2021届全品高考复习方案：第6讲 函数的奇偶性与周期性课件

(2003课标实验版)新高考(2003课标实验版)新高考第6讲函数的奇偶性与周期性课前双基巩固

课前考点探究

教师备用例题第二单元

函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性课前双基巩固内容与要求

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数的周期性.内容与要求

知识聚焦1.函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有

,那么函数f(x)是偶函数

都有

,那么函数f(x)是奇函数

图像特征关于

对称

关于

对称

f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点知识聚焦1.函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有

,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

,那么这个

就叫作f(x)的最小正周期.

f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数2.函数的周期性f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数常用结论

常用结论

对点演练题组一

常识题

[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cosx为偶函数.2对点演练题组一常识题

[解析]f(x)=x2-2.[教材改编]

若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是

函数;若偶函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是

函数.

[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.减减2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数

4.[教材改编]

已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)=

.

[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.14.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x)题组二

常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性应用不熟练导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域导致出错.题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇

奇

奇6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线

对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点

成中心对称.

[解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.x=a(b,0)6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像7.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)=2,则f(-0.5)=

.

[解析]因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的图像关于点(1,0)对称,所以f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=f(-x),从而有f(2+x)=f(x),所以f(x)为周期为2的周期函数,所以f(-0.5)=-f(0.5)=-f(2.5)=-2.-27.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=

.

8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x探究点一

函数奇偶性及其延伸微点1

函数奇偶性的判断例1(1)函数f(x)=|x+1|-|x-1|(

)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数[思路点拨](1)利用函数奇偶性的定义判断即可;[解析](1)函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),故函数f(x)为奇函数.故选A.A探究点一函数奇偶性及其延伸微点1函数奇偶性的判断例1

[思路点拨](2)根据奇函数的定义对各选项进行判断即可.

C

[思路点拨](2)根据奇函数的定义对各选项进行判断即可.

C

微点2

函数奇偶性的应用

C

微点2函数奇偶性的应用

[思路点拨](2)先判断函数的奇偶性,进而可求出函数值.

B

[思路点拨](2)先判断函数的奇偶性,进而可求出函数值.[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:例3(1)[2019·临沂三模]

已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是 (

)A.h(x)的图像关于点(1,0)对称B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称C.h(x)的图像关于直线x=1对称D.h(x)的图像关于直线x=-1对称D[思路点拨](1)设t=x+1,通过换元将h(x)变形为h(t-1),并用f(t)与g(t)表示,以便使用f(x),g(x)的奇偶性,从而判断h(x)图像的对称性;微点3

奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题)[解析](1)设t=x+1,则x=t-1,h(x)=|f(x+1)|+g(x+1)等价于h(t-1)=|f(t)|+g(t),因为h(-t-1)=|f(-t)|+g(-t)=|-f(t)|+g(t)=|f(t)|+g(t)=h(t-1),所以h(x)的图像关于直线x=-1对称.故选D.例3(1)[2019·临沂三模]已知函数f(x),g

[思路点拨](2)先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(x)的图像关于直线x=2对称,进而得出f(x)的单调性,再分2-3x≥2和2-3x<2进行讨论,即可求出结果.D

[思路点拨](2)先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(

D

D[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:

应用演练

B

应用演练

B

[解析]∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,又当x<0时,f(x)=-x2+ax,∴a=-2.B

[解析]∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),B

A

A4.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 (

)A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞)[解析]由f(x+2)是R上的偶函数,可得f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又f(x)在(-∞,2]上为增函数,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数,所以由f(a)≤f(3),可得a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞),故选D.D4.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,5.【微点3】[2019·内江三模]

已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的图像向左平移2个单位后关于y轴对称,且f(1)=1,则f(4)+f(5)=

.

[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,∵将f(x)的图像向左平移2个单位后关于y轴对称,∴f(x)的图像关于直线x=2对称,即f(-x+2)=f(x+2),∴-f(x-2)=f(x+2),即f(x)=-f(x+4),∴f(4)+f(5)=f(0+4)+f(1+4)=-f(0)-f(1)=-0-1=-1.-15.【微点3】[2019·内江三模]已知f(x)是定义在R探究点二

函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为(

)A.f(x)=x2-4 B.f(x)=x2+4C.f(x)=(x+4)2 D.f(x)=(x-4)2[思路点拨](1)由函数的周期为2,得到f(x)=f(x-4),令x-4∈(-2,0],利用f(x)=f(x-4),即可求出当x∈(2,4]时的函数解析式;D[解析](1)∵x∈R,f(x)=f(x+2),∴f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(x-4)=f(x-2)=f(x).设x-4∈(-2,0],可得f(x-4)=(x-4)2,此时,x∈(2,4],根据f(x)=f(x-4),得f(x)=f(x-4)=(x-4)2,因此,当x∈(2,4]时,f(x)=(x-4)2.故选D.探究点二函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是

