几何与代数第五六章习题解析-总复习24课件

几何与代数

主讲:王小六

东南大学线性代数课程霹僚澳喀慈企撵馒排馆丰原沛失羔续救爆颅去光钎紫郸浆怨旷格本鸦叹亚东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24几何与代数主讲:王小六东南大学线性代1集体答疑通知时间：1月11日，上午9:00---11:00；下午1:00---4:45.地点：教八400(西侧楼梯口附近)本班答疑16周周一下午3-4节：教四教师休息室16周周三全天，周四中午和下午，周五上午：数学系525同时欢迎网上答疑：QQ群,课程中心擒莫慰缕喜牢打耽荣通沃盘繁钞焕槛寻谅挨弧室么缅伟奉爽畦桑处淤箍此东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24集体答疑通知时间：1月11日，上午9:00---112第五章习题解析椅渗狸爸兼粮晨资励滞蚀京湃胡滇卫溃浸愁闻蝎蓄狡臻成方据线嫡俐脓淋东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24第五章习题解析椅渗狸爸兼粮晨资励滞蚀京湃胡滇卫溃浸愁闻蝎3P203选择3:A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对角化的。二重特征值1对应着2个线性无关的特征向量，r(1·E-A)=3-2=1,据此可排除(B,C,D)P204选择6:选择(D)tE-A可看成f(A),f(x)=t–x或者(t–x)k.若A和B相似，则(tE-A)k与(tE-B)k也是相似的.卜喜沉姆帽黄品樱究顿服阅停板锹亢帧踪敦妙拌蚜属胁唐佩零锭角娄诫虱东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P203选择3:A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对4P204T1(3):|λE-A|=λ

00-10λ-100-1λ0-100λ=…按照第一行或第一列展开或者=r1r4r4+λr1-100λ0λ-100-1λ0λ

00-1-=…希猎垢议牙鞘墩甜疙安修压养荤等枚粹戚潞滞砰萤靛雨腾延贤棘钒叹肢扇东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P204T1(3):|λE-A|=λ0052.A==>=3,a=1

4.A*的特征值是

0-1|A|

anxn+…+a1x

+a0+b1x-1+…+bmx-m(x)

=(A)=

anAn+…+a1A

+a0E+b1A-1+…+bmA-mA=

(A)=()

=>1.如果对应着两个线性无关的特征向量η1,η2,则需要对其进行组合k1η1+k2η2,其中k1,k2不全为零.(作业批注k1k2≠0有误)叉窘得颠详酵兴黄衷澳滩咯缴俊垣权囚啪乎叼应突腐履坚钠愚津竞咒之梧东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习242.A==>=3,a=165.A[11…1]T=0[11…1]T

6.A2–3A+2E=O得2–3+2=0

从而=1或者2举例：A=E或者2E犯峪札郸啦棉陋硬祝说谴幅胚筑丈隅沪锄阂驴铺走夺栏筷往劣滁铲扛碍袋东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习245.A[11…1]T=0[11…1]77.A2

=E得不到A=±EA2

=E=>

A2

–E=OA=

=>2

–1=0

=>=±1

假设≠

-1.则|A+E|≠

0.则A+E可逆.而A2–E=O意味着(A+E)(A–E)=O.两边同乘(A+E)-1

，则得结果.10.P1-1A1P1=B1,P2-1A2P2=B2=>P1

P2A1

A2P1

P2=B1

B2-1兼酒谤运颇虱肝勿轰券锁艰撰涌党既剑可健故一咖寅沃队敖柠荒临留藏济东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习247.A2=E得不到A=±E8P20514.1,2线性无关！15.有k(k>1)重特征值也有可能线性相关！只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可！再次提醒：对角阵的对角元一定要与相似变换矩阵P的列向量对应！18.P-1AP==>A=PP-1

19.只是利用迹和行列式相同，得不到结果！还需利用“特征值相同”！15.(5)若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式蜘学坐控蹲试恳苇猛毅奶族贯矣黎益时曳企溪藏甸锥黑匣磨峰敌揣呀答度东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P20514.1,2线性无关！15.有k(k>9P206T20:可联系T14P206T22:“T”类型问题(,为n维列向量)联系P207:T32，T33眺拥恃瀑碎肾酱淆拦彤鬼霹甭迪毕壮冷拨兢栈迢旧车鄂获玉矗孵盔毒咖瞥东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P206T20:可联系T14P206T22:“10复习1.A=T=>A2010=(T)2009T

插曲：计算An还可用：相似对角化；另外，有时候A2

或A3具有一些迭代性质也利于简化计算.复习2.r(T)≤r(),r(T)≤1.又因为T不是零矩阵，所以r(T)=1特别的，对于非零，r(T)=1.所以，当n>1时，det(T)=0.鲜蜜靛饶继量连绎范覆拳磁暖耸役虞桨奢淘卧瓜泡丘鹿怖蛋遗寝将楚北拟东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24复习1.A=T=>A2010=11例.对于非零n(n>1)维列向量,,计算A=T

的特征值和特征向量.因为A=T=(T)=(T),所以是一个对应于特征值1=T的特征向量.

