FE Ch013变分原理与里兹法课件

§1.3变分原理与里兹法“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）ABXY设路径为y=y（x）所需时间ay称T为y（x）的泛函，y（x）为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。一.变分的一些基本概念§1.3变分原理与里兹法“最速落径问题”---质量为m的小1XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxdyx称为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。微分与变分运算次序可以交换。积分与变分运算次序也可以交换。XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxd2二.函数的定义和泛函的定义1.函数的定义：若对于自变量x域中的每一个值，y有一值与之对应，或数y对应于数x的关系成立。则称变量y是变量x的函数，即：y=y(x)。二.函数的定义和泛函的定义1.函数的定义：32.泛函的定义：若对于某一类函数{y(x)}中的每一函数y(x)，有一值与之对应，或数对应于函数y(x)的关系成立。则称变量是函数y(x)的泛函，即：

=(y(x))。2.泛函的定义：43.微分和变分微分:x的增量△x是指某两值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，则dx也是增量的一种，即当这种增量很小很小时，dx=△x。3.微分和变分5变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);这里：y(x)也是x的函数，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一类函数中是任意改变的）。变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y64.函数的微分和泛函的变分函数的微分:函数的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展开为线性项和非线性项△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x无关，(x,△x)则和△x有关，而且△x0时，(x,△x)0，称y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函数的导数，而且4.函数的微分和泛函的变分7函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导数，即得：当趋近于零时证明y(x+△x)在=0处对的导数就等于y(x）在x处的微分。这个定义与拉格朗日处理变分的定义是相似的。函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导数，8泛函的变分:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。

=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的变分，用表示。泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于y(x)来说是线性的。泛函的变分:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。9泛函的变分:泛函变分是[y(x)+y(x)]对的导数在=0时的值，且拉格朗日的泛函变分定义为：泛函的变分:泛函变分是[y(x)+y(x)]对105.极大极小问题如果函数y(x)在x=x0的附近的任意点上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)时，在x=x0上达到极大(极小)，在x=x0上，有:

5.极大极小问题11泛函极大极小泛函[y(x)]也有相类似的定义。如果泛函[y(x)]在任何一条与y=y0(x)

接近的曲线上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：

=[y(x)]-[y0(x)]

0(或0)时，则称泛函[y(x)]在曲线y=y0(x)上达到极大值(或极小值)，而且在y=y0(x)上有:泛函极大极小12说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大

(或极小)值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲线的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大(或13FECh013变分原理与里兹法课件14强变分和强极大如果对于与y=y0(x)的接近度为零阶的一切曲线而言，即对于y(x)-y0(x)非常小，但对于y’(x)-y’0(x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就把这类变分叫强变分。这样达到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小)，或强变分的极大(或极小).强变分和强极大15弱变分和弱极大如果只对于与y=y0(x)有一阶接近度的曲线y=y(x)而言，或者只对于那些不仅在纵坐标间而且切线方向间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就称这种变分为弱变分。这样达到的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小)，或弱变分的极大(或极小).弱变分和弱极大166.变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理

