专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件

专题七辅助线作法专题七辅助线作法1证明：如图，连接AC.在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠B=∠D.一、构造全等证明：如图，连接AC.一、构造全等2证明：如图，连接BC.∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.∴AB＝DC.证明：如图，连接BC.3在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（AAS）.∴OA＝OD.在△ABO和△DCO中，4证明：如图，过D作DG∥AC交BC于点G.∵DG∥AC，∴∠GDE＝∠CFE，∠DGE＝∠FCE．在△DGE和△FCE中，∴△DGE≌△FCE（AAS）．∴DG＝FC.证明：如图，过D作DG∥AC交BC于点G.5∵BD＝CF，∴DG＝BD.∴∠DGB＝∠B.∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC.∵BD＝CF，6解：如图，延长CE，BA相交于点F．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°∴∠EBF＝∠ACF．即∠DBA=∠FCA.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）.∴BD＝CF.解：如图，延长CE，BA相交于点F．7专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件8证明：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F.∵BE⊥AD，DA=DB，∴∠AFB＝∠BEA，∠DAB=∠ABD，即∠EAB=∠FBA.在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS）.∴BF＝AE.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝BC.∴BC＝2AE．证明：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F.9解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC.∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADB与△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS）.∴CE=AB.∵AB=5，AC=3，∴CE=5.∴2<AE<8.∴1<AD<4.二、倍长中线构造全等解：如图，延长AD至点E，二、倍长中线构造全等10证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线，∴DC=DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS）.∴∠CAD=∠G，BG=AC.∵BE=AC，∴BE=BG.∴∠BED=∠G.∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∠AEF=∠FAE.∴AF=EF.证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．11证明：如图，延长FE到点G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC.∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．故AE平分∠BAC.证明：如图，延长FE到点G，使EG=EF，连接CG．12证明：如图，在AB上取一点E使AE=AC，连接DE.在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DE=DC，∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，∴∠B=∠EDB.∴BE=DE．又∵DE=DC，∴BE=DC.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+DC.三、截长补短法构造全等证明：如图，在AB上取一点E使AE=AC，连接DE.三、13证明：如图，在线段AB上取点F使AF=AD，连接EF.在△ADE与△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴∠D=∠AFE.证明：如图，在线段AB上取点F使AF=AD，连接EF.14由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=180°.∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE.在△CBE与△FBE中，∴△CBE≌△FBE（AAS）.∴BF=BC.∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC.由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=115证明：如图，连接BE.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°-∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE，∴AE＝2CE．四、构造30°的直角三角形证明：如图，连接BE.四、构造30°的直角三角形16证明：如图，连接AP.∵AB＝AC，P为BC边的中点，∴AP⊥BC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝■（180°-∠BAC）＝■（180°-120°）＝30°.∵PD⊥AC，∴∠CPD+∠C＝90°.∵∠APD+∠CPD＝90°，∴∠APD＝∠C＝30°.∴AP＝2AD，AC＝2AP.即AC＝4AD.∴CD＝AC-AD＝4AD-AD＝3AD，即CD＝3AD.证明：如图，连接AP.17专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件18专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件19证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°-30°＝90°.∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.∵BE＝AE，∴CE＝2BE．证明：如图，连接AE.20解：如图，延长CD，BA交于点E.∵∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，∴∠E=60°，∠DAB=120°.∴∠EDA=60°，∠EAD=60°.∴△ADE是等边三角形.设AD＝AE＝DE＝x.在Rt△BCE中，∠C=30°，∴BE=2CE.即8＋x＝2（x＋2）.解得x＝4.∴AD＝4.解：如图，延长CD，BA交于点E.21证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.∵DC//AB，∠DAB=30°，∴∠DCA=∠BAC，∠CDE=30°.在Rt△CDE中，∠CDE=30°，∴CD=2CE.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA.∴AD=CD.∴AD=2CE.∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，∴BC=CE.