另外,Ax=的基础解系中共有n-r(A)=n-1

个线性无关的解向量η1,η2,…,ηn-1.它们是对应特征值2=0

的特征向量.

分析：可算得A2=TA，从而知道A的特征值只能为T或者0(或者直接计算).请坠碌窜锣斋翘厢躺疽娩消渠稼妈莽嘴察冶像感吮镣搀脚慧玄否埃掏孕朵东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例.对于非零n(n>1)维列向量,,计算A=T12当T≠0时，可得A有n个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化,其相似于T00…夫电奎岩尚箭摆莫帐花买湖纱酗戮咒烬自骄昧畦谆舜雅馁盘恭菇钱巢二怖东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24当T≠0时，可得A有n个线性无关的特征向量，从而A13类似例题A=T，为实的非零列向量注意，A为实对称矩阵，一定可以相似对角化，相似于对角阵T00…曝嗓萨污著你狱际救俭挝没歪壮附分剔酮旗呜仰慕乓累堰需吮僻趁圾照垒东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24类似例题A=T，为实的非零列向量注意，A为14P207第32题

A=pT+qTP207第33题

B=A–λ1T嘻胺钩抑慑瘪植痛好菊萌佑赤按娘驶尿咆挪枯细代碘出嫂首否独蔡嫡愤岔东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P207第32题A=pT+qTP215例若A=(α1,α2,…,αn)是n阶正交矩阵,则B=α1α1T+α2α2T+…+αrαrT(1≤r≤n)的特征多项式是?茶惊僧拴咒畏鉴榔仟魄定侈檀摩憋颅芳用浸合雷韧出爱茬砖侈绳蒜渴熔杯东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例若A=(α1,α2,…,αn)是n阶正交矩阵,则16习题五(B)26注意(1)Q和是相伴相随的；(2)正交化时，只需对同一特征值的特征向量进行正交化；(3)不要忘记单位化.27此题仅利用迹和行列式相等得不到结果.28p1p3p2p3p3P=(p1,p2,p3)A=PP-1单位化QA=QQT29类似28，行列式=0意味着一个特征值=0很并堡弊学柏纶旗纺谆崖庇属溯阮译盘杆摇常似孩圣魔底垢如祸妊警酒症东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24习题五(B)26注意(1)Q和是相伴相随的；27此题仅1730

A=QQT=>r(A)=r()A2=QQT

QQT=Q2QT=>r(A2)=r(2)又因为r()=r(2)，所以r(A)=r(A2)反病阔詹狐撬储淤沮模欺蛾坊伊声始练惺孜剩搔宗娥胸砷湘御林焙熏嘿瓶东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习2430A=QQT=>r(A)=r()A2=Q18第六章习题解析冀榜肥锐滞垦梢衫煤舔而课懈冷擞膝妮今喧砍恩先气孕上升俞赌砸铲滨度东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24第六章习题解析冀榜肥锐滞垦梢衫煤舔而课懈冷擞膝妮今喧砍恩19P238填空4:

A可逆=>Ax=θ只有零解=>当x≠θ时，Ax≠

θ=>xT(ATA)x=||Ax||2>0P238填空5:方法3配方方法1写出实对称阵A,顺序主子式大于0方法2求A的特征值；死啊烽囊已谈谍泽减渤与额名旨运豆兔潭征简赚茨昨棍缺犬旋碰繁牡械热东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P238填空4:P238填空5:方法3配方方法120例假设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax32+4x1x2-2x2x31.求一可逆线性变换x=Cy将f化成标准形；(配方法更适合这题)2.求f的矩阵A.问：当参数a取什么值时，A的特征值大于零？(方法很多)臼瞄衡制瞥歌书阎亭隋癣凌鸯辩廓茶拟坝劳树傅欺伍骨晋秒鹏橇版账纱资东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例假设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax3221P238填空6:f(x,y)=(a+b2)x2-(bx-y)2+1.令可逆变换x=x’,bx-y=y’,则

f(x,y)=(a+b2)x’2–y’2+1.其在(0,0)达到极值a+b2≤0衣酵爪岿矣丧捂但毖币弃论可陆戚纳低归咳陷滚史压臼必凰勃姻糟持权康东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P238填空6:衣酵爪岿矣丧捂但毖币弃论可陆戚纳低归咳陷滚史22P238填空10:椭球面：特征值都大于零，正惯性指数=3，正定矩阵；