如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:6.变分法的基本预备定理17则在线段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般条件为：(1)一阶或若干阶可微分；(2)在线段(x1,x2)的端点处为0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。变分法的基本预备定理：如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:则在线段上(x1,x2)，有:F(x)=0变分法的18（1）从物理问题上建立泛函及其条件；（2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程；（3）求解欧拉方程，这是微分方程求解问题。从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几个主要步骤：（1）从物理问题上建立泛函及其条件；（2）通过泛函变分，利用19由于ai的任意性，所以而对于等效积分的“弱”形式由于ai的任意性，所以而对于等效积分的“弱”形式20如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。1.线性、自伴随微分算子二、里兹法和伽辽金法如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：不仅可以建立它的21微分方程in为微分算子若具有性质：则称为线性微分算子。线性、自伴随微分方程的定义：微分方程in为微分算子若具有性质：则称为线性微分算子。22对上式分部积分，直至u的导数消失，得：边界项若内积后，求积；任意函数为的伴随算子。称若则称算子是自伴随。对上式分部积分，直至u的导数消失，得：边界项若内积后，求积232.泛函的构造Galerkin（伽辽金）格式因为算子是线性、自伴随的，所以：2.泛函的构造Galerkin（伽辽金）格式因为算子是线性24FECh013变分原理与里兹法课件25整理得到：微分方程的等效积分形式：整理得到：微分方程的等效积分形式：26某些问题的物理本质往往能够以变分原理的形式直接叙述出来。例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。3.自然变分原理某些问题的物理本质往往能够以变分原理的例如，弹性力学中的最小27对这类问题：是未知场函数，为特定算子。包含及的1至m阶导数。连续介质问题的解：使泛函取极值（或驻值）。存在泛函是一个标量即：(这种泛函我们称为单变量泛函，当然可以有多变量)对这类问题：是未知场函数，为特定算子。包含及28体系总位能应变能外力势能例：最小位能原理体系总位能应变能外力势能例：最小位能原理29其中：近似解：其中：近似解：30其中：待定参数向量（未知）试探函数矩阵（事先选定）对三维问题：其中：待定参数向量（未知）试探函数矩阵（事先选定）对三维问题31泛函：变分：相互独立，所以，或泛函：变分：相互独立，所以，或32由： 得到矩阵形式其中共有3n

个方程，若为完备的函数系列则，时，收敛于精确解，若n为有限项，则为近似解。上述方法为Ritz法由： 得到矩阵形式332）将代入Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法1.求解步骤：1）假设近似解：为待定参数，满足强制边界条件。泛函的极值问题（求函数u），转化为求多元（）函数的极值问题。2）将代入Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法343）求解线性代数方程组u的近似解3）求解线性代数方程组u的近似解352.解的收敛性1）连续性要求满足阶连续性2）完备性要求取自完备的函数序列2.解的收敛性1）连续性要求满足阶连续性363.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的精度与试探函数的选择有密切关系。3)待定系数任意，不表示特定的物理意义。4)如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。3.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边374.讨论：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随微分方程。2）收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。3）事先满足强制边界条件，则解有明确的上下界性质。如不事先满足，需要进行处理（约束变分原理）。4.讨论：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性38但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，1.修正（约束）变分原理建立了自然变分原理后，问题的解为泛函取驻值。约束条件我们把这些变分原理称之为“具有附加条件的变分原理”。但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，1.修正（约束39可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把问题转化为求修正泛函的驻值问题。常用方法：Lagrange乘子法，罚函数法。可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把40原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的无约束变分，代价是修正泛函增加了附加未知函数。2.Lagrange乘子法(乘子法)修正泛函*：原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的2.Lagra41单变量泛函双变量修正泛函.近似解：，线性修正泛函的变分：单变量泛函双变量修正泛函.近似解：42其中：可得：其中：可得：43即的系数阵为0。所以方程中不含项，对线性问题，得线性方程组；因为：整理得到即的系数阵为0。所以方44讨论（放松约束条件的代价）：1）很明显方程的阶数增加了。2）方程的系数矩阵主元（对角元素）出现零元素，对求解方程增加了困难。（不能用一般的消元法）3）一般的物理问题中得到的自然变分问题是一极值问题。而对修正的泛函，由于附加项的积分性质不清，一般为驻值问题。（不再有极值性质）4）利用乘子法，弹性力学各种变分原理的转换。讨论（放松约束条件的代价）：453.罚函数法修正泛函其中称为罚数正定的，对为极小值问题，取正数；值越大，约束条件满足的越好。(近似性越好)这种方法好处很明显，不增加任何未知函数。(是事先给定的)3.罚函数法修正泛函其中称为罚数正定的，对为极小值问题，46例：极值问题（函数极值问题）约束条件，所以：解方程，得：例：极值问题（函数极值问题）约束条件，所以：解方程，得：47上述方程可写为矩阵形式分析方程：来自原来的泛函，

