最短路径问题课件

最短路径问题平面中的最短路径第1页/共29页最短路径问题平面中的最短路径第1页/共29页1

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间线段最短思考①②③第2页/共29页如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪2问题１：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点，CA

＋CB最短作法：连接点A，B与直线l

相交于点C

（CA+CB）min=ABA.l.BC一、一线+两点（异侧）第3页/共29页问题１：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在3问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

BAl二、一线+两点（同侧）第4页/共29页问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，4

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl二、一线+两点（同侧）第5页/共29页精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对5将A，B两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线。B··AlA′·C

作法：1、过点A作直线l的对称点A′2、连接A′B，与直线l相交于点P3、连接点A,P此时（AP+PB）min

二、一线+两点（同侧）P第6页/共29页将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。B··A6将A，B两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线。B··AlA′

·C证明：

∵AP1+P1B=A′P1+P1B

>A′B

=A′P+PB

=AP+PB∴AP1+P1B>AP+PB同理：AP2+P2B>AP+PB故（AP+PB）min二、一线+两点（同侧）P1P2P第7页/共29页将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。B··A7问题3：牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短？b.Pa草地河三、两线+一点第8页/共29页问题3：牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上8b.Pa草地河作法：1、作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b对称点P22、连接P1P2，分别交直线a,b于点A，B3、连接PA，PB，由对称轴的性质知，PA=P1A，PB=P2B∴先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，这时的放牧路线总路程最短，即(PB+BA+AP)minBP2AP1三、两线+一点第9页/共29页b.Pa草地河作法：BP2AP1三、两线+一点第9页/9三、两线+一点b.Pa草地河证明：∵PA1+A1B1+B1P=P1A1+A1B1+B1P2>P1A+AB+BP2=PA+AB+BP∴PA1+A1B1+B1P>PA+AB+BP故（PA+AB+BP）minBP2AP1B1A1第10页/共29页三、两线+一点b.Pa草地河证明：BP2AP1B1A110问题4：为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？

l1l2.

A.

B四、两线+两点第11页/共29页问题4：为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工11l1l2A.

.

B作法：1、作点A关于直线l1的对称点A12、作点B关于直线l2的对称点B13、连接A1B1，分别交直线l1,l2于点C，D，则沿路线A→C→D→B走，才能使总路程最短∴先到点C处设卡检查，再到点D处设卡检查，最后回到B处执行任务，这时的路线总路程最短。即（AC+CD+DB）minA1C

D

B1四、两线+两点第12页/共29页l1l2A..B作法：A1CDB1四、两线+两12l1l2A.

.

B证明：∵AE+EF+FB=A1E+EF+FB1

=A1E+EG+GF+FB1

>A1G+GB1=A1B1=A1C+CD+DB1=AC+CD+DB∴AE+EF+FB>AC+CD+DB故（AC+CD+DB）minA1C

D

B1E

F

G

四、两线+两点第13页/共29页l1l2A..B证明：A1CDB1EFG四、13问题5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

作法：

1、将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E

2、连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。四、两线+两点.A.BNM.E第14页/共29页问题5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥14ABNME证明：∵AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+CD>AE+CD=AM+ME+CD=AM+NB+MN∴AC+CD+DB>AM+NB+MN故（AM+NB+MN）minCD四、两线+两点第15页/共29页ABNME证明：CD四、两线+两点第15页/共29页15（2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系。

(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；

(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出所建游乐场的位置．中考连接OA..Bxy第16页/共29页（2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路16作法：（1）连接A，B点，以A，B为圆心，任意半径画圆，交点为点M，N，连接MN，交x轴于点C，则点C就是所求点，即CA=CB（2）过A点做x轴的对称点A1点，连接A1B交x轴于点P，则点P就是所求点，即（AP+PB）min中考连接OA..BxyMNCPA1第17页/共29页作法：中考连接OA..BxyMNCPA1第17页/共2917最短路径问题

立体图形中的最短路径第18页/共29页最短路径问题立体图形中的最短路径第18页/共29页18

问题6：如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？BAA′一、圆柱中的最短路径第19页/共29页问题6：如图在一个底面周长为20cm,高AA′为419方案(1)方案(2)方案(3)方案(4)

蚂蚁A→B的路线BAA’dABA’ABBAO第20页/共29页方案(1)方案(2)方案(3)方案(4)蚂蚁A→B的路线B20BAA’rO4怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，侧面展开图其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长。第21页/共29页BAA’rO4怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理21例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？A

..B分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5BC=24×=12

由勾股定理得∴AB=13(m)BAC第22页/共29页例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距22问题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC531512∵AB2=AC2+BC2=169∴AB=13二、台阶中的最短路径第23页/共29页问题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等23问题8：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）

（A）3（B）（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）。CABC21三、正方体中的最短路径B第24页/共29页问题8：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着24左面和上面前面和上面前面和右面四、长方体中的最短路径第25页/共29页左面和上面前面和上面前面和右面四、长方体中的最短路径第25页25问题9：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③