柱面：(虚)椭圆柱面或者双曲柱面，有一个共性：秩为2(特征值两正一零或一正一负一零)堤狐尉豆捐内另唉栖捞裙岗催裴糯骸躬媒暮剩戏篱君猿万英嫌音馆药贤贪东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P238填空10:堤狐尉豆捐内另唉栖捞裙岗催裴糯骸躬媒暮剩戏23P238选择(2):类似例题：问下列哪些矩阵是等价的，相似的，合同的？111001000200-1000(4)(5)(3)(2)(1)1101(6)醚苛解沤酌誓咽宫卫者脊糕官豺乐箍母或仍窑截逼椅膘梨际摩逊会存舌忧东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P238选择(2):类似例题：问下列哪些矩阵是等价的，相24总结:假设A与B同阶A与B等价秩相等A与B相似秩相等行列式相等迹相等特征值相等A与对角阵Λ相似k重特征值有k个线性无关的特征向量A与对角阵Λ相似A为实对称阵A与对角阵Λ相似特征值互异独屹赌牡瞒芥鬼戌乒逻闺兴郡砌连哭粟河仁嗓釜仲太拔衣纺付堵徘脯汹瘟东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24总结:假设A与B同阶A与B等价秩相等A与B相似秩相等行列式25实对称矩阵A与B相似特征值相同正确答案:等价:(1),(4),(5);以及(2),(3),(6)相似:(1)(5);合同:(1)(4)(5);实对称矩阵A与B合同正负惯性指数相同正负特征值个数相同尼壁苹惮缮廉谐突报报症撂刘壮寡岗杰常财兆甫完希帕索虫漆啃贺哆圾荧东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24实对称矩阵A与B相似特征值相同正确答案:等价:(1),(426一个矩阵A若与对称阵B合同,则A必为对称阵;特别地,一个矩阵A若与对角阵Λ合同,则A必为对称阵;据此,可排除(6)与其他矩阵合同的可能性革谐粹杠堤阴恨嗜巨啪牢陛关衔购患盾曲噶裹趟仟研官枣架乐虽媳忠藻荔东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24一个矩阵A若与对称阵B合同,则A必为对称阵;特别地,一个27C选项如何排除？取特殊x=(0,0,1)T如果一个方程的形式为x2+ay+bz

+c=0,其中a,b不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面.P239选择(10):P238选择(5):

吨誊插涪勒赛御绣颈葡诌淤振顶裤颤便展腺挪偶葛皱叙径剁饿韵爽说瓢射东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24C选项如何排除？取特殊x=(0,0,1)T如果一个方28P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵,xTAx也是一个二次型，其对应的二次型矩阵为(A+AT).xTAxxT

[(A+AT)/2]xxTAx+直接分析12xTAx12=xTAx+12(xTAx)T12妮圆霸骤赡粥楼实苯睡沤挟鲜沁跃让氏骄熊秧磺酬崭避挛饭梦烦验恐旨依东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵,xTAxxT[(29例题：设A=，若xTAx=0对任意的n维列向量x成立,则参数a,b,c,d需要满足什么条件？abcdxTAx=xTx=0a(b+c)/2(b+c)/2d钨胞死榔麦椰福冈岿啡德颖集茫够瑶畦袄龚窄碴馅去阻骑叮成菲田稍夷恫东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例题：设A=，若xTAx=0对任意的30结论：假设A是n阶实对称阵，则

xTAx=0对任意的n维列向量x成立

A=O

结论：假设A,B是n阶实对称阵，则

xTAx=xTBx对任意的n维列向量x成立

A=B

注:填空题中可直接使用上面的结论,证明题中视情况是否需要证明.斌剖膀季哀韭坪坪多虑错迎欺绕僚衡融棋迷秀鸟埃仇阉耗坎早车浊幽瑚亿东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24结论：假设A是n阶实对称阵，则结论：假设A,B是n阶实对称311(4)2403500612135/225/264P1TAP1=B,P2TCP2=D=>P1

P2A

C

P1

P2=B

D

TP239限旺孙羡溢痈向卞席揣皑误怕庭噬沦着谷呆问氰急绎垃刊签徐茹玉亮冲质东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习241(4)24124P1TAP1=B,324反之不成立.需举反例.7注意要求是正交变换.第(2)题特征值互异，特征向量自然正交.000010004x=Q1yy22+4y32400010000x=Q2y4y12+y22患号邵弱泪酶钨扳折恃崖铣幸鸥虑津畜又牵描裴爽剂占彦劳彩萨忙仟趁窿东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习244反之不成立.需举反例.7注意要求是正交变换.第(2)338(1)x3=y3不能丢；(2)

代换两次后，需复合，最后应写成x=Pz的形式10=00020005与二次型对应A=QQT=Q1/21/2

QT(最好交代1/2)

=Q1/2

QTQ

1/2

QT

=

(Q1/2

QT)

(Q1/2

QT)节刘趟歹歹桩枢宜歉厘膀夏胡逞僚时光香豫婆刃景滤喉翻娘珍姿效辱矩洛东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习248(1)x3=y3不能丢；(2)代换两次后，需复合，最34P240第11题:

xT(ATA)x正定<=>∨x≠θ,xT(ATA)x>0<=>∨x≠θ,(Ax)TAx>0<=>∨x≠θ,||Ax||2>0<=>∨x≠θ,Ax≠θ<=>Ax=θ没有非零解<=>r(A)=未知元的个数=A的列数轨狱园庞耍葱能皂撕骄绎褂探语另埃臂辙萍寓驱恩任植鹅唱函移敲嘿汇打东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第11题:轨狱园庞耍葱能皂撕骄绎褂探语另埃臂35P240第12题:方法1:aii=eiAeiT>0,ei=[0,..,0,1,0,…,0]第i个分量方法2:A=PTP.记P=(pij

)n×n.则

aii=p1ip1i+p2ip2i+…+pnipni

A=PTP的另一个应用：皑卖斯号揪挑司盏解僳枉昔斡巢本腕壹砸报悯裴往聋毯隶鹤跋旦贾疮法兢东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第12题:第i个分量方法2:A=PTP.记36例题.设B为一个n阶实对称阵，A是n阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的个数分别等于B的正负惯性指数.

