中考数学压轴题型研究-动态问题

初中中考数学压轴题型研究—动向问题初中中考数学压轴题型研究—动向问题初中中考数学压轴题型研究—动向问题中考数学压轴题型研究——动向问题动向几何问题是近几年北京市中考数学和各区模拟考试中压轴题的一大热点和难点，观察的知识点特别多，几乎波及到代数和几何的各个知识点，如坐标系中的计算，一次函数和二次函数的图象和性质，全等三角形，相像三角形，平移、翻折、旋转三种几何变换等等。对学生对知识的娴熟运用以及弄清实质下进行迁徙和转变的能力要求特别高，同时，对函数与方程、分类讨论和数形联合三大数学思想的观察也是必考的内容。由于这种问题既重视对常有知识点的观察又能表现学生思想和能力上的差别，因此一般都在压轴题的地点出现。好多同学也对这种问题比较头疼，感觉很难掌握要领，真实获得打破。新年光数学教研组的各位老师经过长久的深入研究，发现了其内在的规律，最后我们给出这种问题的一套解决方案，进而帮助好多初三同学完好战胜了这种难题。这套方案的内容能够这么表述：一个目标，两种思想，三个要点点。一个目标就是“以静制动”，不论题目中是点在动仍是线在动甚至是一个几何图形在动，每个问题的解决都是某种静态的状况，只需把这种状况分析清楚，做出相应图形，利用自己掌握的代数和几何的知识进行求解就行了。两种思想是分类讨论思想和函数与方程的思想，先说分类讨论，在动向问题中一般有两种分类的种类，一种是存在性问题，此时要依据几何图形自己的性质和特点进行分类，比方等腰三角形就按哪个是顶角分红三类，平行四边形按谁和谁是对边进行分类；一种是函数关系类问题，一般依据运动的不一样样阶段进行分类，常有的是求某个图形的面积和变量之间的函数关系。再说函数与方程的思想，动向题的实质就是含字母的计算题，只需找到跟要求目标有关的等量关系此后写出方程（组）进行求解即可。三个要点点是：审题（看清问题中运动的初步地点，何时结束，是在直线上仍是线段上运动等）、作图（每一种状况都要分别作图）、标图（把题目中的基本数目和各样地点关系标清楚，特别是特其余角度和特其余数目和地点关系）其余，作为综合题，一般会分红好几问，掌握好特别和一般状况之间的联系和差别也是解题中特别要注意的地方。一般第一问会比较简单，可是对后边的问题会有必定的提示和铺垫作用，要注意分析。下边联合详细问题进行分析。【例1】（2009北京中考24题）在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转°获得线段EF（如图）901.（1）在图1中绘图研究：①当P1为射线CD上随意一点（P1不与C点重合）时【审题时要注意这句话中的射线和P1不与11C点重合】，连接EP，将线段EP绕点E逆时针旋转90°获得线段11CD的地点关系并加以EG.判断直线FG与直线证明；②当P2点为线段DC的延伸线上随意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°获得线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的地点关系，画出图形并直接写出你的结论.（）若AD，4，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，SPFG1=y，求y2=6tanB31与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1图2（备用）【分析】这是09北京中考倒数第二题，综合观察了几何中的三角形全等，平行四边形的性质，旋转变换，三角函数，以及面积问题。既要求具备对质明题的严实的推理能力，也要求关于较复杂计算题的办理能力。【参照答案和讨论】：（1）①直线FG1与直线CD的地点关系为相互垂直．证明：如图1【注意独自作图】，设直线1与直线CD的交点为H．FG∵线段EC、EP分别绕点E逆时针旋转90°挨次获得线段EF、EG，11∴11CEF90，11，EFEC．PEGEGEP∵G1EF901PEF，PEC90PEF，11∴11．GEFPEC1≌△1．【这里实质是旋转变换的一种基本模型】∴△GEFPEC∴11．GFEPCE图1ECCD，∴

