人教版高中数学选修4 4极坐标系课件

4.1.2(1)极坐标系高中数学选修4-4坐标系与参数方程学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。4.1.2(1)极坐标系高中数学选修4-4坐标系与参数方程xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x,y）的集合建立一一对应；（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x,y,z）的集合建立一一对应；复习回顾

4.1.1直角坐标系xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）

4.1.1直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐标系R（x,y)（x,y,z)复习回顾4.1.1直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。复习回顾建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。巩固练习OyxFAEBDC选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。巩固练习Oy（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军舰水雷群创设情境（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定创设情境从这向北1000米请问去农行路怎么走？创设情境从这向北1000米请问去农行路怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境分析请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。xO新课讲解一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。xOM新课讲解二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用题组1：说出下图中各点的极坐标练一练题组1：说出下图中各点的极坐标练一练①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定:

当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？①平面上一点的极坐标是否唯一？特别规定:当M在极点时，它的人教版高中数学选修44极坐标系课件三、点的极坐标的表达式的研究:XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式.思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角。新课讲解三、点的极坐标的表达式的研究:XOM如图：OM的长度为4题组2：在极坐标系里描出下列各点练一练题组2：在极坐标系里描出下列各点练一练ABCDEFGOX解析：ABCDEFGOX解析：四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=;如图示：OXPM新课讲解四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必OXP=/4M

2、负极径的实例在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3;如图示：M（－3，/4）新课讲解●OXP=/4M2、负极径的实例在极坐标系中画出点:题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标练一练题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标练一练3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？

思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？新课讲解3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗？思考：试4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点:（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0。因为负极径只在极少数情况使用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…新课讲解六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或(－ρ,θ+(2k

+

1)π)都可以作为它的极坐标.若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组41.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。有.（ρ，2kπ+θ）课堂小结或（-ρ，2kπ+θ+π）[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？[1]建立一个极坐标系课堂小结1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）其中表示同一个点（ρ，θ）；2、点M（ρ，θ）关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）

或（ρ，π+θ）

；3、点M（ρ，θ）关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）

或（-ρ，π-θ）

；4、点M（ρ，θ）关于直线的对称点的一个坐标为（-ρ，-θ）或（ρ，π-θ）

；课堂小结1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ仅供学习交流！！！仅供学习交流！！！课外作业课外作业4.1.2(1)极坐标系高中数学选修4-4坐标系与参数方程学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。4.1.2(1)极坐标系高中数学选修4-4坐标系与参数方程xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x,y）的集合建立一一对应；（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x,y,z）的集合建立一一对应；复习回顾

4.1.1直角坐标系xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）

4.1.1直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐标系R（x,y)（x,y,z)复习回顾4.1.1直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。复习回顾建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。巩固练习OyxFAEBDC选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。巩固练习Oy（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军舰水雷群创设情境（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定创设情境从这向北1000米请问去农行路怎么走？创设情境从这向北1000米请问去农行路怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境分析请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。xO新课讲解一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。xOM新课讲解二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用题组1：说出下图中各点的极坐标练一练题组1：说出下图中各点的极坐标练一练①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定:

当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？①平面上一点的极坐标是否唯一？特别规定:当M在极点时，它的人教版高中数学选修44极坐标系课件三、点的极坐标的表达式的研究:XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式.思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角。新课讲解三、点的极坐标的表达式的研究:XOM如图：OM的长度为4题组2：在极坐标系里描出下列各点练一练题组2：在极坐标系里描出下列各点练一练ABCDEFGOX解析：ABCDEFGOX解析：四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=;如图示：OXPM新课讲解四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必OXP=/4M

2、负极径的实例在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3;如图示：M（－3，/4）新课讲解●OXP=/4M2、负极径的实例在极坐标系中画出点:题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标练一练题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标练一练3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？

思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？新课讲解3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗？思考：试4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点:（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0。因为负极径只在极少数情况使用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…新课讲解六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或(－ρ,θ+(2k

+

1)π)都可以作为它的极坐标.若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组4