来自约束条件。上述方程可写为矩阵形式分析方程：来自原来的泛函，来自约束条48而，必须是奇异，才有非零解。讨论：1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数2）为奇异阵相对可以忽略。而，必须是奇异，才有非零解。讨论：1）此方法49从实例中可见，为奇异的。实例计算中需证明的奇异性。从实例中可见，为奇异的。503）的取值问题 太小，约束条件满足较差。 太大，系数矩阵接近奇异，方程组病态。取值要合适。原则上要使的取值引起的不满足约束条件的误差。与前一项计算中的误差为同一量级为最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移边界条件。3）的取值问题51小结有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理

本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Galerkin法的特点。小结本章重点和应掌握的内容52线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性53两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法54等效积分形式等效积分“弱”形式泛函和变分原理强制边界条件关键概念加权余量法Galerkin方法线性自伴随算子自然边界条件泛函的驻值和极值Ritz方法虚位移原理虚应力原理最小位能原理最小余能原理等效积分形式等效积分“弱”形式泛函和变分原理551.已知一个数学微分方程,如何建立它的等效积分形式?如何证明二者是等效的?复习题3.不同形式的加权余量法之间的区别何在?除书中已列举的几种方法外,你还能提出其它形式的加权余量法吗?如能,分析新方法有什么特点.2.等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在?为什么后者在数值分析中得到更多的应用?1.已知一个数学微分方程,如何建立它的等效积分形式?复习题3564.什么是加权余量法的Galerkin方法,它有什么特点5.如何识别一个微分算子是线性自伴随的?识别它的意义何在?6.如何建立与自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理?如何证明它的加权余量的Galerkin方法之间的等效性?4.什么是加权余量法的Galerkin方法,它有什么特点5.577.自然边界条件和强制边界条件的区别何在?为什么这样命名?对于一个给定的微分方程,如何区分这两类边界条件?8.泛函在什么条件下具有极值性?了解泛函是否具有极值性的意义何在?9.什么是Ritz方法?通过它建立的求解方法有什么特点?Ritz方法收敛性的定义是什么?收敛条件是什么?7.自然边界条件和强制边界条件的区别何在?8.泛函在什么条件5810.Ritz方法的优缺点是什么?你能举例加以说明吗?11.虚功原理有哪两种不同形式?各和弹性力学什么方程相等效?你能准确地表述它们吗?12.什么是最小位能原理,它是如何导出的?场函数是什么?它事先应满足什么条件?对场函数的试探函数有什么要求?10.Ritz方法的优缺点是什么?你能举例加以说明吗?115913.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程,解的收敛性和极值性的条件是什么?14.什么是最小余能原理?它是如何导出的?场函数是什么?它事先应满足什么条件?对场函数的试探函数有什么要求?13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程,14.什么是6015.如何利用最小余能原理,建立数值解的求解方程?方程有何特点?解的收敛性和极值性的条件是什么?16.为什么最小位能原理的近似解的应变能取下界,即解总体偏于“刚硬”?而最小余能原理的近似解的应变能取上界,即解总体偏于“柔软”?你能从力学意义上作进一步解释吗?15.如何利用最小余能原理,建立数值解的求解方程?16.为什61§1.3变分原理与里兹法“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）ABXY设路径为y=y（x）所需时间ay称T为y（x）的泛函，y（x）为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。一.变分的一些基本概念§1.3变分原理与里兹法“最速落径问题”---质量为m的小62XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxdyx称为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。微分与变分运算次序可以交换。积分与变分运算次序也可以交换。XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxd63二.函数的定义和泛函的定义1.函数的定义：若对于自变量x域中的每一个值，y有一值与之对应，或数y对应于数x的关系成立。则称变量y是变量x的函数，即：y=y(x)。二.函数的定义和泛函的定义1.函数的定义：642.泛函的定义：若对于某一类函数{y(x)}中的每一函数y(x)，有一值与之对应，或数对应于函数y(x)的关系成立。则称变量是函数y(x)的泛函，即：