A

A[总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.[总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.变式题

(1)[2019·西安中学期末]

定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2019)= (

)A.335 B.336 C.338 D.2016C[解析]定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),则函数f(x)的周期是6.因为f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2019)=336×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=336×1+2=338.故选C.变式题(1)[2019·西安中学期末]定义在R上的变式题

(2)(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 (

)A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x)的周期为4 D.f(x+3)是奇函数CD[解析](2)由f(x+1)为奇函数,可知f(x)的图像关于点(1,0)对称.由f(x-1)为奇函数,可知f(x)的图像关于点(-1,0)对称.所以f(x)为周期函数,且周期T=4,则f(x+3)=f(x-1),所以f(x+3)为奇函数.故选CD.变式题(2)(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(探究点三

以函数性质的综合为背景的问题

微点1奇偶性与单调性的结合C探究点三以函数性质的综合为背景的问题

微点1奇偶性与单

C

C

[思路点拨](2)先根据奇函数的定义求出m的值,然后分析f(x)的单调性,将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系,最后求出x的取值范围.[-2,-1)

[思路点拨](2)先根据奇函数的定义求出m的值,然后分析[总结反思](1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.[总结反思](1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不例6(1)[2019·兰州一中三模]

已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)= (

)A.11 B.5 C.-9 D.-1C[思路点拨](1)根据条件得出f(x)的周期为6,再根据f(x)是偶函数,以及所给区间的函数解析式,可求出f(8)=f(2)=f(-2)=-9;微点2奇偶性与周期性的结合[解析](1)∵f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数,且当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,∴f(8)=f(2+6)=f(2)=f(-2)=-4-5=-9.故选C.例6(1)[2019·兰州一中三模]已知函数f(x)是例6(2)[2019·栖霞模拟]

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)= (

)A.2019 B.0 C.1 D.-1[思路点拨](2)根据题意得f(x)的周期为4,利用f(x)为奇函数且周期为4可求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,根据周期性可求出结果.B[解析](2)由f(x+2)=f(x-2)得f(x)的周期为4,又f(x)为R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,∴f(1)=1,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,又f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=0.故选B.例6(2)[2019·栖霞模拟]已知定义在R上的奇函[总结反思]周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值.[总结反思]周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常

C

微点3奇偶性、周期性与单调性的结合

C

微点3奇偶性、周期性与单调性的结合

C

C

[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先[解析]y=x3是奇函数,排除A;y=ex是非奇非偶函数,排除C;y=cosx是偶函数,但在(0,+∞)上有增也有减,排除B;y=|x|+1既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增,故选D.应用演练1.【微点1】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x3 B.y=cosxC.y=ex

D.y=|x|+1D[解析]y=x3是奇函数,排除A;y=ex是非奇非偶函数,

D

D

A

A[解析]由题意可得f(2019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+ln1)=-1.故选A.4.【微点2】[2019·济宁二模]

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的周期为4,当x∈(0,2)时,f(x)=x2+lnx,则f(2019)= (

)A.-1 B.0 C.1 D.2A[解析]由题意可得f(2019)=f(505×4-1)=4

A

A【备选理由】

例1考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断,注意运用定义法,考查化简变形能力和运算能力;例2考查了函数图像对称性的应用,结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数图像的对称性是解决本题的关键,是对正文例3对称性学习的补充;例3、例4主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,解抽象函数不等式的问题有两种方法,一种是将函数表达式直接写出,解不等式即可,一种是通过研究函数的单调性直接将不等式转化为自变量的不等关系.【备选理由】例1考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断,注意运例1[配合例1、例4使用]已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0.现给出下列命题:①函数f(x)是以2为周期的周期函数;②函数f(x)是以4为周期的周期函数;③函数f(x-1)为奇函数;④函数f(x-3)为偶函数.则其中真命题的个数是 (

)A.1 B.2

C.3 D.4[解析]偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,即f(-x)=f(x)=-f(2-x),即f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得f(x)是周期为4的周期函数,故①为假命题,②为真命题;由f(x+2)=-f(x),可得f(x+1)=-f(x-1),又f(-x-1)=f(x+1),所以f(-x-1)=-f(x-1),故f(x-1)为奇函数,故③为真命题;B例1[配合例1、例4使用]已知偶函数f(x)满足f(例1[配合例1、例4使用]已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0.现给出下列命题:①函数f(x)是以2为周期的周期函数;②函数f(x)是以4为周期的周期函数;③函数f(x-1)为奇函数;④函数f(x-3)为偶函数.则其中真命题的个数是 (