),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421AC1=√42+32=√25

前面和上面②ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37

前面和右面AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29左面和上面

四、长方体中的最短路径第26页/共29页问题9：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表261、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是

。中考连接ABCD543第27页/共29页1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，272、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为

。中考连接AB10cm第28页/共29页2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金28感谢观看！第29页/共29页感谢观看！第29页/共29页29最短路径问题平面中的最短路径第1页/共29页最短路径问题平面中的最短路径第1页/共29页30

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间线段最短思考①②③第2页/共29页如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪31问题１：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点，CA

＋CB最短作法：连接点A，B与直线l

相交于点C

（CA+CB）min=ABA.l.BC一、一线+两点（异侧）第3页/共29页问题１：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在32问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

BAl二、一线+两点（同侧）第4页/共29页问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，33

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl二、一线+两点（同侧）第5页/共29页精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对34将A，B两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线。B··AlA′·C

作法：1、过点A作直线l的对称点A′2、连接A′B，与直线l相交于点P3、连接点A,P此时（AP+PB）min

二、一线+两点（同侧）P第6页/共29页将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。B··A35将A，B两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线。B··AlA′

·C证明：

∵AP1+P1B=A′P1+P1B

>A′B

=A′P+PB

=AP+PB∴AP1+P1B>AP+PB同理：AP2+P2B>AP+PB故（AP+PB）min二、一线+两点（同侧）P1P2P第7页/共29页将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。B··A36问题3：牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短？b.Pa草地河三、两线+一点第8页/共29页问题3：牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上37b.Pa草地河作法：1、作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b对称点P22、连接P1P2，分别交直线a,b于点A，B3、连接PA，PB，由对称轴的性质知，PA=P1A，PB=P2B∴先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，这时的放牧路线总路程最短，即(PB+BA+AP)minBP2AP1三、两线+一点第9页/共29页b.Pa草地河作法：BP2AP1三、两线+一点第9页/38三、两线+一点b.Pa草地河证明：∵PA1+A1B1+B1P=P1A1+A1B1+B1P2>P1A+AB+BP2=PA+AB+BP∴PA1+A1B1+B1P>PA+AB+BP故（PA+AB+BP）minBP2AP1B1A1第10页/共29页三、两线+一点b.Pa草地河证明：BP2AP1B1A139问题4：为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？

l1l2.

A.

B四、两线+两点第11页/共29页问题4：为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工40l1l2A.

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B作法：1、作点A关于直线l1的对称点A12、作点B关于直线l2的对称点B13、连接A1B1，分别交直线l1,l2于点C，D，则沿路线A→C→D→B走，才能使总路程最短∴先到点C处设卡检查，再到点D处设卡检查，最后回到B处执行任务，这时的路线总路程最短。即（AC+CD+DB）minA1C

D

B1四、两线+两点第12页/共29页l1l2A..B作法：A1CDB1四、两线+两41l1l2A.

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B证明：∵AE+EF+FB=A1E+EF+FB1

=A1E+EG+GF+FB1

>A1G+GB1=A1B1=A1C+CD+DB1=AC+CD+DB∴AE+EF+FB>AC+CD+DB故（AC+CD+DB）minA1C

D

B1E

F

G

四、两线+两点第13页/共29页l1l2A..B证明：A1CDB1EFG四、42问题5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

作法：

1、将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E

2、连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。四、两线+两点.A.BNM.E第14页/共29页问题5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥43ABNME证明：∵AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+CD>AE+CD=AM+ME+CD=AM+NB+MN∴AC+CD+DB>AM+NB+MN故（AM+NB+MN）minCD四、两线+两点第15页/共29页ABNME证明：CD四、两线+两点第15页/共29页44（2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系。

(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；

(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出所建游乐场的位置．中考连接OA..Bxy第16页/共29页（2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路45作法：（1）连接A，B点，以A，B为圆心，任意半径画圆，交点为点M，N，连接MN，交x轴于点C，则点C就是所求点，即CA=CB（2）过A点做x轴的对称点A1点，连接A1B交x轴于点P，则点P就是所求点，即（AP+PB）min中考连接OA..BxyMNCPA1第17页/共29页作法：中考连接OA..BxyMNCPA1第17页/共2946最短路径问题

立体图形中的最短路径第18页/共29页最短路径问题立体图形中的最短路径第18页/共29页47

问题6：如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？BAA′一、圆柱中的最短路径第19页/共29页问题6：如图在一个底面周长为20cm,高AA′为448方案(1)方案(2)方案(3)方案(4)

蚂蚁A→B的路线BAA’dABA’ABBAO第20页/共29页方案(1)方案(2)方案(3)方案(4)蚂蚁A→B的路线B49BAA’rO4怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，侧面展开图其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长。第21页/共29页BAA’rO4怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理50例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？A

..B分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5BC=24×=12

由勾股定理得∴AB=13(m)BAC第22页/共29页例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距51问题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两