卷积简单介绍

简单介绍［编辑］卷积是分析数学中一种重要的运算。设：门•「：,.『•「:是上的两个可积函数，作积分:可以证明，关于几乎所有的「匚'X-%：，上述积分是存在的。这样，随着-的不同取值，这个积分就定义了一个新函数"•「：，称为函数「与-•的卷积，记为W厂二*「。我们可以轻易验证：：—•「=厂，并且' ：［.厂仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，广空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。由卷积得到的函数「“一般要比「和"都光滑。特别当'•为具有紧支集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数？，都可以简单地构造出一列逼近于手的光滑函数列*一，这种方法称为函数的光滑化或正则化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。定义［编辑］函数f与g的卷积记作h，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。积分区间取决于f与g的定义域对于定义在离散域的函数，卷积定义为

图解卷积首先将两个函数都用图解卷积■来表示。对其中一个函数做水平翻转:页，〜戒-丁）.加上一个时间偏移量，让"* 能沿着「轴滑动。让t从-8滑动到+8。两函数交会时，计算交会范围中两函数乘积的积分值。换句话说，我们是在计算一个滑动的的加权平均值。也就是使用页 '当做加权函数，来对.，’取加权平均值。最后得到的波形（未包含在此图中）就是f和g的卷积。如果f（t）是一个单位脉冲，我们得到的乘积就是g（t）本身，称为冲激响应。计算卷积的方法［编辑］当f网为有限长度n，g网为有限长度m的信号，计算卷积f网^网有三种主要的方法，分别为1.直接计算（DirectMethod）2.快速傅里叶转换（FFT）和3.分段卷积（sectionedconvolution)。方法1是直接利用定义来计算卷积，而方法2和3都是用到了FFT来快速计算卷积。也有不需要用到FFT的作法，如使用数论转换。方法1直接计算［编辑］作法：利用卷积的定义M—L划河=*gh］=£丁恤一若"I和皆为实数信号，则需要.W.V个乘法。若『网和。网皆为更一般性的复数信号，不使用复数乘法的快速算法，会需要1」』一\「个乘法;但若使用复数乘法的快速算法，则可简化至；*」/.\一个乘法。因此，使用定义直接计算卷积的复杂度为。'官''方法2快速傅里叶转换(FFT)［编辑］概念:由于两个离散信号在时域(timedomain)做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域(frequencydomain)做相乘：〃网=/[n]+g[n]— =F[f]G[f]可以看出在频域的计算较简单。作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域:F[f]DFTF(f[n]).G[f]=DFTF[f]DFTF(f[n]).G[f]=DFTF(f[n]).G[f]=睥珏顷)DFTP{g\n\)DFTP[f[n])DFTP[g[n])，最后再将频域信号转回时域，就完成了卷积的计算:IDFTPDFTP(f\^DFT^g[n])总共做了2次DFT和1次IDFT。

特别注意DFT和IDFT的点数要满足由于DFT有快速算法FFT，所以运算量为'1。二兰/':假设"点DFT的乘法量为•，：』和为一般性的复数信号，并使用复数乘法的快速算法，则共需要：5—个乘法。方法3分段卷积(sectionedconvolution)[编辑]. 概念：将切成好几段，每一段分别和.做卷积后，再将结果相加。.作法：先将'为.切成每段长度为上的区段(£•>.")，假设共切成S段:?7?!=。，1，…,N—1)T h[n]，…,fS[^[S?7?!=Section1:Section2: 一■' —=0.1 LSection1:Section2: 一■' —=0.1 L—1Sectionr: ="—'- =” .L.SectionS: 】：[.,"=“,】•■…L■，：:I为各个section的和伽=£珈-(『-1)罚。因此，SA/-1"问=币]*g[n]=5252JAn-(r-1)L-m]g[m]-I■|； ，每一小段作卷积则是采用方法2,先将时域信号转到频域相乘，再转回时域：5'M-Ly[ii\=IDFT(££DFTp(fT\n-(T-l')L-7Ti\)DFTp(g\m\)).P>M+L-l「=1总共只需要做"点FFT”’•】次，因为.只需要做一次FFT。假设"点DFT的乘法量为•，：司和为一般性的复数信号，并使用复数乘法的快速算法，则共需要'*"一""一朴"个乘法。.运算量：—-•*——•—.运算复杂度:W:，和呈线性，较方法2小。性质典各种卷积算子都满足下列性质：交换律f*g=g^f结合律f■(gM)=(J*g)"分配律f*3+h)=(”g)+(f二fi)数乘结合律=(fl/)*S=/*(GJ)其中••为任意实数(或复数)。微分定理D(f*g)=W*g=了*Dg其中Df表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种:, 前向差分：.：；「"二.“"； .‘"n• 后向差分：.'3 ::卷积定理［编辑］卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。》(S)=m卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学中，加权的滑动平均是一种中积。其中；表示f的傅里叶变换这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见Mellininversiontheorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广至U在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为;’的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做】组对位乘法，其计算复杂度为°!；广：：而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为I.二'<o这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。在群上的卷积［编辑］若G是有某m测度的群(例如豪斯多夫空间上哈尔测度下局部紧致的拓扑群)，对于G上湃勒贝格可积的实数或复数函数f和g，可定义它们的卷积：(7*g)⑴=匕用)，(翊-')如(叫)对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的彼得-外尔定理应用［编辑］