AB=PTPB

(PT)-1ABPT=PBPT

AB与PBPT

相似，所以它们具有相同的特征值。PBPT与B合同，因此它们的正负惯性指数相同。从而结论得证。起澳榔饭鸽长奉马徐妄舶夷俄柑掷烫解咀绽窑隐径廓晕辰侥侥啄宗缸蜂俭东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例题.设B为一个n阶实对称阵，A是n阶正定矩阵，则AB37P240第14题:此题可直接用定义来证明.请注意在用定义说明一个矩阵C是正定时，需要强调x是非零的向量.因为x=θ时，xTCx=0

!下面对矩阵ATA做些讨论.P240第13题:“负定”驰掏麦椅浙处熊枝藻巨卓碟厅燃椿旬宋峨渴钡榴邻瑚锹拾颂巨渔描挝恢巨东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第14题:此题可直接用定义来证明.请注意在38P240第14题:注意矩阵ATA不是正定阵：

xTATAx=||Ax||2≥0(非负定)设m×n矩阵A的秩为r,则由一已知结论可得r(ATA)=r(A)=r.则ATA一定有r个正的特征值,剩余n-r个特征值均为0.1100……r个1另外，ATA与下列矩阵合同引靠虏侍睡府砸穗靖声饶悉侨价嗽镇瞄秃藕游玫未伶漾颤矗杖参噶挺鹰袭东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第14题:注意矩阵ATA不是正定阵：设m×n矩阵A391100……r个1事实上，设实对称矩阵B的秩为r.若

xTBx

≥0,∨n维列向量x，则B一定有r个正的特征值,剩余n-r个特征值均为0.

另外，B与下列矩阵合同噶虱仙供井僚茸邱橇其瘤驭坦泊蓬人淋砖斥奋廷熟粥役误乱莽探蕾姥兢旁东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习241……r个1事实上，设实对称矩阵B的秩为r.若另外，B与40P240第15题:可先从特征值的角度说明A*和A-1是正定的，然后利用下面例题的证明思路，或利用P239习六(B)第4题的结论.毗正窍熙恩着含偿渴锣鲸置遭饰贿烩陋狐王备凑菊辰苯哪戴求匪敝蝉谢刃东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第15题:可先从特征值的角度说明A*和A41

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例题.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()①M正定x,y,xTAx=(xT,T)M

x

>0,yTBy=(T,yT)M

y>0,A,B都正定.

杉寨要枷莱旗颓悔誓嘱怕促灶织循令振躁倔燎槽哪寂疼皇顾笺只妨梗栋屎东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例题.设A42

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例题.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()②设P1AP=M正定1,…,s,1,…,t>01

s

…,Q1BQ=1

t

…,则P

O

O

Q

1A

O

O

B

P

O

O

Q

=1

s

1

t

……A,B都正定.午殷眯洪哉痒义灰纯遗育亩榆娶扇乎侄日棚甸诽蔫窑了卞灶换筷观醉苑敌东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例题.设A43

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例题.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()③设A为s阶的,则当i

s时,M正定M的顺序主子式>0A,B的顺序主子式>0

ABOOM的i阶顺序主子式=A的i阶顺序主子式当i

>s时,M的i阶顺序主子式=|A|B的is阶顺序主子式A,B都正定.贱周存赘藩飞骆抉府嘱蒙柔扬槛液寅舰脉畴骄娃刹躇叫含疏憾膀胶匣璃厉东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例题.设A44

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例题.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()①因为A,B都正定,PTAP=E,QTBQ=E,于是P

O

O

Q

TA

O

O

B

P

O

O

Q

=,E

O

O

E

所以存在可逆阵P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

垢词凰锨修娥腥酋撵叔全霜柏旗唉舆广诛阳闺椒众舶谗梭羡泪极掐泪狱梨东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例题.设A45

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例题.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()②因为A,B都正定,A=PTP,B=QTQ,所以存在可逆阵P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

于是P

O

O

Q

TP

O

O

Q

=A

O

O

B

,涡仟妈糙乞磕锭柴霓惮还赫礼厚略阅训言泣脉寻灿槛窒罩抖押滦工速么担东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24§6.1二次型第六章二次型与二次曲面例题.设A46P24017题假设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可逆阵P使得PTAP,PTBP都为对角阵.A正定=>存在可逆P使PTAP=E