∴AD=2BC.证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.22证明：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵BM＝CN，∴HM＝HN.又AH⊥BC，∴AM＝AN.∴△AMN是等腰三角形．五、利用“三线合一”作辅助线证明：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H．五、利用“三线23证明：如图，连接AD.∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE=DF．证明：如图，连接AD.24专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件25专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件26证明：如图，连接BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED.即△BDE为等腰三角形.∵DM⊥BC，∴点M是BE的中点．证明：如图，连接BD.27证明：如图，作BC边上的高AD，D为垂足.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE，∴∠CAD=∠E，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.证明：如图，作BC边上的高AD，D为垂足.28证明：如图，连接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABD-∠ABC，∠CDB＝∠ADB-∠ADC.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.六、构造等腰三角形证明：如图，连接BD.六、构造等腰三角形29证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于点G.∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠F.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EGB=∠B.∴BE=GE.证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于点G.30∵BE=CF，∴GE=CF.在△EDG和△FDC中，∴△EDG≌△FDC（AAS）.∴DE=DF.∵BE=CF，31证明：如图，延长CB至E，使BE=BA，连接AE.∵BE=BA，∴∠BAE=∠E.∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E，∴∠C=∠E.∴AC=AE.证明：如图，延长CB至E，32∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA.∴EA=ED.∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE，∴AC=AB+BD.∵AD平分∠BAC，33证明：如图，延长BA到点E，使AE=AD，连接DE.∵∠BAD=120°，∴∠DAE=180°-120°=60°.又AE=AD，∴△DAE是等边三角形.∴DE=AD，∠E=60°.∵BE=AB+AE，AC=AB+AD，AE=AD，∴BE=AC.七、构造等边三角形证明：如图，延长BA到点E，使AE=AD，连接DE.七、构34在△BDE和△CDA中，∴△BDE≌△CDA（SSS）.∴∠CAD=∠E=60°.∵∠BAD=120°，∴∠BAC=∠CAD=60°.∴AC平分∠BAD.在△BDE和△CDA中，35专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件36（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE＝BE.∴∠BCE＝30°.∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED，∴∠BED＝30°.∴∠D＝∠BED.∴BD＝BE．∴DB=AE.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，37解：AE＝DB；理由如下.如图，过点E作EF∥BC交AC于点F．则∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB.解：AE＝DB；理由如下.38∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°.∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF．∵△ABC是等边三角形，39在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS）.∴DB＝EF.又EF=AE，∴AE＝BD.在△DEB和△ECF中，40谢谢！谢谢！41专题七辅助线作法专题七辅助线作法42证明：如图，连接AC.在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠B=∠D.一、构造全等证明：如图，连接AC.一、构造全等43证明：如图，连接BC.∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.∴AB＝DC.证明：如图，连接BC.44在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（AAS）.∴OA＝OD.在△ABO和△DCO中，45证明：如图，过D作DG∥AC交BC于点G.∵DG∥AC，∴∠GDE＝∠CFE，∠DGE＝∠FCE．在△DGE和△FCE中，∴△DGE≌△FCE（AAS）．∴DG＝FC.证明：如图，过D作DG∥AC交BC于点G.46∵BD＝CF，∴DG＝BD.∴∠DGB＝∠B.∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC.∵BD＝CF，47解：如图，延长CE，BA相交于点F．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°∴∠EBF＝∠ACF．即∠DBA=∠FCA.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）.∴BD＝CF.解：如图，延长CE，BA相交于点F．48专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件49证明：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F.∵BE⊥AD，DA=DB，∴∠AFB＝∠BEA，∠DAB=∠ABD，即∠EAB=∠FBA.在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS）.∴BF＝AE.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝BC.∴BC＝2AE．证明：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F.50解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC.∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADB与△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS）.∴CE=AB.