数值分析-第6章 数值积分与数值微分课件

第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式6.2三个常用的求积公式及其误差6.3复化求积公式6.4Romberg求积公式6.5Gauss求积公式6.6数值微分法NumericalIntegrationAndNumerical

Derivation2022/11/111第6章数值积分与数值微分第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式Numer为什么要进行数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞

有解析表达式；☞

f(x)的原函数F(x)为初等函数．数值积分近似计算2022/11/112第6章数值积分与数值微分为什么要进行数值积分？数值积分近似计算2022/11/102☎

f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂.e.g.

但是在许多实际问题经常遇到下列情况：☎f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.☎

f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.

它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.52022/11/113第6章数值积分与数值微分☎f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂.6.1插值型求积公式近似计算思路

利用插值多项式

则积分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多项式，即得到ωi由节点决定，与f(x)无关。插值型积分公式式中

xi称为求积节点；ωi称为求积系数.机械求积公式2022/11/114第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式近似计算思路利用插值多项式当时，可得到6.1.2插值型求积公式的余项2022/11/115第6章数值积分与数值微分当6.1.3求积公式的的代数精度定义6-1

若求积公式对于任意次数≤m次的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为m．对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，则求积公式是精确成立的．确定代数精度的方法一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm

都能准确成立，而对于xm+1不成立。2022/11/116第6章数值积分与数值微分6.1.3求积公式的的代数精度定义6-1若求积公式对解逐次检查公式是否精确成立取

f(x)=1：=取f(x)=x：∴此求积公式的代数精度为0例6-1

,求其代数精度。

定理6-1对任给的n+1个互异的求积节点x0,x1,…,xn,一个机械求积公式的代数精度有n

次

该公式为插值型求积公式。插值型求积公式是代数精度最高的求积公式2022/11/117第6章数值积分与数值微分解逐次检查公式是否精确成立取f(x)=1：=取解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.

94

34f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814例2

试构造形如

f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)

的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0求积公式有

A0,A1,A2三个未知数,令公式对

f(x)=1,x,x2

均准确成立,则有2022/11/118第6章数值积分与数值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22

例3

给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.解当时，得当时，得令分别代入求积公式使它精确成立当时，得解得,于是得当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.解:2022/11/119第6章数值积分与数值微分例3给定形如2022/11/1110第6章数值积分与数值微分2022/11/1010第6章数值积分与数值微分HW:P1036.1（2）

6.2（3）2022/11/1111第6章数值积分与数值微分HW:P1036.1（2）2022/11/1011第66.2三个常用的求积公式及其误差当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。Newton-Cotes公式这时求积公式Newton-Cotes公式2022/11/1112第6章数值积分与数值微分6.2三个常用的求积公式及其误差当节点等距分布时：令6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲边梯形的面积f(x)ab其中

梯形公式的代数精度为1；梯形公式的余项用梯形面积近似2022/11/1113第6章数值积分与数值微分6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲边梯形的面积f(x)用抛物形面积近似6.2.2Simpson（辛普森）公式将区间[a,b]二等分，取端点a，b和中点(a+b)/2为节点

Simpson公式的代数精度为3；

Simpson公式的余项2022/11/1114第6章数值积分与数值微分用抛物形面积近似6.2.2Simpson（辛普森）公式将6.2.3Cotes（柯特斯）公式取区间[a,b]的4等分点为节点

Cotes公式的代数精度为5；

Cotes公式的余项2022/11/1115第6章数值积分与数值微分6.2.3Cotes（柯特斯）公式取区间[a,b]的4等取区间[a,b]的3等分点为节点，Simpson’s3/8-公式的代数精度为3；Simpson’s3/8-公式的余项n阶Newton-Cotes

公式的代数精度至少为

n

次。n

为偶数阶的Newton-Cotes

公式至少有

n+1次代数精度。2022/11/1116第6章数值积分与数值微分取区间[a,b]的3等分点为节点，Simpson’s3/8例6-2分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分的近似值。解HW:P1036.32022/11/1117第6章数值积分与数值微分例6-2分别利用梯形公式、Simpson公式、Cote

