与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1．定义法x2y2例1。P(-2「3),F2为椭圆 + =1的右22516和最小值。分析：欲求丨MP丨+丨MF丨的最大值和最小值2可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义IMF|=2a-|MF|,F为椭圆的左焦点。211解：|MP|+|MF|=|MP|+2a-|MF|连接PF延长PF M.21112交椭圆于点M］,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知111122a=10,|PF|=2所以(|MP|+|MF|) =12, (|MP|+|MF|) =81 2max 2min-|PF|<|MP111122a=10,|PF|=2所以(|MP|+|MF|) =12, (|MP|+|MF|) =81 2max 2minx2y2结论1：设椭圆+ =1的左右焦点分别为F］、F2,P(x0，y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意a2 b2 1200一点，则|MP|+|MF|的最大值为2a+|PF|，最小值为2a-|PF。211x2y2例2：P(-2,6),F2为椭圆——+ =1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|MP|+|MF|的最大值和225162最小值。分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M,此点使|MP|+|MF|值最小，求最大值方法同例1。22解：|MP|+|MF|=|MP|+2a-|MF|连接PF并延长交椭圆于点M,，则M在M处时|MP|-|MF211111|取最大值|PF|。「.|MP|+|MF|最大值是10+^37，最小值是从41。12x2y2结论2：设椭圆+ =1的左右焦点分别为F］、F2,P(x0，y°)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点,则丨MP|+|MF2|的最大值为2a+|PFi|，最小值为叫2.二次函数法x2y2例3•求定点A(a,0)到椭圆+ =1上的点之间的最短距离。a2b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|PA|，转化为x,y的函数，求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点,PA解：设P(x,y)为椭圆上任意一点,PA112=(x-a)2+y2=(x-a)2+l_—x2=—(x一222a)2+1_a2由椭圆方程知x的取值范围是[-y2]1)若丨a|W上2，则x=2a时|PA|，1—a1)2min2)2若a>,则x=卞2时|PA| =|2mina—22)2若a>,则x=卞2时|PA| =|2mina—2|3)若a<—、2，则|PA| =|a+"22minx2y2结论3：椭圆+ =1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式a2 b2表示丨MA丨或IMB丨，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法x2例4：椭圆+y242=1上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。分析：若按例3那样d=转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d=x2+y2=142•••令x=2co9s(9GR)y=si9n2cos9+2sin9—4d=_兀当sin(9兀当sin(9+—)4=14^5—2J10时,d.=min兀当sin(9+—)4石+2嫌=-1时,d =maxx2y2结论4：若椭圆+ =1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程，a2b2统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0将x=-2y-c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由4=0解得c=±2、2,c=-2P2时直线m：x+2y-2・2=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行4P5—2P10直线m与l的距离，所以di= min5c=2、；2时直线m：x+2y+2^2=0与椭圆切于点Q,则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行4爲+2臥直线m与l的距离，所以d= 。max5结论5：椭圆上