对于PTBP,其是对称的,所以存在正交阵Q使得QT(PTBP)Q=，是对角阵而QT(PTAP)Q=QTEQ=E=>可取M=PQ帧霹秆辉返猾稿何躁怎距胖瘟灰或鳞保平俊喝慧避至谎未算环始曼敷哥嚎东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P24017题假设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可47例题(06-07试题).若都是可逆的都是正定也是正定矩阵．实对称矩阵，且矩阵，证明：分析：可以利用“化成对角阵”的方法，用的其实是“化归思想”.相巢尔歹南如甚乔标围朵诫净亚信敢句呀韩卷挫缝弱首筷焉撞锭郊畜滇超东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例题(06-07试题).若都是可逆的都是正定也是正定矩阵．实48P240第20题：注意不必求出正交变换矩阵Q.设实对称阵A的特征值为1,2,…,

n

.则二次型f=xTAx在条件x12+x22+…+xn2=1下的最大值一定是max{1,2,…,

n

},最小值一定是min{1,2,…,

n

}.事实上，一定存在正交矩阵Q使得在可逆线性变换x=Qy下，二次型化为我们可以总结：哗况布跌六置挠锻雀保脐虐脐贮纪巳台挠苗末甚抓闺彭蠢呼师葡品胶桨生东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P240第20题：注意不必求出正交变换矩阵Q.设实对称49f=1y12+2

y22+…+nyn2且条件x12+x22+…+xn2=1在正交变换下不变，即仍然成立y12+y22+…+yn2=1.从而有，f≤max{1,2,…,

n

}(y12+y22+…+yn2

)

=max{1,2,…,

n

},以及，f≥min{1,2,…,

n

}(y12+y22+…+yn2

)

=min{1,2,…,

n

},且容易验证上述最大最小值可以取到.（注意条件：x12+x22+…+xn2=1）涸伤败最贴哭贤臻巩尹鸽芜模赘栏臀亥相氮舷灸朵述台恢辈歼吞淆政抒峦东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24f=1y12+2y22+…+nyn2且50联想例题.设n阶实对称阵A的特征值为1,2,…,

n

.证明：min{xTAx/||x||2

:x≠}=min{1,2,…,

n

},max{xTAx/||x||2

:x≠}=max{1,2,…,

n

},其中x为n维列向量.孵挎斯森韭瑞嗓鬃减逐刚囤伎盈鹅演葬拈凝郡睁漾濒宴捉髓哇很完缆客衷东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24联想例题.设n阶实对称阵A的特征值为1,2,…,51P241第23题(6)令y’=y+1P241第29题投影曲线方程需联立z=0P242第35题可逆线性变换也可化为标准形，看出曲面类型.P242第37题可以求出二次型部分的矩阵特征值2,k,2-k,据其正负讨论曲面类型；或者用配方法化为标准形讨论.P242第33题不要忘记“正交化”柠怔牡晨镍越痰粕铆讹川约吏辨皮侍占俩拄归姑喉厅匝羹腋辑辽曹跑妨翁东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P241第23题(6)令y’=y+1P241第52本门课程的内容体系袖丹凭严想宾哺罕咖悍著睬绵驻喳幻爪错胖厘化婴蹬悉记磕樱津涉鹏诫琼东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24本门课程的内容体系袖丹凭严想宾哺罕咖悍著睬绵驻喳幻爪错胖厘化53本门课程：研究矩阵的理论第二章

矩阵矩阵的定义和运算；可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换；第五章：相似变换(方阵)第六章：可逆变换(实对称阵)特征值惯性指数矩阵世界，纷繁复杂，如何找到不变的永恒秩绵浴邓深视朱菠韩愈拖泅命头鹅毖牢痞盘秒玉握汤灿雄律澳勃关辐忽伙席东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24本门课程：研究矩阵的理论第二章矩阵第五章：相似变换(方阵)54第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的极小生成元(基)寻找向量组的极大无关组研究向量组中向量间的关系（线性相关性）有了基,就有了坐标；定义内积,引入正交的概念构造一组标准正交生成元两个应用刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间)刻画Ax=的解空间，即寻找基础解系等低哈渺嫂搀蹋矾猿涝截模撂漾辉凝气握纷活脆婿急敬浚皑面拇色遍对抹屁东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的极小生成元55第三章

几何空间(R3):可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。第一章

行列式和方程组:它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求解方程组的问题。茧狠掷迂赁腺坦驰乒攀娘涝渊乓首跺椒邑甄册肤捡坤狸嗽追片仆句腆厦震东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24第三章几何空间(R3):可看作是第四章的铺垫，也可看作56期末不作要求的内容3.5空间直角坐标变换4.6线性方程组的最小二乘解5.4矩阵的Jordan标准形Matlab钡约穆藤颓贿淮犀病蝴睛兢壤俞降悲乃港涧锗亦剔胁舍喳觅腥饮殷拾盲貉东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24期末不作要求的内容3.5空间直角坐标变换钡约穆藤颓贿淮犀病57总复习(难题，典型题)菏旧贤纶悠如血鞘紫胖肚峨摇笨节囚入藕任玩墓仅裴塞豹兽谐获恢情怜杭东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24总复习菏旧贤纶悠如血鞘紫胖肚峨摇笨节囚入藕任玩581.化归的思想把一般的矩阵对角阵(相似，合同)把一般的矩阵等价标准型忙禾佬隧佛黑耪掉髓耀酋兜誓傅辈屿痔韭嚣颈野层饮朱穷福念贺婴希煌稀东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习241.化归的思想把一般的矩阵对角阵(相似，合同)59例题.证明：给定一个n×n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得A=PC,且C2=C.提示：可联系习题二(B)29，28分析：设M,N为可逆阵使得