中距形公式取x0=(a+b)/2,用0次插值多项式求积分得到中矩形求积公式

中矩形公式的代数精度为1；中矩形公式公式的余项(a+b)/2f(x)ab2022/11/1118第6章数值积分与数值微分中距形公式取x0=(a+b)/2,用0次插值多项式求积的牛顿-柯特斯公式是不用的.柯特斯系数表当时，柯特斯系数出现负值初始数据误差引起计算结果误差增大，即计算不稳定，2022/11/1119第6章数值积分与数值微分的牛顿-柯特斯公式是不用的.柯特斯系数柯特斯系数的性质

(2)系数有对称性。

(3)当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。

(1)取f(x)≡1，则f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是2022/11/1120第6章数值积分与数值微分柯特斯系数的性质(2)系数有对称性。(3)当n≥8时1.5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为3.

数值求积公式的代数精度为2.

要使求积公式具有2次代数精度则2022/11/1121第6章数值积分与数值微分1.5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为3.数值例用牛顿-柯特斯公式计算定积分

2022/11/1122第6章数值积分与数值微分例用牛顿-柯特斯公式计算定积分2022/11/1022Newton—Cotes求积方法的缺陷：

从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致（1）插值多项式出现Runge现象；（2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（n≥7）余项：对于给定的被积函数而言，积分区间缩短时，求积误差以更快的速度减小。2022/11/1123第6章数值积分与数值微分Newton—Cotes求积方法的缺陷：（1）插值多项式出现6.3复化求积公式复化求积的基本思想

把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，然后把他们加起来作为整个区间上的积分，目的是提高精度.2022/11/1124第6章数值积分与数值微分6.3复化求积公式复化求积的基本思想把积分区间6.3.1复化梯形公式

将区间[a,b]划分为n等分，分点i=0,1,…,n,在每个子区间[xi,xi+1](

i=0,1,…,n-1)上采用梯形公式复化梯形公式余项2022/11/1125第6章数值积分与数值微分6.3.1复化梯形公式将区间[a,b]划分为n等分，分点复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似2022/11/1126第6章数值积分与数值微分复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似20226.3.2复化Simpson公式

将区间[a,b]分为n等分，在每个子区间[xi,xi+1]上采用Simpson公式，若记，则得复化辛普森公式44444余项2022/11/1127第6章数值积分与数值微分6.3.2复化Simpson公式将区间[a,b]复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似2022/11/1128第6章数值积分与数值微分复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似2022/

将每个小区间[xi,xi+1]做4等分，分点分别记为，在区间[xi,xi+1]采用Cotes公式:6.3.3复化Cotes公式复化Cotes公式的截断误差复化Cotes公式2022/11/1129第6章数值积分与数值微分将每个小区间[xi,xi+1]做4等分，分点分别例6-4

将区间做4等分，然后用复化梯形公式及复化Simpson公式计算解复化梯形将积分区间[0,1]划分为4等分，则2位有效数字，6位有效数字,精度差别很大.复化Simpson14,h=HW:P1036.42022/11/1130第6章数值积分与数值微分例6-4将区间做4等分，然后用复化梯形公式及复化（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长h

；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；注意事项：步长h如何选取？2022/11/1131第6章数值积分与数值微分（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长h6.4龙贝格求积公式/*RombergIntegration*/

6.4.1变步长求积公式变步长复化求积公式的思想将积分区间逐次分半，建立递推公式计算，直到满足精度要求.变步长复化梯形公式逐次分半算法直到满足精度要求为止。2022/11/1132第6章数值积分与数值微分6.4龙贝格求积公式/*RombergIntegra设将区间[a,b]分为n等分，共有n+1个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，

每个区间[xi,xi+1]经过二分增加了一个分点用复化梯形公式求该子区间上的积分值2022/11/1133第6章数值积分与数值微分设将区间[a,b]分为n等分，共有n+1个分点，如变步长复化梯形公式实际计算时的递推公式直到为止，作为积分的近似值.2022/11/1134第6章数值积分与数值微分变步长复化梯形公式实际计算时的递推公式直到解例6-5