∵AB=5，AC=3，∴CE=5.∴2<AE<8.∴1<AD<4.二、倍长中线构造全等解：如图，延长AD至点E，二、倍长中线构造全等51证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线，∴DC=DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS）.∴∠CAD=∠G，BG=AC.∵BE=AC，∴BE=BG.∴∠BED=∠G.∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∠AEF=∠FAE.∴AF=EF.证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．52证明：如图，延长FE到点G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC.∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．故AE平分∠BAC.证明：如图，延长FE到点G，使EG=EF，连接CG．53证明：如图，在AB上取一点E使AE=AC，连接DE.在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DE=DC，∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，∴∠B=∠EDB.∴BE=DE．又∵DE=DC，∴BE=DC.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+DC.三、截长补短法构造全等证明：如图，在AB上取一点E使AE=AC，连接DE.三、54证明：如图，在线段AB上取点F使AF=AD，连接EF.在△ADE与△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴∠D=∠AFE.证明：如图，在线段AB上取点F使AF=AD，连接EF.55由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=180°.∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE.在△CBE与△FBE中，∴△CBE≌△FBE（AAS）.∴BF=BC.∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC.由AD∥BC，得∠C+∠D=180°.∴∠AFE+∠C=156证明：如图，连接BE.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°-∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE，∴AE＝2CE．四、构造30°的直角三角形证明：如图，连接BE.四、构造30°的直角三角形57证明：如图，连接AP.∵AB＝AC，P为BC边的中点，∴AP⊥BC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝■（180°-∠BAC）＝■（180°-120°）＝30°.∵PD⊥AC，∴∠CPD+∠C＝90°.∵∠APD+∠CPD＝90°，∴∠APD＝∠C＝30°.∴AP＝2AD，AC＝2AP.即AC＝4AD.∴CD＝AC-AD＝4AD-AD＝3AD，即CD＝3AD.证明：如图，连接AP.58专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件59专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件60证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°-30°＝90°.∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.∵BE＝AE，∴CE＝2BE．证明：如图，连接AE.61解：如图，延长CD，BA交于点E.∵∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，∴∠E=60°，∠DAB=120°.∴∠EDA=60°，∠EAD=60°.∴△ADE是等边三角形.设AD＝AE＝DE＝x.在Rt△BCE中，∠C=30°，∴BE=2CE.即8＋x＝2（x＋2）.解得x＝4.∴AD＝4.解：如图，延长CD，BA交于点E.62证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.∵DC//AB，∠DAB=30°，∴∠DCA=∠BAC，∠CDE=30°.在Rt△CDE中，∠CDE=30°，∴CD=2CE.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA.∴AD=CD.∴AD=2CE.∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，∴BC=CE.∴AD=2BC.证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.63证明：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵BM＝CN，∴HM＝HN.又AH⊥BC，∴AM＝AN.∴△AMN是等腰三角形．五、利用“三线合一”作辅助线证明：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H．五、利用“三线64证明：如图，连接AD.∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE=DF．证明：如图，连接AD.65专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件66专题七辅助线作法人教版八年级数学上册课件67证明：如图，连接BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED.即△BDE为等腰三角形.∵DM⊥BC，∴点M是BE的中点．证明：如图，连接BD.68证明：如图，作BC边上的高AD，D为垂足.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE，∴∠CAD=∠E，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.证明：如图，作BC边上的高AD，D为垂足.69证明：如图，连接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠ABD-∠ABC，∠CDB＝∠ADB-∠ADC.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.六、构造等腰三角形证明：如图，连接BD.六、构造等腰三角形70证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于点G.∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠F.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EGB=∠B.∴BE=GE.证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于点G.71∵BE=CF，∴GE=CF.在△EDG和△FDC中，∴△EDG≌△FDC（AAS）.∴DE=DF.∵BE=CF，72证明：如图，延长CB至E，使BE=BA，连接AE.∵BE=BA，∴∠BAE=∠E.∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E，∴∠C=∠E.∴