=1110,工xy=204200,工x2=315400，工y2=133300；假定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求：（1）求出B和B？（2）B和B的标准差？（3）r2?（4）对P和B分别建立95%的置信区121212间？利用置信区间法，你可以接受零假设：P=0吗？25、下表给出1986-2000年期间国内产品的GDP评价因子和进口商品的GDP平价因子，GDP平价因子常用来代替消费者物价指数（CPI）作为通货膨胀的指标。该国是一个小而开放经济的国家，在很大程度上依赖国外贸易以求得生存。为了研究国内与世界物价的关系，下面给出两个模型：（1） Y=a+aX+ut 12t t（2） Y=0X+ut 2tt其中，Y为国内产品的GDP平价因子，X为进口商品的GDP平价因子，试回答下列问题：（1） 怎样根据数据在这两个模型中进行选择？（2） 分别用两个模型去拟合表中的数据，然后选择一个最好的模型。（3） 还可用其他什么模型去拟合这些数据？年份国内产品的GDP平价因子Y进口商品的GDP平价因子X198610001000198710231042198810401092198910871105199011461110199112851257199214851794199315211770199415431889199515671874199615922015199717142260199818412621199919592777200020332753（三）证明题1、试证明：（1）工e=0，从而：e=0；（2）工ex=0；（3）EeY=0（其中eiiiiii表示残差，Y表示Y.的估计值）。ii2、证明：相关系数的另一个表达式是：

Sr二B—xxSyy其中B为一元线性回归模型一次项系数的估计值，S、S分别为样本标准差。xxyy3、 如果对一元回归模型y=a+Bx+e中的变量作线性变换：ttty*=a+by，x*=a+bx,试证：拟合优度R2保持不变。t11tt22t4、 证明：线性回归之残差估计量与相应的样本值x不相关，即：£x=0tt二、答案（一）简答题1、对随机项£•作了以下假定①E（£）=0 （i=l,2，……，n），即随机误差项分布的均ii值为零。②Var（£）=Q2（z=1,2, ，n），即随机误差项方差恒定，称为同方差。③Dovi（£，£.）=0,（任意i，j=1,2, ，n）,即随机误差项之间互不相关。④£〜N（0,ij iQ2）,即随机误差项服从均值为0,方差为Q2的正态分布。违背基本假设的计量经济学模型不能使用普通最小二乘法进行估计，所以这些假定是必要的。2、 在线性回归分析时我们假定解释变量X和被解释变量Y之间的关系是线性的，这种假设是否恰当需要通过假设检验进行检验。假设检验一般步骤如下：①提出假设；②根据原假设构造统计量，并由样本计算其值;③给定显著性水平«,查统计量，查出临界值；④比较所构造统计量的值与其临界值的关系,做出判断。3、 （1）a+Px为职工工作x年的平均年收入。当x为零时，平均年收入为a，因此a表示刚参加工作的员工的平均年收入。B表示每多工作一年所对应的年收入的平均增加值。（2）ols估计量a和仍P满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需随机扰动项卩的正态分布假设。（3）如果卩的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在卩的正态分布假设之上的。4、判定系数R4、判定系数R2=ESSTSSRSSTSS，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解释变量总变化的比重，用来判定回归直线拟合的优劣。该值越大说明拟合得越好。而残差平方和作为评价标准，残差平方和值的大小受变量值大小的影响，不适应不同模型的比较。