利用变步长复化梯形公式计算先对整个区间使用梯形公式，即h=1将区间二等分，h=1/2

，求出中点的函数值进一步二分求积区间，h=1/4

，并计算新分点上的函数值的近似值，精确到0.000001.记

这样不断二分下去，计算结果见表6-1.它表明用复化梯形公式计算积分I

要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量很大.HW:P1036.52022/11/1135第6章数值积分与数值微分解例6-5利用变步长复化梯形公式计算先对整个区6.4.2Romberg求积公式由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式收敛慢！2022/11/1136第6章数值积分与数值微分6.4.2Romberg求积公式由复化梯形公式的余项知变变步长复化辛普森公式利用复化梯形公式前后两次积分近似值Tn

和T2n，作出的线性组合，即为复化Simpson公式，具有更高的精度。2022/11/1137第6章数值积分与数值微分变步长复化辛普森公式利用复化梯形公式前后两一般有：Romberg序列Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T2022/11/1138第6章数值积分与数值微分一般有：Romberg序列Romberg<?<例6-6

用龙贝格算法计算积分解k01234533.13.13117643.14094163.13333333.14156873.14159253.14211773.14159423.14158583.14094163.14159273.14159273.14159273.14142993.14159273.14159273.1415927HW:P1046.62022/11/1139第6章数值积分与数值微分例6-6用龙贝格算法计算积分解k01234533.13.1前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复合求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n

。我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n

。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择n+1个节点x0,

x1,

x2,

…,

xn,

使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。2022/11/1140第6章数值积分与数值微分前面介绍的n+1个节点的Newton-6.5Gauss求积公式/*GaussianQuadrature*/

6.5.1Gauss公式的定义构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn

以及系数A0…An

都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。一般n+1节点的求积公式的代数精度最高为2n+1次.定义6-2

若具有n+1个求积节点的机械求积公式的代数精度至少为2n+1，则称之为高斯求积公式，此时求积节点x0,…,xn称为高斯点。2022/11/1141第6章数值积分与数值微分6.5Gauss求积公式/*GaussianQuad例6-8

求积公式试确定节点及和系数，使其具有近可能高的代数精度.解令公式对于准确成立，得由此得由此得出与异号，即，从而有不是线性方程组，不易求解。2022/11/1142第6章数值积分与数值微分例6-8求积公式例6-8

求积公式试确定节点及和系数，使其具有近可能高的代数精度.解令公式对于准确成立，得于是可取.再由第(1)式得，于是有当时，两端分别为及，对不精确成立，故公式的代数精度为3.2022/11/1143第6章数值积分与数值微分例6-8求积公式6.5.2Gauss点的性质定义6-3

称仅以区间[-1,1]上的Gauss点xi(i=0,1,…,n)为零点且首项系数为1的n+1次多项式，即为Legendre(勒让德)多项式。当积分区间是[a,b]时，做变换

可将[a,b]化为[-1,1]，从而

2022/11/1144第6章数值积分与数值微分6.5.2Gauss点的性质定义6-3称仅以区间[-由有递推定理6-2Legendre多项式可唯一地表示为勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点.满足：正交多项式2022/11/1145第6章数值积分与数值微分由有递推定理6.5.3Gauss公式的构造由Lengendre多项式求得Gauss点后，构造以Gauss点为求积节点的插值型求积公式也叫Gauss-Lengendre（高斯-勒让德）求积公式.一点高斯-勒让德求积公式中矩形公式两点高斯-勒让德求积公式三点高斯-勒让德求积公式2022/11/1146第6章数值积分与数值微分6.5.3Gauss公式的构造由LengGauss公式的余项：Q：什么样的插值多项式在x0…xn