=(y(x))。2.泛函的定义：653.微分和变分微分:x的增量△x是指某两值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，则dx也是增量的一种，即当这种增量很小很小时，dx=△x。3.微分和变分66变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);这里：y(x)也是x的函数，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一类函数中是任意改变的）。变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y674.函数的微分和泛函的变分函数的微分:函数的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展开为线性项和非线性项△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x无关，(x,△x)则和△x有关，而且△x0时，(x,△x)0，称y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函数的导数，而且4.函数的微分和泛函的变分68函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导数，即得：当趋近于零时证明y(x+△x)在=0处对的导数就等于y(x）在x处的微分。这个定义与拉格朗日处理变分的定义是相似的。函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导数，69泛函的变分:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。

=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的变分，用表示。泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于y(x)来说是线性的。泛函的变分:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。70泛函的变分:泛函变分是[y(x)+y(x)]对的导数在=0时的值，且拉格朗日的泛函变分定义为：泛函的变分:泛函变分是[y(x)+y(x)]对715.极大极小问题如果函数y(x)在x=x0的附近的任意点上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)时，在x=x0上达到极大(极小)，在x=x0上，有:

5.极大极小问题72泛函极大极小泛函[y(x)]也有相类似的定义。如果泛函[y(x)]在任何一条与y=y0(x)

接近的曲线上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：

=[y(x)]-[y0(x)]

0(或0)时，则称泛函[y(x)]在曲线y=y0(x)上达到极大值(或极小值)，而且在y=y0(x)上有:泛函极大极小73说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大

(或极小)值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲线的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大(或74FECh013变分原理与里兹法课件75强变分和强极大如果对于与y=y0(x)的接近度为零阶的一切曲线而言，即对于y(x)-y0(x)非常小，但对于y’(x)-y’0(x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就把这类变分叫强变分。这样达到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小)，或强变分的极大(或极小).强变分和强极大76弱变分和弱极大如果只对于与y=y0(x)有一阶接近度的曲线y=y(x)而言，或者只对于那些不仅在纵坐标间而且切线方向间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就称这种变分为弱变分。这样达到的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小)，或弱变分的极大(或极小).弱变分和弱极大776.变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理

如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:6.变分法的基本预备定理78则在线段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般条件为：(1)一阶或若干阶可微分；(2)在线段(x1,x2)的端点处为0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。变分法的基本预备定理：如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:则在线段上(x1,x2)，有:F(x)=0变分法的79（1）从物理问题上建立泛函及其条件；（2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程；（3）求解欧拉方程，这是微分方程求解问题。从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几个主要步骤：（1）从物理问题上建立泛函及其条件；（2）通过泛函变分，利用80由于ai的任意性，所以而对于等效积分的“弱”形式由于ai的任意性，所以而对于等效积分的“弱”形式81如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。1.线性、自伴随微分算子二、里兹法和伽辽金法如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：不仅可以建立它的82微分方程in为微分算子若具有性质：则称为线性微分算子。线性、自伴随微分方程的定义：微分方程in为微分算子若具有性质：则称为线性微分算子。83对上式分部积分，直至u的导数消失，得：边界项若内积后，求积；任意函数为的伴随算子。称若则称算子是自伴随。对上式分部积分，直至u的导数消失，得：边界项若内积后，求积842.泛函的构造Galerkin（伽辽金）格式因为算子是线性、自伴随的，所以：2.泛函的构造Galerkin（伽辽金）格式因为算子是线性85FECh013变分原理与里兹法课件86整理得到：微分方程的等效积分形式：整理得到：微分方程的等效积分形式：87某些问题的物理本质往往能够以变分原理的形式直接叙述出来。例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。3.自然变分原理某些问题的物理本质往往能够以变分原理的例如，弹性力学中的最小88对这类问题：是未知场函数，为特定算子。包含及的1至m阶导数。连续介质问题的解：使泛函取极值（或驻值）。存在泛函是一个标量即：(这种泛函我们称为单变量泛函，当然可以有多变量)对这类问题：是未知场函数，为特定算子。包含及89体系总位能应变能外力势能例：最小位能原理体系总位能应变能外力势能例：最小位能原理90其中：近似解：其中：近似解：91其中：待定参数向量（未知）试探函数矩阵（事先选定）对三维问题：其中：待定参数向量（未知）试探函数矩阵（事先选定）对三维问题92泛函：变分：相互独立，所以，或泛函：变分：相互独立，所以，或93由： 得到矩阵形式其中共有3n