)A.1 B.2

C.3 D.4由f(x)为偶函数得f(-x-3)=f(x+3),若f(x-3)为偶函数,则f(-x-3)=f(x-3),可得f(x+3)=f(x-3),即f(x+6)=f(x),可得6为f(x)的周期,显然错误,故④为假命题.故选B.B例1[配合例1、例4使用]已知偶函数f(x)满足f(

18

18[解析]因为函数y=f(x)是奇函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=0,所以当-1≤x-1≤1,即0≤x≤2时,f(x-1)=0.当x-1>1,即x>2时,f(x-1)<0可化为log2(x-2)<0,解得2<x<3.当x-1<-1,即x<0时,1-x>1,利用函数y=f(x)是奇函数,将f(x-1)<0化为f(x-1)=-f(1-x)=-log2(-x)<0,解得x<-1.所以f(x-1)<0的解集是(-∞,-1)∪(2,3).故选A.例3[配合例5使用][2019·汉中模拟]

已知函数y=f(x)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=0,当x>1时,f(x)=log2(x-1),则f(x-1)<0的解集是 (

)A.(-∞,-1)∪(2,3) B.(-1,0)∪(2,3)C.(2,3) D.(-∞,-3)∪(2,3)A[解析]因为函数y=f(x)是奇函数,且当x∈[0,1]时

A

A(2003课标实验版)新高考(2003课标实验版)新高考第6讲函数的奇偶性与周期性课前双基巩固

课前考点探究

教师备用例题第二单元

函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性课前双基巩固内容与要求

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数的周期性.内容与要求

知识聚焦1.函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有

,那么函数f(x)是偶函数

都有

,那么函数f(x)是奇函数

图像特征关于

对称

关于

对称

f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点知识聚焦1.函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有

,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

,那么这个

就叫作f(x)的最小正周期.

f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数2.函数的周期性f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数常用结论

常用结论

对点演练题组一

常识题

[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cosx为偶函数.2对点演练题组一常识题

[解析]f(x)=x2-2.[教材改编]

若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是

函数;若偶函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是

函数.

[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.减减2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数

4.[教材改编]

已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)=

.

[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.14.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x)题组二

常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性应用不熟练导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域导致出错.题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇

奇

奇6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线

对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点

成中心对称.

[解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.x=a(b,0)6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像7.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)=2,则f(-0.5)=

.

[解析]因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的图像关于点(1,0)对称,所以f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=f(-x),从而有f(2+x)=f(x),所以f(x)为周期为2的周期函数,所以f(-0.5)=-f(0.5)=-f(2.5)=-2.-27.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=

.

8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x探究点一

函数奇偶性及其延伸微点1

函数奇偶性的判断例1(1)函数f(x)=|x+1|-|x-1|(

)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数[思路点拨](1)利用函数奇偶性的定义判断即可;[解析](1)函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),故函数f(x)为奇函数.故选A.A探究点一函数奇偶性及其延伸微点1函数奇偶性的判断例1

[思路点拨](2)根据奇函数的定义对各选项进行判断即可.

C

[思路点拨](2)根据奇函数的定义对各选项进行判断即可.

C

微点2

函数奇偶性的应用

C

微点2函数奇偶性的应用

[思路点拨](2)先判断函数的奇偶性,进而可求出函数值.

B

[思路点拨](2)先判断函数的奇偶性,进而可求出函数值.[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:例3(1)[2019·临沂三模]

已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是 (

)A.h(x)的图像关于点(1,0)对称B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称C.h(x)的图像关于直线x=1对称D.h(x)的图像关于直线x=-1对称D[思路点拨](1)设t=x+1,通过换元将h(x)变形为h(t-1),并用f(t)与g(t)表示,以便使用f(x),g(x)的奇偶性,从而判断h(x)图像的对称性;微点3

奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题)[解析](1)设t=x+1,则x=t-1,h(x)=|f(x+1)|+g(x+1)等价于h(t-1)=|f(t)|+g(t),因为h(-t-1)=|f(-t)|+g(-t)=|-f(t)|+g(t)=|f(t)|+g(t)=h(t-1),所以h(x)的图像关于直线x=-1对称.故选D.例3(1)[2019·临沂三模]已知函数f(x),g