上有2n+1阶？A：Hermite多项式！满足2022/11/1147第6章数值积分与数值微分Gauss公式的余项：Q：什么样的插值多项式在x0例6-9分别利用1点、2点和3点Gauss-Legendre公式计算积分解做变量代换则两点高斯-勒让德求积公式三点高斯-勒让德求积公式记一点高斯-勒让德求积公式先将区间[0,1]化为[-1,1]，2022/11/1148第6章数值积分与数值微分例6-9分别利用1点、2点和3点Gauss-Legend6.6数值微分法为什么要作数值微分？对于用离散数据或者图形表示的函数，计算微分只有求助于数值方法。微分是重要的数学工具，是微分方程、概率论等的基础；在实际问题中有直接应用。2022/11/1149第6章数值积分与数值微分6.6数值微分法为什么要作数值微分？对于用离散数据或者图函数y=f(x)以离散值给出(如已知f(a),f(a+h),

f(a-h))T0xAy=f(x)BCa-haa+h计算在点x=a

处的导数向前差商向后差商最常用的中心差商公式其中h为一增量，称为步长.

2022/11/1150第6章数值积分与数值微分函数y=f(x)以离散值给出(如已知f(a),f(a+h)分别将在x处做泰勒展开有从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确，且

其中误差估计三个公式代入可知,向前(后)差商公式的误差为O(h),

中心差商误差为O(h2)2022/11/1151第6章数值积分与数值微分分别将在x处做泰勒展开有从截精确值h=0.1时结果最好h太小时

yk+1与yk-1很接近,二者相减引起很大的舍入误差因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的.2022/11/1152第6章数值积分与数值微分精确值h=0.1时结果最好h太小时yk+1与yk-1很接近例6-10

用中点公式求在处的一阶导数结果见P101表6-3(导数的准确值).从表6-3中看到的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差.它表明h越小，舍入误差越大.用中点公式计算的误差上界为要使误差最小，步长h不宜太大，也不宜太小.其最优步长应为2022/11/1153第6章数值积分与数值微分例6-10用中点公式求第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式6.2三个常用的求积公式及其误差6.3复化求积公式6.4Romberg求积公式6.5Gauss求积公式6.6数值微分法NumericalIntegrationAndNumerical

Derivation2022/11/1154第6章数值积分与数值微分第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式Numer为什么要进行数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞

有解析表达式；☞

f(x)的原函数F(x)为初等函数．数值积分近似计算2022/11/1155第6章数值积分与数值微分为什么要进行数值积分？数值积分近似计算2022/11/102☎

f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂.e.g.

但是在许多实际问题经常遇到下列情况：☎f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.☎

f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.

它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.52022/11/1156第6章数值积分与数值微分☎f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂.6.1插值型求积公式近似计算思路

利用插值多项式

则积分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多项式，即得到ωi由节点决定，与f(x)无关。插值型积分公式式中

xi称为求积节点；ωi称为求积系数.机械求积公式2022/11/1157第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式近似计算思路利用插值多项式当时，可得到6.1.2插值型求积公式的余项2022/11/1158第6章数值积分与数值微分当6.1.3求积公式的的代数精度定义6-1

若求积公式对于任意次数≤m次的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为m．对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，则求积公式是精确成立的．确定代数精度的方法一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm

都能准确成立，而对于xm+1不成立。2022/11/1159第6章数值积分与数值微分6.1.3求积公式的的代数精度定义6-1若求积公式对解逐次检查公式是否精确成立取

f(x)=1：=取f(x)=x：∴此求积公式的代数精度为0例6-1

,求其代数精度。

定理6-1对任给的n+1个互异的求积节点x0,x1,…,xn,一个机械求积公式的代数精度有n

次

该公式为插值型求积公式。插值型求积公式是代数精度最高的求积公式2022/11/1160第6章数值积分与数值微分解逐次检查公式是否精确成立取f(x)=1：=取解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.

