2025年厦门大学强基计划招生考试数学试题真题(含答案)

2025年厦门大学强基计划招生考试数学试题练习题(含答案)一、选择题（每题5分，共30分）1.设集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值组成的集合是（）A.\(\{0,1,2\}\)B.\(\{1,2\}\)C.\(\{0,1\}\)D.\(\{0,2\}\)2.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的对称轴方程可能是（）A.\(x=-\frac{\pi}{6}\)B.\(x=-\frac{\pi}{12}\)C.\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(x=\frac{\pi}{12}\)3.已知复数\(z=\frac{2+i}{1-i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\sqrt{3}x\)，且与椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\)有公共焦点，则双曲线的方程为（）A.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)B.\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1\)C.\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1\)D.\(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1\)5.从5名男生和3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，其中女生甲不担任英语课代表，则不同的选法种数为（）A.\(A_{7}^4+C_{7}^4A_{4}^1A_{4}^4\)B.\(C_{7}^4A_{5}^5+C_{7}^3C_{1}^1A_{4}^1A_{4}^4\)C.\(C_{8}^5A_{5}^5-C_{7}^4A_{4}^4\)D.\(C_{7}^4A_{5}^5+C_{7}^4A_{4}^1A_{4}^4\)6.已知函数\(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)，若\(f(a)+f(a-2)>0\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-\infty,2)\)二、填空题（每题5分，共20分）7.若\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中\(\frac{1}{x^2}\)的系数为______。8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}\)，则实数\(x\)的值为______。9.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1(n\inN^)\)，则数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=\)______。10.已知函数\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则\(x<0\)时，\(f(x)\)的表达式为______。三、解答题（共50分）11.（12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(b\cosC+c\cosB=2b\)。（1）求证：\(a=2b\)；（2）若\(A=\frac{\pi}{3}\)，求角\(B\)的大小。12.（12分）已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,a+2]\)上的最小值为\(-3\)，求\(a\)的值。13.（13分）已知抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线\(l\)与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，若线段\(AB\)的中点的纵坐标为\(2\)。（1）求抛物线的方程；（2）求线段\(AB\)的长度。14.（13分）设函数\(f(x)=\frac{1}{2}x^2-m\lnx\)，\(g(x)=x^2-(m+1)x\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）当\(m\geq0\)时，讨论函数\(f(x)\)与\(g(x)\)图象的交点个数。答案一、选择题1.首先解方程\(x^2-3x+2=0\)，即\((x-1)(x-2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax-2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。所以实数\(a\)的值组成的集合是\(\{0,1,2\}\)，答案选A。2.对于函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，则\(2x=k\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{6}\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)。当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{12}\)，答案选D。3.\(z=\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)，则\(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)，\(\overline{z}\)在复平面内对应的点为\((\frac{1}{2},-\frac{3}{2})\)，位于第四象限，答案选D。4.椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦点坐标为\((\pm2\sqrt{2},0)\)，所以双曲线中\(c=2\sqrt{2}\)。双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，由一条渐近线方程为\(y=\sqrt{3}x\)，得\(\frac{b}{a}=\sqrt{3}\)，即\(b=\sqrt{3}a\)。又\(c^2=a^2+b^2\)，\(c=2\sqrt{2}\)，所以\(8=a^2+3a^2=4a^2\)，解得\(a^2=2\)，\(b^2=6\)，双曲线方程为\(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1\)，本题无正确选项。5.分两种情况讨论：①不选女生甲，从剩下7人中选5人担任5门不同学科的课代表，有\(A_{7}^5\)种选法；②选女生甲，从剩下7人中选4人，女生甲不担任英语课代表，先安排甲有\(A_{4}^1\)种方法，再安排其余4人有\(A_{4}^4\)种方法，共有\(C_{7}^4A_{4}^1A_{4}^4\)种选法。所以不同的选法种数为\(A_{7}^5+C_{7}^4A_{4}^1A_{4}^4=A_{7}^4+C_{7}^4A_{4}^1A_{4}^4\)，答案选A。6.\(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)，定义域为\(R\)，\(f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数。\(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}\)，因为\(y=e^{2x}\)在\(R\)上单调递增，所以\(f(x)\)在\(R\)上单调递增。由\(f(a)+f(a-2)>0\)得\(f(a)>-f(a-2)=f(2-a)\)，则\(a>2-a\)，解得\(a>1\)，答案选A。二、填空题7.因为\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以\(C_{n}^2=C_{n}^6\)，根据二项式系数性质可得\(n=8\)。