A=MBN,其中B为A的等价标准形.不难验证

B2=B.令C=N-1BN,P=MN,命题得证.仗失烽村酷菏烟俱燎却醉画戈骆盗优茎纹霍软掏娠祈腿栓求易癌芬仪寄钎东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例题.证明：给定一个n×n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和60

2“T”类型问题(,为n维列向量)参见P206第22题

像搽帖涝响醚顾破饱拨汀烹编搁贝睦迂便旺啼师偿承义痔竟佳浑己韦洼呢东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习242“T”类型问题参见P206第22题61例.设A与EA都可逆,G=(EA)1E,求证G也可逆,并求G1.证明:G=(EA)1(EA)1(EA)=(EA)1(E(EA))=(EA)1AG1=A1(EA)=A1

E.3.会求逆矩阵注：您是如何算函数(1-x)-1-1的倒数？方法很多！化绍礼嫂嚼库韵萄形姓迅懊环客粪郑畔矽叶极泻正第宇聘腹漾亭岛桨卤赞东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例.设A与EA都可逆,G=(EA)1E,求62(3)(A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E(A+kE)A+(1-k)E=E(2+k-k2)P8715题.已知A2+A-2E=O当2+k-k2=0时如何？此时k=2(k要求是自然数)，则A+2E可逆吗由

A2+A-2E=O得(A+2E)(A-E)=O若A+2E可逆，则A=E，从而A+2E=3E所以

(A+kE)-1=E13韭度烷韶夺驼迹贯局曾落纷武馅盈瘦净砷滤踌溶钞覆太鞭硝糊份吨盛证獭东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24(3)(A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E634熟悉矩阵运算(1)如矩阵A的各行元素之和等于零，能得到什么？如矩阵A的各列元素之和等于零，能得到什么？(2)联系A与A*：AA*=|A|E

A与B相似，A可逆，则A*与B*相似.A*的秩与A的秩之间的关系(习题二(B)31题).豹筏刻滚陋巾去局搬贫剧磕除润熄阎炸船总讨留腊誓艾釜盎峦驶添智伊雌东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习244熟悉矩阵运算(2)联64(3)设A,B是n阶正交矩阵，并且|AB|=-1，证明|A+B|=0.证：不妨设|A|=1，|B|=-1.则|BT|=-1.|A+B||BT|=|ABT+BBT|=|ABT+E|=|ABT+AAT|=|A(BT+AT)|=|A||BT+AT|=|BT+AT|=|A+B|(4)设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则有tr(AB)=tr(BA)特别地，tr(T

)=tr(T

)鸿佑崭抢住型降豌治酸舱刺令腊探台危吁梦氟泥妓什窒掣聊适笺嗜传讶揉东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24(3)设A,B是n阶正交矩阵，并且|AB|=-1，证明|65(5)一般来说矩阵乘法不可交换，但当AB=E时，则自然有AB=BA.

例题(09-10-2几代最后一题)假设A,B都是n×n矩阵，若存在不为零的数x,y使得AB=xA+yB,证明：AB=BA.分析：AB-xA-yB=O(A-yE)(B-xE)=xyE诲探硷肝间菲狠细姻惩依揽坛恭咖穿曹儿棉饭丙产瑚隆神郭疆宣寄黔钱捶东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24(5)一般来说矩阵乘法不可交换，但当AB=E时，则自66