94

34f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814例2

试构造形如

f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)

的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0求积公式有

A0,A1,A2三个未知数,令公式对

f(x)=1,x,x2

均准确成立,则有2022/11/1161第6章数值积分与数值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22

例3

给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.解当时，得当时，得令分别代入求积公式使它精确成立当时，得解得,于是得当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.解:2022/11/1162第6章数值积分与数值微分例3给定形如2022/11/1163第6章数值积分与数值微分2022/11/1010第6章数值积分与数值微分HW:P1036.1（2）

6.2（3）2022/11/1164第6章数值积分与数值微分HW:P1036.1（2）2022/11/1011第66.2三个常用的求积公式及其误差当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。Newton-Cotes公式这时求积公式Newton-Cotes公式2022/11/1165第6章数值积分与数值微分6.2三个常用的求积公式及其误差当节点等距分布时：令6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲边梯形的面积f(x)ab其中

梯形公式的代数精度为1；梯形公式的余项用梯形面积近似2022/11/1166第6章数值积分与数值微分6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲边梯形的面积f(x)用抛物形面积近似6.2.2Simpson（辛普森）公式将区间[a,b]二等分，取端点a，b和中点(a+b)/2为节点

Simpson公式的代数精度为3；

Simpson公式的余项2022/11/1167第6章数值积分与数值微分用抛物形面积近似6.2.2Simpson（辛普森）公式将6.2.3Cotes（柯特斯）公式取区间[a,b]的4等分点为节点

Cotes公式的代数精度为5；

Cotes公式的余项2022/11/1168第6章数值积分与数值微分6.2.3Cotes（柯特斯）公式取区间[a,b]的4等取区间[a,b]的3等分点为节点，Simpson’s3/8-公式的代数精度为3；Simpson’s3/8-公式的余项n阶Newton-Cotes

公式的代数精度至少为

n

次。n

为偶数阶的Newton-Cotes

公式至少有

n+1次代数精度。2022/11/1169第6章数值积分与数值微分取区间[a,b]的3等分点为节点，Simpson’s3/8例6-2分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分的近似值。解HW:P1036.32022/11/1170第6章数值积分与数值微分例6-2分别利用梯形公式、Simpson公式、Cote

中距形公式取x0=(a+b)/2,用0次插值多项式求积分得到中矩形求积公式

中矩形公式的代数精度为1；中矩形公式公式的余项(a+b)/2f(x)ab2022/11/1171第6章数值积分与数值微分中距形公式取x0=(a+b)/2,用0次插值多项式求积的牛顿-柯特斯公式是不用的.柯特斯系数表当时，柯特斯系数出现负值初始数据误差引起计算结果误差增大，即计算不稳定，2022/11/1172第6章数值积分与数值微分的牛顿-柯特斯公式是不用的.柯特斯系数柯特斯系数的性质

(2)系数有对称性。

(3)当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。

(1)取f(x)≡1，则f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是2022/11/1173第6章数值积分与数值微分柯特斯系数的性质(2)系数有对称性。(3)当n≥8时1.5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为3.

数值求积公式的代数精度为2.

要使求积公式具有2次代数精度则2022/11/1174第6章数值积分与数值微分1.5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为3.数值例用牛顿-柯特斯公式计算定积分

2022/11/1175第6章数值积分与数值微分例用牛顿-柯特斯公式计算定积分2022/11/1022Newton—Cotes求积方法的缺陷：

从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致（1）插值多项式出现Runge现象；（2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（n≥7）余项：对于给定的被积函数而言，积分区间缩短时，求积误差以更快的速度减小。2022/11/1176第6章数值积分与数值微分Newton—Cotes求积方法的缺陷：（1）插值多项式出现6.3复化求积公式复化求积的基本思想

把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，然后把他们加起来作为整个区间上的积分，目的是提高精度.2022/11/1177第6章数值积分与数值微分6.3复化求积公式复化求积的基本思想把积分区间6.3.1复化梯形公式

将区间[a,b]划分为n等分，分点i=0,1,…,n,在每个子区间[xi,xi+1](

i=0,1,…,n-1)上采用梯形公式复化梯形公式余项2022/11/1178第6章数值积分与数值微分6.3.1复化梯形公式将区间[a,b]划分为n等分，分点复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似2022/11/1179第6章数值积分与数值微分复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似20226.3.2复化Simpson公式

将区间[a,b]分为n等分，在每个子区间[xi,xi+1]上采用Simpson公式，若记，则得复化辛普森公式44444余项2022/11/1180第6章数值积分与数值微分6.3.2复化Simpson公式将区间[a,b]复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似2022/11/1181第6章数值积分与数值微分复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似2022/

