最新高中物理简谐运动的图像和公式导学案教科版选修讲义

PAGEPAGE10简谐运动的图像和公式[目标定位]1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．一、简谐运动的图像1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．3.由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．想一想在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？答案匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x＝vt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．二、简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)其中ω＝eq\f(2π,T)，f＝eq\f(1,T)，综合可得x＝Asin(eq\f(2π,T)t＋φ)＝Asin(2πft＋φ)．式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．三、简谐运动的相位、相位差1．相位在式x＝Asin(2πft＋φ)中，“2πft＋φ〞这个量叫做简谐运动的相位．t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．2．相位差指两振动的相位之差．一、对简谐运动图像的认识1．形状：正(余)弦曲线2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．3．获取信息(1)简谐运动的振幅A和周期T，再根据f＝eq\f(1,T)求出频率．(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.图1－3－1图1－3－2(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动．(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：假设远离平衡位置，那么速度越来越小，加速度、位移越来越大；假设靠近平衡位置，那么速度越来越大，加速度、位移越来越小．注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比方弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．图1－3－3【例1】如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，以下说法中正确的是()A．由P→Q，位移在增大B．由P→Q，速度在增大C．由M→N，位移先减小后增大D．由M→N，加速度先增大后减小解析由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(kx,m)可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．答案AC借题发挥简谐运动图像的应用(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．(2)可比拟不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．针对训练1一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图1－3－4所示，由图可知()图1－3－4A．质点振动的频率是4HzB．质点振动的振幅是2cmC．t＝3s时，质点的速度最大D．在t＝3s时，质点的振幅为零解析由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误．答案BC二、简谐运动的表达式与相位、相位差做简谐运动的物体位移随时间t变化的表达式x＝Asin(2πft＋φ)1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A，频率f和初相φ.可根据T＝eq\f(1,f)求周期，可以求某一时刻质点的位移x.2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.(2)Δφ＝0，说明两振动步调完全相同，称为同相．Δφ＝π，说明两振动步调完全相反，称为反相．(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．【例2】一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8πt＋\f(π,4)))cm的规律振动．(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8πt＋\f(5,4)π))cm，求它们的相位差．解析(1)ω＝8πrad/s，由ω＝eq\f(2π,T)得T＝eq\f(1,4)s，f＝eq\f(1,T)＝4Hz.A＝5cm，φ1＝eq\f(π,4).(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝eq\f(5,4)π－eq\f(π,4)＝π.答案(1)eq\f(1,4)s4Hz5cmeq\f(π,4)(2)π针对训练2有两个振动，其表达式分别是x1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))cm，x2＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))cm，以下说法正确的是()A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致解析由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4cm、5cm，故不同；ω都是100πrad/s，所以周期(T＝eq\f(2π,ω))都是eq\f(1,50)s；由Δφ＝(100πt＋eq\f(π,3))－(100πt＋eq\f(π,6))＝eq\f(π,6)得相位差(为eq\f(π,6))恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．答案BC简谐运动的图像图1－3－51．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是()A．t1、t2时刻的速度相同B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C．从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小D．t1、t3时刻的回复力方向相反解析t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，那么B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．答案BC图1－3－62．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．假设取竖直向上为正方向，那么如下图描述试管振动的图像中可能正确的是()解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.答案D简谐运动的表达式3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.那么()A．弹簧振子的振幅为0.2mB．弹簧振子的周期为1.25sC．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零D．假设另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(π,4)))，那么振动A滞后Beq\f(π,4)解析由振动方程为y＝0.1sin2.5πt，可读出振幅A＝0.1m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)＝0.8s，故A、B错误；在t＝0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq\f(π,4)－2.5πt＝eq\f(π,4)，即B超前Aeq\f(π,4)，或说A滞后Beq\f(π,4)，选项D正确．答案CD4．物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2)))m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6)))m．比拟A、B的运动()A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB．周期是标量，A、B周期相等，都为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A的相位始终超前B的相位eq\f(π,3)解析振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m,10m，但振幅分别为3m,5m，A错；A、B的周期均为T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,100)s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝eq\f(π,3)，为定值，D对．答案CD题组一简谐运动的图像1．关于简谐运动的图像，以下说法中正确的是()A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C．表示质点的位移随时间变化的规律D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D正确．答案BCD2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，以下说法正确的是()图1－3－7A．