PCE1

90．∴G1FE90．∴∴

EFH90．FHC90．FG1⊥CD．②按题目要求所绘图形见图1，直线G1G2与直线CD的地点关系为相互垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，BADC．∵AD，AE，4，3∴DE5，tanEDCtanB4．3可得CE=4．由（1）可得四边形FECH为正方形．CH=CE=4．【这里的函数关系跟动点的地点有关，因此要分不同阶段进行分类讨论】①如图2【仍旧需要独自作图，用以静制动的想法图2办理】，当P点在线段CH的延伸线上时，1∵FG111x4，CPx，PH∴SPFG1FG1P1Hx(x4)．11∴y1x22x（x＞4）．2②如图3【仍旧需要独自作图，用以静制动的想法办理】，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，图3∵FG1114x，CPx，PH∴SPFG1FG1P1Hx(4x)．11∴y1x22x（0＜x＜4）．2③当PH点重合时，即x4PFG不存在．1点与时，△11综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y1x22x（x＞4）2或y1x22x（0＜x＜4）．2【例2】（2010北京中考24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线ym1x25mxm23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)44在这条抛物线上．1）求B点的坐标；2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延伸PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右边作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的极点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点抵达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延伸QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左边作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰巧落在同一条直线上，求现在t的值．【分析】这是10北京中考倒数第二题，在平面直角坐标系的背景下观察动向问题，综合观察了一次函数和二次函数的图像和性质，等腰直角三角形，平移变换，含参数问题的计算。同时关于分类讨论的思想的观察也是此题的要点。【参照答案和讨论】：（1）∵抛物线ym1x25mxm23m2经过原点，∴m2443m20．解得m11，m22．0】由题意知m1，【注意审题，不要忘了am2．∴抛物线的分析式为y1x25x．42∵点B(2，n)在抛物线y1x25x上，42n4．B点的坐标为(2，4)．（2）①设直线OB的分析式为yk1x．求得直线OB的分析式为y2x．A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)．设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)．依据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．【该作图时必定要作图】可求得点C的坐标为(3a，2a)．由C点在抛物线上，得2a1(3a)253a．42即9a211a0．42解得a122，a20（舍去）．9图122．∴OP9【注意点的坐标和函数分析式以及线段长度之间的相互转变】②依题意作等腰直角三角形QMN．设直线AB的分析式为yk2xb．由点A(10，0)，点B2(4)，，求得直线AB的分析式为1．yx52P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰巧落在同一条直线上，有以下三种状况：【依据几何关系进行分类讨论，由于题中关于哪条边共线没有明确指出，因此要分三种状况进行讨论】第一种状况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示．【独自作图，以静制动】可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可挨次表示为t、4t、2t个单位．图2∴PQDP4t．∴t4t2t10．t10．7第二种状况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长可挨次表示为t、2t个单位．OQ102t．∵F点在直线AB上，图3FQt．MQ2t．∴PQMQCQ2t．∴t2t2t10．∴t2．第三种状况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图所示．此时OP、AQ的长可挨次表示为t、2t个单位．t2t10．t10．3综上，符合题意的t值分别为10，2，10．734【小试身手】（09济南中考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．1）求BC的长．2）当MN∥AB时，求t的值．3）试一试究：t为什么值时，△MNC为等腰三角形．【参照答案】：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴KHAD3．在Rt△ABK中，AKABsin4542．242BKABcos4542242在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC52423∴BCBKKHHC43310（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于GMN∥AB∴MN∥DG∴BGAD3GC1037由题意知，当M、N运动到t秒时，CNDG∥MN∴∠NMC∠DGC又∠C∠C∴△MNC∽△GDCCNCMCDCG即t102t5750解得，t17（3）分三种状况讨论：①当NCMC时，如图③，即t102t10t

点，则四边形ADGB是平行四边形At，CM102t．BK（图①）ABGM（图②）

DCHDNC3ADAN

DNBMC（图③）②当MNNC时，如图④，过N作NE解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC1MC2在Rt△CEN中，coscEC5tNCt又在Rt△DHC中，coscCH3CD5∴5t3t525解得t8解法二：∵∠C∠C，DHCNEC90∴△NEC∽△DHC∴N