将每个小区间[xi,xi+1]做4等分，分点分别记为，在区间[xi,xi+1]采用Cotes公式:6.3.3复化Cotes公式复化Cotes公式的截断误差复化Cotes公式2022/11/1182第6章数值积分与数值微分将每个小区间[xi,xi+1]做4等分，分点分别例6-4

将区间做4等分，然后用复化梯形公式及复化Simpson公式计算解复化梯形将积分区间[0,1]划分为4等分，则2位有效数字，6位有效数字,精度差别很大.复化Simpson14,h=HW:P1036.42022/11/1183第6章数值积分与数值微分例6-4将区间做4等分，然后用复化梯形公式及复化（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长h

；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；注意事项：步长h如何选取？2022/11/1184第6章数值积分与数值微分（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长h6.4龙贝格求积公式/*RombergIntegration*/

6.4.1变步长求积公式变步长复化求积公式的思想将积分区间逐次分半，建立递推公式计算，直到满足精度要求.变步长复化梯形公式逐次分半算法直到满足精度要求为止。2022/11/1185第6章数值积分与数值微分6.4龙贝格求积公式/*RombergIntegra设将区间[a,b]分为n等分，共有n+1个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，

每个区间[xi,xi+1]经过二分增加了一个分点用复化梯形公式求该子区间上的积分值2022/11/1186第6章数值积分与数值微分设将区间[a,b]分为n等分，共有n+1个分点，如变步长复化梯形公式实际计算时的递推公式直到为止，作为积分的近似值.2022/11/1187第6章数值积分与数值微分变步长复化梯形公式实际计算时的递推公式直到解例6-5

利用变步长复化梯形公式计算先对整个区间使用梯形公式，即h=1将区间二等分，h=1/2

，求出中点的函数值进一步二分求积区间，h=1/4

，并计算新分点上的函数值的近似值，精确到0.000001.记

这样不断二分下去，计算结果见表6-1.它表明用复化梯形公式计算积分I

要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量很大.HW:P1036.52022/11/1188第6章数值积分与数值微分解例6-5利用变步长复化梯形公式计算先对整个区6.4.2Romberg求积公式由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式收敛慢！2022/11/1189第6章数值积分与数值微分6.4.2Romberg求积公式由复化梯形公式的余项知变变步长复化辛普森公式利用复化梯形公式前后两次积分近似值Tn

和T2n，作出的线性组合，即为复化Simpson公式，具有更高的精度。2022/11/1190第6章数值积分与数值微分变步长复化辛普森公式利用复化梯形公式前后两一般有：Romberg序列Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T2022/11/1191第6章数值积分与数值微分一般有：Romberg序列Romberg<?<例6-6

用龙贝格算法计算积分解k01234533.13.13117643.14094163.13333333.14156873.14159253.14211773.14159423.14158583.14094163.14159273.14159273.14159273.14142993.14159273.14159273.1415927HW:P1046.62022/11/1192第6章数值积分与数值微分例6-6用龙贝格算法计算积分解k01234533.13.1前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复合求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n

。我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n

。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择n+1个节点x0,

x1,

x2,

…,

xn,

使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。2022/11/1193第6章数值积分与数值微分前面介绍的n+1个节点的Newton-6.5Gauss求积公式/*GaussianQuadrature*/

6.5.1Gauss公式的定义构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn

以及系数A0…An

都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。一般n+1节点的求积公式的代数精度最高为2n+1次.定义6-2

若具有n+1个求积节点的机械求积公式的代数精度至少为2n+1，则称之为高斯求积公式，此时求积节点x0,…,xn称为高斯点。2022/11/1194第6章数值积分与数值微分6.5Gauss求积公式/*GaussianQuad例6-8

求积公式试确定节点及和系数，使其具有近可能高的代数精度.解令公式对于准确成立，得由此得由此得出与异号，即，从而有不是线性方程组，不易求解。2022/11/1195第6章数值积分与数值微分例6-8求积公式例6-8

求积公式