\((x+\frac{1}{x})^8\)的展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_{8}^rx^{8-r}(\frac{1}{x})^r=C_{8}^rx^{8-2r}\)。令\(8-2r=-2\)，解得\(r=5\)，则\(\frac{1}{x^2}\)的系数为\(C_{8}^5=\frac{8!}{5!(8-5)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)。8.\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1+2x,4)\)，\(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-x,3)\)。因为\(\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}\)，所以\(3(1+2x)-4(2-x)=0\)，即\(3+6x-8+4x=0\)，\(10x-5=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。9.由\(a_{n+1}=2a_n+1\)得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。又\(a_1=1\)，所以\(a_1+1=2\)，则数列\(\{a_n+1\}\)是以2为首项，2为公比的等比数列。所以\(a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n\)，则\(a_n=2^n-1\)。10.设\(x<0\)，则\(-x>0\)。因为当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(-x)=-x(1-x)\)。又因为\(y=f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=-f(-x)=x(1-x)\)。三、解答题11.（1）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为\(\triangleABC\)外接圆半径），得\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。\(b\cosC+c\cosB=2R\sinB\cosC+2R\sinC\cosB=2R(\sinB\cosC+\sinC\cosB)=2R\sin(B+C)\)。因为\(A+B+C=\pi\)，所以\(B+C=\pi-A\)，则\(\sin(B+C)=\sin(\pi-A)=\sinA\)。所以\(b\cosC+c\cosB=2R\sinA=a\)，又\(b\cosC+c\cosB=2b\)，所以\(a=2b\)。（2）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，因为\(a=2b\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\frac{2b}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{b}{\sinB}\)，即\(\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sinB}\)，解得\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{4}\)。因为\(a=2b\)，所以\(A>B\)，又\(A=\frac{\pi}{3}\)，所以\(B=\frac{\pi}{6}\)。12.（1）对\(f(x)=x^3-3x^2+1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，即\(3x(x-2)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，所以\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3x(x-2)<0\)，解得\(0<x<2\)，所以\(f(x)\)的单调递减区间为\((0,2)\)。（2）①当\(a+2\leq0\)，即\(a\leq-2\)时，\(f(x)\)在\([a,a+2]\)上单调递增，\(f(x)_{\min}=f(a)=a^3-3a^2+1=-3\)，即\(a^3-3a^2+4=0\)，\((a+1)(a-2)^2=0\)，解得\(a=-1\)（舍去）或\(a=2\)（舍去）。②当\(a<0\)且\(a+2>0\)，即\(-2<a<0\)时，\(f(x)\)在\([a,0]\)上单调递增，在\([0,a+2]\)上单调递减，\(f(x)_{\min}=\min\{f(a),f(a+2)\}\)。\(f(a)=a^3-3a^2+1\)，\(f(a+2)=(a+2)^3-3(a+2)^2+1=a^3+3a^2-3\)。令\(f(a+2)=-3\)，即\(a^3+3a^2-3=-3\)，\(a^2(a+3)=0\)，解得\(a=0\)（舍去）或\(a=-3\)（舍去）。③当\(a\geq0\)且\(a+2\leq2\)，即\(0\leqa\leq0\)，\(a=0\)时，\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递减，\(f(x)_{\min}=f(2)=2^3-3\times2^2+1=-3\)，符合题意。④当\(a\geq2\)时，\(f(x)\)在\([a,a+2]\)上单调递增，\(f(x)_{\min}=f(a)=a^3-3a^2+1=-3\)，即\(a^3-3a^2+4=0\)，\((a+1)(a-2)^2=0\)，解得\(a=-1\)（舍去）或\(a=2\)，符合题意。综上，\(a=0\)或\(a=2\)。13.（1）抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，直线\(l\)的方程为\(y=x-\frac{p}{2}\)。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由\(\begin{cases}y^2=2px\\y=x-\frac{p}{2}\end{cases}\)消去\(x\)得\(y^2=2p(y+\frac{p}{2})\)，即\(y^2-2py-p^2=0\)。根据韦达定理\(y_1+y_2=2p\)，因为线段\(AB\)的中点的纵坐标为2，所以\(\frac{y_1+y_2}{2}=p=2\)。所以抛物线的方程为\(y^2=4x\)。（2）由（1）知\(p=2\)，直线\(l\)的方程为\(y=x-1\)，\(y^2-4y-4=0\)。则\(y_1+y_2=4\)，\(y_1y_2=-4\)。根据弦长公式\(|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{16+16}=8\)。14.（1）函数\(f(x)=\frac{1}{2}x^2-m\lnx\)的定义域为\((0,+\infty)\)，\(f^\prime(x)=x-\frac{m}{x}=\frac{x^2-m}{x}\)。①当\(m\leq0\)时，\(x^2-m>0\)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。②当\(m>0\)时，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(\frac{x^2-m}{x}=0\)，解得\(x=\sqrt{m}\)（\(x=-\sqrt{m}\)舍去）。当\(x\in(0,\sqrt{m})\)时，\(x^2-m<0\)，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(\sqrt{m},+\infty)\)时，\(x^2-m>0\)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。（2）令\(F(x)=f(x)-g(x)=-\frac{1}{2}x^2+(m+1)x-m\lnx\)，\(x>0\)，问题转化为求函数\(F(x)\)的零点个数。\(F^\prime(x)=-x+(m+1)-\frac{m}{x}=-\frac{x^2-(m+1)x+m}{x}=-\frac{(x-1)(x-m)}{x}\)。①当\(m=0\)时，\(F(x)=-\frac{1}{2}x^2+x\)，令\(F(x)=0\)，即\(-\fr