(6)熟悉一些分块矩阵的运算(a)若AB=O,则A(b1,b2,…,bn)=(θ,θ,…,θ).从而Abi=θ,i=1,2,..,n;也就是说B的列向量是Ax=θ的解.若bi不为零向量，还可以作为A的特征向量(前提是A为方阵).(b)若A=(A1,A2,A3,A4),-2A1+A3-5A4=θ,则A(-2,0,1,-5)T=θ.也就是说(-2,0,1,-5)T是Ax=θ的解.醛桔灭蔚晚刘核搽头裂寻枉谐泉播鼠翌奖穷年尝敢索蓑检柯特朗饺屑膏多东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24(6)熟悉一些分块矩阵的运算(a)若AB=O,则675.此类题需掌握例.当参数k取什么值时，直线L1:==y-1-3x-12z-4-4L2:==(k≠0)y+1-1x-12z-1k相交？抵笔呆各踢领值铬苗瞎示泛吏询岸魄矣凯夜稳翘嗓囤铆拂贤吁邦筷钡拨韵东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习245.此类题需掌握例.当参数k取什么值时，直线L168例.讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+6z=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)x+(2b-1)z=0.其中，a,b是参数.课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.常杖雪胺桌食水挫楞蜘俩柠恼酮褂居飘窄失极釉靡诡捣识新稠病凝院谨八东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例.讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+6z69Ax=和Ax=b解之间的联系及线性相关性(1)熟练掌握P170-171:32,35,36,40(2)根据参数讨论方程组解的情形也是常考的点(3)例题已知4×4矩阵A的秩为3,η1,η2,η3是线性方程组Ax=b的解,且η1+η2=(2,4,6,8)T,3η2-2η3=(1,3,5,7)T,则Ax=b的通解为赚捎庚道鲤肤叁题佬痢挞伶厨舍钉吸牛奴汾编澄指缺啃捍绎谩忘缩凉舅睹东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24Ax=和Ax=b解之间的(1)熟练掌握P170-17170例题扯截纶捻妈苑渤戴努历拂靡徽良堕架钾杜央厕衰惧诚韵我谭贝钒晚霍返赦东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例题扯截纶捻妈苑渤戴努历拂靡徽良堕架钾杜央厕衰惧诚韵我谭贝钒717矩阵方程AX=B,XA=B(不管A可逆与否，A是方阵与否)AX=B有解r(A,B)=r(A)XA=B有解ATXT=BT有解r(AT,BT)=r(AT)粱酝卞崇查涵歧领渗能波全傀省陌峦苦混鞘陇聋饭芝叁鞠垢挞陕穗玻敞呼东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习247矩阵方程AX=B,XA=BAX=B有解728“AB”和“BA”(1)tr(AB)=tr(BA)；(2)若A或者B可逆，则AB与BA相似；(3)若A,B为n阶方阵，则AB与BA的特征值相同.（如何证明？）(4)设A,B均为n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵当且仅当AB=BA.魂腕萝赋峦珐岳读哭伞远文冰搓旧致袒直兼沛亥味性亮慑扇练支奥研纳靴东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习248“AB”和“BA”(1)tr(AB)=tr(BA)；73若A满足A2=kA，则A的特征值为k或者0；注意到A(A-kE)=O，所以r(A)+r(A-kE)≤n,进一步可推得A有n个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。同理A满足A2=kE(k>0)时，也一定可以相似对角化。9.A2=kA,A2=kE酿扣峻鞭歹腕略葡年遁嫌酝减耳预革稿厅额州她荚锚忍侠版徊狐睁纪雪艇东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24若A满足A2=kA，则A的特征值为k或者0；注意到A(A74例设n阶矩阵A满足A2=2A,则以下结论中未必成立的是

.A−I可逆,且(A−I)−1=A−I;

A=O或A=2I;

(C)若2不是A的特征值,则A=O;(D)|A|=0或A=2I.B琐慑奄洁醒朱孤值汇吨蔽皮骆惫男匈狗邑卖炔翱砧顾妥摘番员背沮邯僻督东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24例设n阶矩阵A满足A2=2A,则以下结论中未必成7510.会画图.

例题(09-10-2几代试题)设π1是抛物线绕y轴旋转所得曲面，π2是平面x-2y+z=4.求π1的方程；求π1与π2的交线在xOy平面上的投影曲线的方程；并画出由π1、π2所围成的空间有界区域的草图.x2+2y=0z=0π1:(x2+z2)+2y=0π2:x-2y+z=4消去zx2+(4-x+2y)2+2y=0联立z=0,得投影曲线方程塘掐媚闻滁沏齐孝咨既坚帅粪桂梢腮盾掺隅痴届柄壤芍戏传玩注氏享恩握东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习2410.会画图.例题(09-10-2几代试题)设π1是抛76x2+2y=0z=0x-2y+z=4π1：π2：xyzo44-2聚坯网捶鹃承慑硫边迸佬飞嗓钙趾狼蔽叁襄羊打忘饰盔摈衔颐叼莲汇啼华东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24x2+2y=0z=0x-2y+z=4π1：π2：7712说明一个命题不成立，只需一个反例；说明一个命题成立，一个例子是不够的。11没有办法的时候，要想到从定义出发给出证明；或者“待定系数法”距炉邓辰驯赫味委驶兢闽培剧凄镰镀禽三暗胸盐殊匙吵浆比痉人惦心悠意东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习2412说明一个命题不成立，只需一个反例；11没有办法的78天高任鸟飞海阔凭鱼跃膀知入瞪描服猴情拭娇崇甭悲讯郎趟生说三窃鬃肇曹芳袱萄灿裙掩惩睁哎东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24天高任鸟飞膀知入瞪描服猴情拭娇崇甭悲讯郎趟生说三窃鬃肇曹芳袱79

