山东大学物理学院宗福建

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宗福建1《电动力学》第11讲第二章静电场（3）§2.3电像法

教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年10月20日上一讲复习1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi，每一个区域的介电常数为εi

。设V内有给定的电荷分布ρ（x）。电势φ在均匀区域Vi内满足泊松方程在两区域Vi

和Vj

的分界上满足边值关系sv上一讲复习唯一性定理：设单连通区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定：（1）电势φ|s或（2）电势的法向导数∂φ/∂n|s，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ/∂n值。sv山东大学物理学院

宗福建4上一讲复习2.有导体存在时的唯一性定理

当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势φi

，另一个是给定每个导体上的总电荷Qi

。

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宗福建5上一讲复习设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为V'

，因而V'

的边界包括界面S以及每个导体的表面Si

。设V'

内有给定电荷分布ρ

，S上给定φ|s

或∂φ/∂n|s值。对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势φi

亦给定，即给出了V'

所有边界上的φ或

∂φ/∂n

值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V'

内的电场唯一地被确定。

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宗福建6上一讲复习对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷Qi

以及V的边界S上的φ或

∂φ/∂n

值，则V内的电场唯一确定。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程

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宗福建7上一讲复习在第i个导体上满足总电荷条件

（n为导体面的外法线）和等势面条件

φ|s=φi=常量以及在V的边界S上具有给定的φ|s

或∂φ/∂n|s

值。

本讲主要内容§2.3电像法电像法的概念和适用条件接地无限大平面导体板附近有一点电荷导体球外（内）空间有一点电荷山东大学物理学院

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求解泊松方程的难度、电像法的概念和适用条件

一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况，求解比较困难。

求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。2.以唯一性定理为依据

在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。山东大学物理学院

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电像法概念、适用情况电像法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。适用情况：

所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。c)给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。山东大学物理学院

宗福建11§2.3电像法2、接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。从物理上分析，在点电荷Q的作用下，导体板上出现感应电荷分布。若Q为正的，则感应电荷为负的。空间中的电场是有给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发的，而另一方面感应电荷分布有是在总电场作用下达到平衡的结果。平衡的条件就是导体的静电平衡条件，即导体表面为一等势面。山东大学物理学院

宗福建12§2.3电像法设想在导体板下方与电荷Q

对称的位置上放一个假想电荷Q’，然后把导体板去掉。若Q’=−Q，则假想电荷Q’与给定电荷Q激发的总电场如右图所示：山东大学物理学院

宗福建13§2.3电像法由对称性容易看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而边界条件得到满足。因此，导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q'

代替。Q'

称为Q的镜像电荷。

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宗福建14§2.3电像法2、接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电荷Q'=−Q

共同激发的电场。以r表示Q到场点P的距离，r'

表示像电荷Q'到P的距离，P点的电势为

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宗福建15§2.3电像法2、接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点，设Q到导体板的距离为a，有

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宗福建16§2.3电像法思考题1：无限大导体上部有一个电偶极矩为P的电偶极子。求电势、电场分布。山东大学物理学院

宗福建17§2.3电像法思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。山东大学物理学院

宗福建18§2.3电像法思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。山东大学物理学院

宗福建19§2.3电像法思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。像电荷数山东大学物理学院

宗福建20§2.3电像法思考题3：无限大平行导体板内有点电荷。求电势、电场分布。山东大学物理学院

宗福建21§2.3电像法思考题3：无限大平行导体板内有点电荷。求电势、电场分布。山东大学物理学院

宗福建22§2.3电像法3、真空中有一半径为R0

的接地导体球，矩球心为a（a>R0）处有一点电荷Q

，求空间各点的电势。山东大学物理学院

宗福建23§2.3电像法3、真空中有一半径为R0

的接地导体球，矩球心为a（a>R0）处有一点电荷Q

，求空间各点的电势。山东大学物理学院

宗福建24§2.3电像法3、真空中有一半径为R0

的接地导体球，矩球心为a（a>R0）处有一点电荷Q

，求空间各点的电势。假设可以用球内一个假想电荷Q'

来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q'应在OQ的连线上。关键是能否选择Q'

的大小和位置使得球面上φ=0的条件得到满足？

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宗福建25§2.3电像法式中r为Q到P的距离，r'为Q'到P的距离。

因此对球面上任一点，应有山东大学物理学院

宗福建26§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建27§2.3电像法对A点：r=a-R0,r’=R0-b对B点：r=a+R0,r’=R0+b山东大学物理学院

宗福建28§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建29§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建30§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建31§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建32§2.3电像法由Q和镜像电荷Q‘

激发的总电场能够满足在导体面上φ=0

的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ为OP与OQ的夹角。

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宗福建33§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建34§2.3电像法由高斯定理，收敛于球面上的电通量为−Q‘，因此，Q’等于球面上的总感应电荷，它是由于受电荷Q的电场吸引而从接地处传至导体球上的。由|Q‘|<Q，由Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的部分伸展至无穷远，电场如右图所示。

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宗福建35§2.3电像法4、如上例，但导体球不接地也不带电荷，求球外电势。解这里给处的条件是导体球上的总电荷为零。这条件包括（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为零。

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宗福建36§2.3电像法由上例可知，若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q‘，其位置和大小如前，则球面上电势为零。若在球心再放一个假想电荷−Q’，则导体球所带总电荷为零

，同时球面仍为等势面，其电势为−Q'/4πε0R0

。因此，条件（1）和（2）都被满足。球外任一点P的电势为

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宗福建37§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建38§2.3电像法5、如上例，但导体球不接地而带电荷

Q0

，求球外电势，并求电荷Q所受的力。解这里给处的条件是导体上的总电荷。这条件包括（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为Q0

。

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宗福建39§2.3电像法由上例可知，若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q‘，其位置和大小如前，则球面上电势为零。若在球心再放一个假想电荷Q0−Q’，则导体球所带总电荷为Q0，同时球面仍为等势面，其电势为:（Q0−Q'）/4πε0R0

。因此，条件（1）和（2）都被满足。球外任一点P的电势为

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宗福建40§2.3电像法山东大学物理学院

宗福建41§2.3电像法因为空间中的电场相当于点电荷Q、镜像电荷Q'和球心处的电荷Q0−Q'所激发的电场，因此电荷Q所受的力等于Q'和球心处的电荷Q0−Q'对它的作用力F，式中第二项是吸引力，而且当a→R0

时这项的数值大于第一项。由此可见，即使Q与Q0

同号，只要Q距球面足够近，它就可能受到导体的吸引力。这是由于感应作用，虽然整个导体的总电荷是正的，但在靠近Q的球面部分可能出现负电荷。

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宗福建42§2.3电像法6、思考题：求空心导体球内的势，a<R0.山东大学物理学院

宗福建43§2.3电像法6、思考题：求空心导体球内的势，a<R0.山东大学物理学院

宗福建44§2.3电像法6、思考题：求空心导体球内的势，a<R0.山东大学物理学院

宗福建45§2.3电像法7、思考题：在接地的导体平面上有一半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，试用电像法求空间电势．

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宗福建46§2.3电像法7、思考题：在接地的导体平面上有一半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，试用电