必修1高一数学人教知识点

高中数学必修1知识点总结目录高中数学必修1知识点总结..............................................................................................第一章会集与函数看法...................................................................................................〖〗会集..............................................................................................................................【】会集的含义与表示......................................................................................................【】会集间的基本关系......................................................................................................【】会集的基本运算..........................................................................................................〖〗函数及其表示..............................................................................................................【】函数的看法..................................................................................................................【】函数的表示法..............................................................................................................〖〗函数的基本性质..........................................................................................................【】单调性与最大（小）值..............................................................................................【】奇偶性..........................................................................................................................【】函数周期性和对称性..................................................................................................〖补充知识〗函数的图象..................................................................................................第二章基本初等函数(Ⅰ)................................................................................................〖〗指数函数......................................................................................................................【】指数与指数幂的运算..................................................................................................【】指数函数及其性质......................................................................................................〖〗对数函数......................................................................................................................【】对数与对数运算..........................................................................................................【】对数函数及其性质......................................................................................................〖〗幂函数..........................................................................................................................〖补充知识〗二次函数......................................................................................................第三章函数的应用............................................................................................................

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表示图子集（或BA)AB真子集（或BA）会集AB相等

中的任一元素都属于BB，且B中最少有一元素不属于A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A

A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则AB（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则AC(1)AB(2)BA

A(B)BA或BAA(B)（7）已知会集A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有它有2n2非空真子集.

2n1个非空子集，【】会集的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质表示图（1）AIAAAIB{x|xA,且（2）AI交集（3）AIBAxB}AIBB（1）AUAAAUB{x|xA,或（2）AUA并集（3）AUBAxB}AUBB{x|xU,且xA}(A)U(?B)补集eUA痧(AIB)UUU痧(AUB)(UA)I(?B)UU

ABABAI(eUA)2AU(eA)UU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0)|x|a(a0)|axb|c,|axb|c(c0)2）一元二次不等式的解法鉴识式0b24ac二次函数yax2bxc(a0)

{x|axa}x|xa或xa}把axb看作一个整体，化成|x|a，|x|a(a0)型不等式来求解00O的图象一元二次方程bb24ac2x1,22ax1x2bbxc0(a0)无实根ax2a（其中x1x2)的根ax2bxc0(a0)b}{x|xx1或xx2}{x|xR的解集2aax2bxc0(a0){x|x1xx2}的解集〖〗函数及其表示【】函数的看法（1）函数的看法①设A、B是两个非空的数集，若是依照某种对应法规f，关于会集A中任何一个数x，在会集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括会集A，以及A到B的对应法规f）B叫做会集A到B的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法规．③只有定义域相同，且对应法规也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的看法及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的会集叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的会集叫做开区间，记做(a,b)；满足axb，或axb的实数x的会集叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足xa,xa,xb,xb的实数x的会集分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：关于会集{x|axb}与区间(a,b)，前者a能够大于或等于b，此后者必定b．3）求函数的定义域时，一般依照以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一的确数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的会集．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，xk(kZ)．2⑥零（负）指数幂的底数不能够为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧关于求复合函数定义域问题，

一般步骤是：若已知

f(x)的定义域为

[a,b]

，其复合函数

f[g(x)]的定义域应由不等式

a

g(x)

b解出．⑨关于含字母参数的函数，求其定义域，依照问题详尽情况需对字母参数进行分类谈论．⑩由本责问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要吻合问题的实质意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，若是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，可是提问的角度不相同．求函数值域与最值的常用方法：①察见解：关于比较简单的函数，我们能够经过观察直接获得值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，此后依照变量的取值范围确定函数的值域或最值．③鉴识式法：若函数

y

f(x)

能够化成一个系数含有

y

的关于

x的二次方程a(y)x2

b(y)x

c(y)

0，则在

a(y)

0时，由于

x,y为实数，故必定有b2(y)

4a(y)c(y)

0，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：经过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转变为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）照射的看法①设

A、B

是两个会集，若是依照某种对应法规

f

，关于会集

A中任何一个元素，在会集

B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括会集

A，

B以及

A到

B的对应法规

f

）叫做会集A到

B的照射，记作

f:A

B．②给定一个会集

A到会集

B的照射，且

a

A,b

B．若是元素

a和元素

b对应，那么我们把元素b叫做元素

a的象，元素

a叫做元素

b的原象．〖〗函数的基本性质【】单调性与最大（小）值1）函数的单调性①定义及判断方法函数的定义性质若是关于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<．．x2．时，都有f(x1)<f(x2)，．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．函数的单调性若是关于属于定义域I内

图象判断方法（1）利用定义（2）利用已知函数yy=f(X)f(x2)的单调性f(x1)（3）利用函数图象ox1x2x（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义（2）利用已知函数某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<．．x2．时，都有f(x1)>f(x2)，．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．

yy=f(X)f(x1)f(x2)ox1x2x

的单调性3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③关于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．y（2）打“√”函数f(x)xa(a0)的图象与性质xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、

x(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，若是存在实数M满足：（1）关于任意的xI，都有f(x)