个方程，若为完备的函数系列则，时，收敛于精确解，若n为有限项，则为近似解。上述方法为Ritz法由： 得到矩阵形式942）将代入Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法1.求解步骤：1）假设近似解：为待定参数，满足强制边界条件。泛函的极值问题（求函数u），转化为求多元（）函数的极值问题。2）将代入Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法953）求解线性代数方程组u的近似解3）求解线性代数方程组u的近似解962.解的收敛性1）连续性要求满足阶连续性2）完备性要求取自完备的函数序列2.解的收敛性1）连续性要求满足阶连续性973.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的精度与试探函数的选择有密切关系。3)待定系数任意，不表示特定的物理意义。4)如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。3.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边984.讨论：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随微分方程。2）收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。3）事先满足强制边界条件，则解有明确的上下界性质。如不事先满足，需要进行处理（约束变分原理）。4.讨论：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性99但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，1.修正（约束）变分原理建立了自然变分原理后，问题的解为泛函取驻值。约束条件我们把这些变分原理称之为“具有附加条件的变分原理”。但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，1.修正（约束100可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把问题转化为求修正泛函的驻值问题。常用方法：Lagrange乘子法，罚函数法。可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把101原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的无约束变分，代价是修正泛函增加了附加未知函数。2.Lagrange乘子法(乘子法)修正泛函*：原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的2.Lagra102单变量泛函双变量修正泛函.近似解：，线性修正泛函的变分：单变量泛函双变量修正泛函.近似解：103其中：可得：其中：可得：104即的系数阵为0。所以方程中不含项，对线性问题，得线性方程组；因为：整理得到即的系数阵为0。所以方105讨论（放松约束条件的代价）：1）很明显方程的阶数增加了。2）方程的系数矩阵主元（对角元素）出现零元素，对求解方程增加了困难。（不能用一般的消元法）3）一般的物理问题中得到的自然变分问题是一极值问题。而对修正的泛函，由于附加项的积分性质不清，一般为驻值问题。（不再有极值性质）4）利用乘子法，弹性力学各种变分原理的转换。讨论（放松约束条件的代价）：1063.罚函数法修正泛函其中称为罚数正定的，对为极小值问题，取正数；值越大，约束条件满足的越好。(近似性越好)这种方法好处很明显，不增加任何未知函数。(是事先给定的)3.罚函数法修正泛函其中称为罚数正定的，对为极小值问题，107例：极值问题（函数极值问题）约束条件，所以：解方程，得：例：极值问题（函数极值问题）约束条件，所以：解方程，得：108上述方程可写为矩阵形式分析方程：来自原来的泛函，

来自约束条件。上述方程可写为矩阵形式分析方程：来自原来的泛函，来自约束条109而，必须是奇异，才有非零解。讨论：1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数2）为奇异阵相对可以忽略。而，必须是奇异，才有非零解。讨论：1）此方法110从实例中可见，为奇异的。实例计算中需证明的奇异性。从实例中可见，为奇异的。1113）的取值问题 太小，约束条件满足较差。 太大，系数矩阵接近奇异，方程组病态。取值要合适。原则上要使的取值引起的不满足约束条件的误差。与前一项计算中的误差为同一量级为最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移边界条件。3）的取值问题112小结有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理

本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。不同形式加权余量法