[思路点拨](2)先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(x)的图像关于直线x=2对称,进而得出f(x)的单调性,再分2-3x≥2和2-3x<2进行讨论,即可求出结果.D

[思路点拨](2)先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(

D

D[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:

应用演练

B

应用演练

B

[解析]∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,又当x<0时,f(x)=-x2+ax,∴a=-2.B

[解析]∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),B

A

A4.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 (

)A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞)[解析]由f(x+2)是R上的偶函数,可得f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又f(x)在(-∞,2]上为增函数,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数,所以由f(a)≤f(3),可得a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞),故选D.D4.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,5.【微点3】[2019·内江三模]

已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的图像向左平移2个单位后关于y轴对称,且f(1)=1,则f(4)+f(5)=

.

[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,∵将f(x)的图像向左平移2个单位后关于y轴对称,∴f(x)的图像关于直线x=2对称,即f(-x+2)=f(x+2),∴-f(x-2)=f(x+2),即f(x)=-f(x+4),∴f(4)+f(5)=f(0+4)+f(1+4)=-f(0)-f(1)=-0-1=-1.-15.【微点3】[2019·内江三模]已知f(x)是定义在R探究点二

函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为(

)A.f(x)=x2-4 B.f(x)=x2+4C.f(x)=(x+4)2 D.f(x)=(x-4)2[思路点拨](1)由函数的周期为2,得到f(x)=f(x-4),令x-4∈(-2,0],利用f(x)=f(x-4),即可求出当x∈(2,4]时的函数解析式;D[解析](1)∵x∈R,f(x)=f(x+2),∴f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(x-4)=f(x-2)=f(x).设x-4∈(-2,0],可得f(x-4)=(x-4)2,此时,x∈(2,4],根据f(x)=f(x-4),得f(x)=f(x-4)=(x-4)2,因此,当x∈(2,4]时,f(x)=(x-4)2.故选D.探究点二函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是

A

A[总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.[总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.变式题

(1)[2019·西安中学期末]

定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2019)= (

)A.335 B.336 C.338 D.2016C[解析]定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),则函数f(x)的周期是6.因为f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2019)=336×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=336×1+2=338.故选C.变式题(1)[2019·西安中学期末]定义在R上的变式题

(2)(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 (

)A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x)的周期为4 D.f(x+3)是奇函数CD[解析](2)由f(x+1)为奇函数,可知f(x)的图像关于点(1,0)对称.由f(x-1)为奇函数,可知f(x)的图像关于点(-1,0)对称.所以f(x)为周期函数,且周期T=4,则f(x+3)=f(x-1),所以f(x+3)为奇函数.故选CD.变式题(2)(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(探究点三

以函数性质的综合为背景的问题

微点1奇偶性与单调性的结合C探究点三以函数性质的综合为背景的问题

微点1奇偶性与单

C

C

[思路点拨](2)先根据奇函数的定义求出m的值,然后分析f(x)的单调性,将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系,最后求出x的取值范围.[-2,-1)

[思路点拨](2)先根据奇函数的定义求出m的值,然后分析[总结反思](1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.[总结反思](1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不例6(1)[2019·兰州一中三模]

已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)= (

)A.11 B.5 C.-9 D.-1C[思路点拨](1)根据条件得出f(x)的周期为6,再根据f(x)是偶函数,以及所给区间的函数解析式,可求出f(8)=f(2)=f(-2)=-9;微点2奇偶性与周期性的结合[解析](1)∵f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数,且当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,∴f(8)=f(2+6)=f(2)=f(-2)=-4-5=-9.故选C.例6(1)[2019·兰州一中三模]已知函数f(x)是例6(2)[2019·栖霞模拟]

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)= (

)A.2019 B.0 C.1 D.-1[思路点拨](2)根据题意得f(x)的周期为4,利用f(x)为奇函数且周期为4可求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,根据周期性可求出结果.B[解析](2)由f(x+2)=f(x-2)得f(x)的周期为4,又f(x)为R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,∴f(1)=1,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,又f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=0.故选B.例6(2)[2019·栖霞模拟]已知定义在R上的奇函[总结反思]周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值.[总结反思]周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常

C

微点3奇偶性、周期性与单调性的结合

C

微点3奇偶性、周期性与单调性的结合

C

C

[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先[解析]y=x3是奇函数,排除A;y=ex是非奇非偶函数,排除C;y=cosx是偶函数,但在(0,+∞)上有增也有减,排除B;y=|x|+1既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增,故选D.应用演练1.【微点1】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x3 B.y=cosxC.y=ex