M

；（2）存在

x0

I

，使得

f(x0)

M

．那么，我们称

M

是函数

f(x)

的最大值，记作fmax

(x)

M

．②一般地，设函数

y

f(x)

的定义域为

I

，若是存在实数

m满足：（1）关于任意的

x

I

，都有f(x)

m；（2）存在

x0

I

，使得

f(x0)

m．那么，我们称

m是函数

f(x)

的最小值，记作f

max

(x)

m．【】奇偶性4）函数的奇偶性①定义及判断方法函数的定义图象判断方法性质若是关于函数f(x)定义域（1）利用定义（要内任意一个x，都有f(－先判判断义域可否．．．x)=－f(x),那么函数f(x)叫关于原点对称）．．．．．．．．做奇函数．（2）利用图象（图．．．函数的象关于原点对称）奇偶性若是关于函数f(x)定义域（1）利用定义（要内任意一个x，都有f(－先判判断义域可否．．．x)=f(x),那么函数f(x)叫做关于原点对称）．．．．．．．偶函数．（2）利用图象（图．．．象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．【】函数周期性和对称性一．定义：若T为非零常数，关于定义域内的任一x，使f(xT)f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．重要结论1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则fx是以T2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=1(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。xf5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=12a是它的一个周期。f(a>0),则f(x)为周期函数且x6、f(xa)1f(x)，则fx是以T2a为周期的周期函数.1f(x)7、f(xa)1f(x)，则fx是以T4a为周期的周期函数.1f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；10、函数yf(x)xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。T14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f( )=0.2函数的轴对称：定理1：若是函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对2称.推论1：若是函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称.推论2：若是函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线x0（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：若是函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称.推论3：若是函数yfx满足faxfax0，则函数yfx的图象关于点a,0对称.推论4：若是函数yfx满足fxfx0，则函数yfx的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.二、函数周期性的性质：定理3：若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理4：若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理5：若函数fx在R上满足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以4ab为周期.〖补充知识〗函数的图象（1）作牟利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③谈论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要正确记忆一次函数、二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yf(x)h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位②伸缩变换yf(x)01,伸yf(x)yf(x)0A1,缩yAf(x)1,缩A1,伸③对称变换yf(x)yf(x)f(x)yf(x)

x轴f(x)yf()y轴f()yxyx原点f(x)yf(x)直线yxyf1(x)y去掉y轴左边图象yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去2）识图关于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注妄图象与函数解析式中参数的关系．3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题供应了“形”的直观性，它是研究解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算（1）根式的看法①若是xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)．a(a0)（2）分数指数幂的看法amnam(amnNn1)0①正数的正分数指数幂的意义是：,且．的正分数指数幂n0,,等于0．mmn(1)m(a②正数的负分数指数幂的意义是：an(1)n0,m,nN,且n1)．0的负aa分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③)rrr(0,0,)abababrR【】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数yax(a0且a1)叫做指数函数a10a1yyaxyaxy图象y1y1(0,1)(0,1)定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况a变化对图象的影响

OxOxR(0,)图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．非奇非偶在R上是增函数在R上是减函数ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖〗对数函数【】对数与对数运算（1）数的定①若axN(a0,且a1)，x叫做以a底N的数，作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②数和零没有数．③数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．（2）几个重要的数恒等式loga10，logaa1，logaabb．（3）常用数与自然数常用数：lgN，即log10N；自然数：lnN，即logeN（其中⋯）．（4）数的运算性若是a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNN⑤logabMnnlogaM(b0,nR)⑥底公式：logaNlogbN(b0,且b1)blogba【】对数函数及其性质5）对数函数函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性

对数函数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a10a1x1x1yylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的logax0(x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(x1)变化情况logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的看法设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果关于y在C中的任何一个值，经过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式

yf(x)

中反解出

x

f1(y)

；③将

x

f1(y)改写成

y

f1(x)

，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数

y

f(x)与反函数

y

f1(x)

的图象关于直线

y

x对称．②函数

y

f(x)

的定义域、值域分别是其反函数

yf1(x)的值域、定义域．③若

P(a,b)

在原函数

y

f(x)的图象上，则

P'(b,a)在反函数

y

f

1

(x)

的图象上．④一般地，函数

y

f(x)要有反函数则它必定为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都经过点(1,1)．③单调性：若是0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．若是0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无量凑近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中p,qpqq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxpq是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yxp是非奇非偶函数．⑤图象特色：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②极点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用极点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，采纳两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,极点坐标是2a(b,4acb2)．2a4a②当a0时，抛物线张口向上，函数在(,b]上递减，在[b,)上递加，当xb时，2a2a2afmin(x)4acb2；当a0时，抛物线张口向下，函数在(,b]上递加，在[b,)上递减，4a2a2a当xb4acb2时，fmax(x)4a．2a③二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|．|a|（4）一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完满，且解决的方法侧重于二次方程根的鉴识式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来解析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来解析此类问题：①张口方向：a②对称轴地址