5、 可决系数是对模型拟合优度的综合度量，其值越大，说明在Y的总变差中由模型作出了解释的部分占得比重越大，模型的拟合优度越高，模型总体线性关系的显著性越强。反之亦然。斜率系数的t检验是对回归方程中的解释变量的显著性的检验。在简单线性回归中，由于解释变量只有一个，当t检验显示解释变量的影响显著时，必然会有该回归模型的可决系数大，拟合优度高。6、 答：不一定一致。当二者互为反函数时，即当“二1/B，厲=0/0时是一致的。11212二）计算题1、（1）散点图如下图:2500020000150001000050000 20000400006000080000100000120000140000根据Eviews的运行结果见下表：DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:04/12/06Time:18:35Sample:19892003Includedobservations:15VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1975.7251051.002-1.8798490.0827X0.1789500.01516211.802690.0000R-squared0.914644Meandependentvar9054.941AdjustedR-squared0.908078S.D.dependentvar6141.616S.E.ofregression1862.051Akaikeinfocriterion18.02031Sumsquaredresid45074049Schwarzcriterion18.11472Loglikelihood-133.1523F-statistic139.3036Durbin-Watsonstat0.202418Prob(F-statistic)0.000000值每增加一亿元，财政收入平均增加0.179亿元。从上表中R-squared为0.9146,说明拟合优度比较高；Prob(F-statistic)为0.000000说明回归方程是显著的；-1975.725所对应的Prob(t-Statistic)为0.0827，在显著水平0.05的条件下是不显著的,但在0.1的水平下是显著的。回归系数0.179所对应的Prob(t-Statistic)为0.0000，说明是显著的。若2004年的GDP为25000亿元,2004年财政收入的预测值为：-1975.725+0.179x25000二2499.2752、(1)散点图如下图：根据Eviews的运行结果见下表：DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:04/21/06Time:17:46Sample:19892003Includedobservations:15Variable Coefficient Std.Error t-Statistic ProbC 11.33492 0.346479 32.71464 0.0000X 0.001387 6.89E-05 20.13481 0.0000R-squared0.968930Meandependentvar17.58000AdjustedR-squared0.966540S.D.dependentvar3.269589S.E.ofregression0.598075Akaikeinfocriterion1.933365Sumsquaredresid4.650022Schwarzcriterion2.027772Loglikelihood-12.50024F-statistic405.4107Durbin-Watsonstat0.495945Prob(F-statistic)0.000000可支配收入每增加1元，城市人均住宅建筑面积平均增加0.0014平方米。(2)从上表中R-squared为0.96893,说明拟合优度比较高；Prob(F-statistic)为0.000000说明回归方程是显著的；11.33所对应的Prob(t-Statistic)为0.0000,在显著水平0.05的条件下是显著的，回归系数0.0014所对应的Prob(t-Statistic)为0.0000，说明是显著的。(3)若2004年的城镇居民家庭人均可支配收入为9000元，2004年的城市人均住宅建筑面积预测值为：11.33+0.0014X9000=23.93入n!xy-IxIy 10x20-40x8TOC\o"1-5"\h\z3、(1)0=I I——= =-0.3n1x2-(乙x)2 10x200-402X40二210yX40二210&=y-0 -=10-(-0.3)nn 10故模型为：y=2-0.3x(2)当(2)当x=10时，y的预测值为:y0二2-°・3X10一1y三=111n=y三=111n=旦=0.5344331600=y-0x=111-0.5344x168=21.2212⑵b2=e2i——n-2工(y.-y.)2 工(y2—2yy+y2)i i = i ii i10-2—x4、⑴x=L=168，n・••工(x-x)(y-y)=工(xy-yx-yx+xy)iiiiii=204200-1680x111-168x1110+10x168x111=17720又•/工(x-x)2=工(x2-2xx+x2)Ei ix2-2X10x2+10x2i=315400-10x168x168=33160工(x-x)(y-y)(x-x)2i•••y二21.22+0.5344xii(y2一2yy+y2)=乙(y2一2x21.22y-2x0.5344xy+B2+|32x2••••••••1♦1♦iiiiiiii12i12i=133300-2x21.22x1110-2x0.5344x204200+10x21.22x21.22+0.5344x0.5344x315400+2x21.22x0.5344x1680=620.81・•・£2=62081=77.60x2x2Q2・Var(B)-y厂1n (x-x)2i10x33160—77.60x315400=73.81,se(A)=.73.8110x331601Var(Var(A2)=Z——―.——0.0023,se(B)=.0.0023—0.0484x2 33160 2ie2⑶r2—1- 匸(y-y)2i•/ye2—620.81,又•••工(y-y)2—133300-123210—10090ij 620.81 09385r2—1- —0.938510090⑷p(t<2.306)=95%，自由度为821.22-B/•-2.306—[1<2.306，解得：1.4085<B<41.0315为B的95%的置信区间。8.5913 1 10.5344-B同理，・•・—2.306< 2<2.306，解得：0.4227<B<0.646为B的95%的置0.0484 2 2信区间。由于卩—0不在B的置信区间内，故拒绝零假设：卩-0。2225、（1）使用Eviews软件，分别用这两个模型去拟合表中的数据，选择符合经济意义、显著性较高的模型为最优模型。（2）用第一个模型拟合得到以下结果：DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:11/26/02Time:08:50Sample:19862000Includedobservations:15VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.X0.5351540.02251223.771860.0000C517.572141.8397712.370340.0000R-squared0.977513Mean dependent1455.733

varvarS.D.dependentvar345.8076AkaikeinfocriterionS.D.dependentvar345.8076Akaikeinfocriterion10.93252Schwarzcriterion11.02692F-statistic565.1015Prob(F-statistic)0.000000S.E.ofregression53.81416Sumsquaredresid37647.53Loglikelihood-79.99387Durbin-Watsonstat0.887264用第二个模型拟合得到以下结果：DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:11/26/02Time:08:49Sample:19862000Includedobservations:15VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.X0.7978320.02574530.989220.0000R-squared0.712809Meandependent1455.733varAdjustedR-squared0.712809S.D.dependentvar345.8076S.E.ofregression185.3189Akaikeinfocriterion13.34637Sumsquaredresid480803.2Schwarzcriterion13.39358Loglikelihood-99.09780Durbin-Watsonstat0.208208两个模型的系数都符合经济意义。第一个模型的拟合优度高于第二个模型的拟合优度。可见，第一个模型的拟合效果比第二个模型的拟合效果好。3）除上面的两个模型外，我们还可以用对数模型去拟合，如：ln(Y)=a+aln(X)+u ln(Y)=Bln(X)+ut12tt或者t2tt（三）证明题1、(1)工e二工(Yii-Y)二工(Y-P-