向量函数极限市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

Ch1向量函数§1向量函数§2曲线概念§3空间曲线§1向量函数一．E3中实变向量函数二．向量函数极限、连续和微积分介绍三．惯用几何条件解析判定式

给出一点集G,假如对于每一个点x，有一个确定向量和它对应，则在G上给定了一个向量函数，记作

一、向量函数概念注：一元向量函数二元向量函数几何意义？

设r（t）是所给一元向量函数，a是常向量（即长度与方向都固定向量），假如对任意给定>0,都存在数>o,使得当时

成立，则我们说，当时，向量函数趋于极限。记作1向量函数极限看图二．向量函数极限、连续和微积分介绍命题1若和是两个一元向量函数，是一个实函数，而且当时这些函数值趋即向极限则有（1）两个向量函数之和（差）极限等于极限之和（差）：（2）乘积（数量乘向量极限等于极限乘积）：（3）数量积极限等于极限数量积（4）向量积极限等于极限向量积命题1证实命题1证实标准上和数学分析中关于实函数所对应命题证实没有什么分别。(1)当时由已知条件

有即（2）作出向量差由此得出当时由已知条件

及是常数有即（3）作出数量差由此得出因为任何两个向量p、q数量积所以所以，假如趋于零（即），而趋于确定极限（此时有），那么不等式右边趋向零。此时有因而当时由已知条件

知不等式（1.2）右边第一项有同理于是得到即（4）作出向量差由此得出把这个结论应用到不等式（1.3）右边，便有当因为两个向量和向量积模所以。所以，假如，而趋于确定极限，则时，由已知条件可得到即2向量函数连续性给出一元向量函数r(t)，当时，若向量函数，则称向量函数r(t)在点连续。

假如r(t)在区间每一点都连续，则称r(t)在区间上是连续。利用命题1结果，我们能够得到：利用极限定义，可把向量函数r(t)在连续表示为命题2假如和是在点连续向量函数，而是在点连续实函数，则向量函数，，和实函数也都在点连续（把命题中点改为区间时，命题也成立）。3向量函数微商

设r(t)是定义在区间上一个向量函数。设，假如极限存在，则称在点是可微分，这个极限称为在点微商(或导矢)，用或表示，即

假如在某个开区间每一点都有微商存在，则我们说在此区间内是可微或简称向量函数

是可微，它微商记为。命题3设分别是可微向量函数，是可微实函数，则都是可微，而且这些公式证实和数学分析中实函数对应公式证实相同,不过应该注意是向量向量积和混合积跟向量次序相关,不能把次序任意交换。作为例子，我们证实后面三个结果。由上面结果能够得到向量函数微商仍为一个向量函数,假如函数也是连续和可微,则微商称为二阶微商。类似地能够定义三阶、四阶等等微商。在区间上有直到k阶连续微商函数称为这区间上k次可微函数或类函数，连续函数也称为类函数，无限可微函数记为类函数。解析函数记为类函数。所以每一个向量函数与三个有序实函数组{x(t),y(t),z(t)}一一对应。命题4假如向量函数在上是类函数，则向量函数所对应三个实函数在上是类函数。4向量函数泰勒（Taylor)公式英国数学家，18世纪早期英国牛顿学派最优异代表人物之一；限差分理论奠基人。

最主要著作是《正和反增量方法》(1715)

定理注：1、当时，我们就能够把他展成泰勒级数即：2、假如，则上述泰勒级数时收敛。5向量函数积分向量函数积分定义和实函数情形相同，即：命题5

假如向量函数是区间[a,b]上连续函数，则积分：存在，而且a<b<c时有m是常数时有假如m是常向量，则有6等价分量行为f

连续f各个分量f1,f2,f3连续；f

可导f各个分量f1,f2,f3可导；f

可微f各个分量f1,f2,f3可微；f

可积f各个分量f1,f2,f3可积；fCkf各个分量f1,f2,f3Ck

,k=0,1,2,…,,；且f求各种极限、导数（或称微商或导向量）、微分、高阶导数、偏导数、定积分、不定积分等等运算结果，即为由各个分量作对应运算所求得结果而组成向量或向量函数．约定：今后不申明时总考虑fC3．例1

r

r(t)(cost,sint,0)，则例2

r

r(u,v)(cosu,sinu,v)，则

三．惯用几何条件解析判定式以一元向量函数为例，对于其终点三种特殊几何分布（想想是什么）列示出以下结果而且加以证实．定理设r(t)在开区间(a,b)内足够阶连续可微，则有充要条件以下：①r(t)const.r(t)•r

(t)0；②设r(t)处处非零,则r(t)∥e

const.

0r(t)r

(t)0

；③设r(t)r

(t)处处非零，则r(t)垂直于一个固定方向(r(t),r

(t),r

(t))0

．三．惯用几何条件解析判定式注记1除了上述较为“直观”证法之外，上述充要条件②有更“初等