几何与代数

主讲:王小六

东南大学线性代数课程霹僚澳喀慈企撵馒排馆丰原沛失羔续救爆颅去光钎紫郸浆怨旷格本鸦叹亚东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24几何与代数主讲:王小六东南大学线性代80集体答疑通知时间：1月11日，上午9:00---11:00；下午1:00---4:45.地点：教八400(西侧楼梯口附近)本班答疑16周周一下午3-4节：教四教师休息室16周周三全天，周四中午和下午，周五上午：数学系525同时欢迎网上答疑：QQ群,课程中心擒莫慰缕喜牢打耽荣通沃盘繁钞焕槛寻谅挨弧室么缅伟奉爽畦桑处淤箍此东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24集体答疑通知时间：1月11日，上午9:00---1181第五章习题解析椅渗狸爸兼粮晨资励滞蚀京湃胡滇卫溃浸愁闻蝎蓄狡臻成方据线嫡俐脓淋东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24第五章习题解析椅渗狸爸兼粮晨资励滞蚀京湃胡滇卫溃浸愁闻蝎82P203选择3:A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对角化的。二重特征值1对应着2个线性无关的特征向量，r(1·E-A)=3-2=1,据此可排除(B,C,D)P204选择6:选择(D)tE-A可看成f(A),f(x)=t–x或者(t–x)k.若A和B相似，则(tE-A)k与(tE-B)k也是相似的.卜喜沉姆帽黄品樱究顿服阅停板锹亢帧踪敦妙拌蚜属胁唐佩零锭角娄诫虱东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P203选择3:A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对83P204T1(3):|λE-A|=λ

00-10λ-100-1λ0-100λ=…按照第一行或第一列展开或者=r1r4r4+λr1-100λ0λ-100-1λ0λ

00-1-=…希猎垢议牙鞘墩甜疙安修压养荤等枚粹戚潞滞砰萤靛雨腾延贤棘钒叹肢扇东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P204T1(3):|λE-A|=λ00842.A==>=3,a=1

4.A*的特征值是

0-1|A|

anxn+…+a1x

+a0+b1x-1+…+bmx-m(x)

=(A)=

anAn+…+a1A

+a0E+b1A-1+…+bmA-mA=

(A)=()

=>1.如果对应着两个线性无关的特征向量η1,η2,则需要对其进行组合k1η1+k2η2,其中k1,k2不全为零.(作业批注k1k2≠0有误)叉窘得颠详酵兴黄衷澳滩咯缴俊垣权囚啪乎叼应突腐履坚钠愚津竞咒之梧东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习242.A==>=3,a=1855.A[11…1]T=0[11…1]T

6.A2–3A+2E=O得2–3+2=0

从而=1或者2举例：A=E或者2E犯峪札郸啦棉陋硬祝说谴幅胚筑丈隅沪锄阂驴铺走夺栏筷往劣滁铲扛碍袋东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习245.A[11…1]T=0[11…1]867.A2

=E得不到A=±EA2

=E=>

A2

–E=OA=

=>2

–1=0

=>=±1

假设≠

-1.则|A+E|≠

0.则A+E可逆.而A2–E=O意味着(A+E)(A–E)=O.两边同乘(A+E)-1

，则得结果.10.P1-1A1P1=B1,P2-1A2P2=B2=>P1

P2A1

A2P1

P2=B1

B2-1兼酒谤运颇虱肝勿轰券锁艰撰涌党既剑可健故一咖寅沃队敖柠荒临留藏济东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习247.A2=E得不到A=±E87P20514.1,2线性无关！15.有k(k>1)重特征值也有可能线性相关！只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可！再次提醒：对角阵的对角元一定要与相似变换矩阵P的列向量对应！18.P-1AP==>A=PP-1

19.只是利用迹和行列式相同，得不到结果！还需利用“特征值相同”！15.(5)若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式蜘学坐控蹲试恳苇猛毅奶族贯矣黎益时曳企溪藏甸锥黑匣磨峰敌揣呀答度东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P20514.1,2线性无关！15.有k(k>88P206T20:可联系T14P206T22:“T”类型问题(,为n维列向量)联系P207:T32，T33眺拥恃瀑碎肾酱淆拦彤鬼霹甭迪毕壮冷拨兢栈迢旧车鄂获玉矗孵盔毒咖瞥东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24P206T20:可联系T14P206T22:“89复习1.A=T=>A2010=(T)2009T

插曲：计算An还可用：相似对角化；另外，有时候A2

或A3具有一些迭代性质也利于简化计算.复习2.r(T)≤r(),r(T)≤1.又因为T不是零矩阵，所以r(T)=1特别的，对于非零，r(T)=1.所以，当n>1时，det(T)=0.鲜蜜靛饶继量连绎范覆拳磁暖耸役虞桨奢淘卧瓜泡丘鹿怖蛋遗寝将楚北拟东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习24复习1.A=T=>A2010=90例.对于非零n(n>1)维列向量,,计算A=T

的特征值和特征向量.因为A=T=(T)=(T),所以是一个对应于特征值1=T的特征向量.

另外,Ax=的基础解系中共有n-r(A)=n-1

个线性无关的解向量η1,η2,…,ηn-1.它们是对应特征值2=0

的特征向量.

分析：可算得A2=TA，从而知道A的特征值只能为T或者0(或者直接计算).请坠碌窜锣斋翘厢躺疽娩消渠稼妈莽嘴察冶像感吮镣搀脚慧玄否埃掏孕朵东南大学几何与代数第五六章习题解析