振动周期是2×10－2sB．第2个10－2s内物体的位移是－10cmC．物体的振动频率为25HzD．物体的振幅是10cm解析振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s．又f＝eq\f(1,T)，所以f＝25Hz，那么A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10cm，那么D项正确；第2个10－2s的初位置是10cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10cm，那么B项正确．答案BCD图1－3－83．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，那么该质点()A．在0～0.01s内，速度与加速度同向B．在0.01s～0.02s内，速度与回复力同向C．在0.025s时，速度为正，加速度为正D．在0.04s时，速度最大，回复力为零解析F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．答案AC4．图1－3－9甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知以下说法中正确的是()图1－3－9A．在t＝0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案A图1－3－105．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，以下说法正确的是()A．在第1s内，质点速度逐渐增大B．在第1s内，质点加速度逐渐增大C．在第1s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4s内质点的动能逐渐增大E．在第4s内质点的势能逐渐增大F．在第4s内质点的机械能逐渐增大解析在第1s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．答案BCD6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()解析根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(k,m)x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，应选项A正确，选项B、C、D错误．答案A图1－3－117．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，那么()A．假设甲、乙两单摆在同一地点摆动，那么甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．假设甲、乙两单摆在同一地点摆动，那么甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．假设甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，那么甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．假设甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，那么甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4解析由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，假设两单摆在同一地点，那么两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；假设两摆长相等，那么所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.答案BD8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图答复：图1－3－12(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为____________．(2)假设摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，那么图像中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是________．解析(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T＝2s，进而算出频率f＝eq\f(1,T)＝0.5Hz，算出摆长l＝eq\f(gT2,4π2)＝1m.从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5s末和1.5s末．(2)题图中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时eq\f(1,4)周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O点对应E点，A点对应G点．A点到B点的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应题图中C到D的过程，时间范围是1.5s～2s．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E到G的过程．对应题图中为O到A的过程，时间范围是0～0.5s.答案(1)3cm0.5Hz1m0.5s末和1.5s末(2)E、G、E、F1.5s～2s0～0.5s题组二简谐运动的表达式与相位、相位差9．有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向最大加速度，那么它的振动方程是()A．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))mB．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(π,2)))mC．x＝8×10－1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(3,2)π))mD．x＝8×10－1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,π)t＋\f(π,2)))m解析ω＝eq\f(2π,T)＝4π，当t＝0时，具有负向最大加速度，那么x＝A，所以初相φ＝eq\f(π,2)，表达式为x＝8×10－3·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))m，A对．答案A10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asineq\f(π,4)t，，那么质点()A．第1s末与第3s末的位移相同B．第1s末与第3s末的速度相同C．第3s末与第5s末的位移方向相同D．第3s末与第5s末的速度方向相同解析根据x＝Asineq\f(π,4)t可求得该质点振动周期为T＝8s，那么该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．答案AD11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，以下表达中正确的是()图1－3－13A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．在5s末，质点做简谐运动的相位为eq\f(3,2)πD．t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是eq\r(2)cm解析由振动图像可直接得到周期T＝4s，频率f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，应选项A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8cm,10s为2.5个周期，故质点经过的路程为20cm，选项B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t))m.当t＝5s时，其相位ωt＋φ0＝eq\f(π,2)×5＝eq\f(5,2)π，应选项C错误；在1.5s和4.5s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin135°＝eq\f(\r(2),2)A＝eq\r(2)cm，故D正确．答案BD图1－3－1412．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，那么小球的振动周期为________s，振动方程为x＝________cm.解析从N点到O点刚好为eq\f(T,4)，那么有eq\f(T,4)＝0.2s，故T＝0.8s；由于ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(5π,2)，而振幅为4cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4coseq\f(5π,2)tcm.答案0.84coseq\f(5π,2)t13.图1－3－15如图1－3－15所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？解析(1)由图像知：A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2cm，周期是0.8s.(2)由图像知：t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T＝0.4s，得ω＝eq\f(2π,T)＝5π.那么简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了e