最新高中数学苏教版教材典型例习题及改编题精选(附答案)

第41页共41页第2章函数概念与根本初等函数Ⅰ设函数的定义域为，那么集合与相等吗？请说明理由。一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。对于任意的,假设函数，试比拟与的大小关系。定义在实数集上的函数满足条件：对于任意的，，求证：；是奇函数。你能举出几个满足上述条件的函数吗？〔必修2〕立体几何初步变式题1、〔必修2P.60习题1.3第9题〕变题如图是一个几何体的三视图〔单位：cm〕〔Ⅰ〕画出这个几何体的直观图〔不要求写画法〕；〔Ⅱ〕求这个几何体的外表积及体积；〔Ⅲ〕设异面直线与所成的角为，求．俯视图俯视图正视图侧视图解：〔Ⅰ〕这个几何体的直观图如下图．〔Ⅱ〕这个几何体是直三棱柱．由于底面的高为1，所以．故所求全面积．这个几何体的体积〔Ⅲ〕因为，所以与所成的角是．在中，，故．2、〔必修2P.18习题1.1第7题〕变题如图，几何体的三视图〔单位：cm〕．〔Ⅰ〕画出这个几何体的直观图〔不要求写画法〕；〔Ⅱ〕求这个几何体的外表积及体积；〔Ⅲ〕设异面直线、所成角为，求．解：〔Ⅰ〕这个几何体的直观图如下图．俯视图俯视图正视图侧视图〔Ⅱ〕这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．由，，可得．故所求几何体的全面积所求几何体的体积〔Ⅲ〕由，且，可知，故为异面直线、所成的角〔或其补角〕．由题设知，，取中点，那么，且，．由余弦定理，得3、〔必修2P.48习题1.2(3)第8题〕变题如图，、分别是正方体的棱和棱的中点．〔Ⅰ〕试判断四边形的形状；〔Ⅱ〕求证：平面平面．解〔Ⅰ〕如图，取的中点，连结、．∵、分别是和的中点，∴，在正方体中，有，∴，∴四边形是平行四边形，∴．又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴．故．∴四边形是平行四边形．又≌，∴，故四边形为菱形．〔Ⅱ〕连结、、． ∵四边形为菱形，∴．在正方体中，有，∴平面．又平面，∴．又，∴平面．又平面，故平面平面4、〔必修2P.38习题1.2(2)第6题〕变题如图，正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求与平面所成的角的正弦值．解：〔Ⅰ〕如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．∴．设，那么．∵，∴．∴，∴，．又，∴且．∴且．∴且．∴平面．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知是平面的一个法向量，又，∴．∴与平面所成角的正弦值为．5、〔必修2P.47练习第4题〕变题1如图，平面，且是垂足．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕假设，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解〔Ⅰ〕因为，所以．同理．又，故平面．〔Ⅱ〕设与平面的交点为，连结、．因为平面，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四边形中，，所以．故平面平面．变题2如图，直二面角，与平面、所成的角都为，．为垂足，为垂足．〔Ⅰ〕求直线与所成角的大小；〔Ⅱ〕求四面体的体积．解：〔Ⅰ〕如图，在平面内，作，连结、．那么四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角〔或其补角〕．因为．所以．同理．又与平面、所成角为，所以，，所以，．在中，，从而．因为，且为平行四边形，所以．又，所以．故平面，从而．在中，．所以，即直线与所成角的大小为．〔Ⅱ〕在中，，所以．三角形的面积，故四面体的体积．6、〔必修2P.53练习第4题〕变题如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正弦值．解〔Ⅰ〕在中，，在中，，∵，∴．∵平面平面，且交线为，∴平面．∵平面，∴．〔Ⅱ〕设与相交于点，由〔Ⅰ〕知，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，且交线为，如图，作，垂足为，那么平面，连结，那么是直线与平面所成的角．由平面几何的知识可知，∴．在中，，在中，，可求得．∴．∴直线与平面所成的角的正弦值为．7、〔必修2P.38习题1.2〔2〕第5题〕变题如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。〔Ⅰ〕、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；〔Ⅱ〕、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。解：〔１〕故。所以。又.故在△，即.故当时，直线。〔Ⅱ〕依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而8、〔必修2P.47习题1.2〔3〕第7题〕变题在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)假设D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，假设AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.9、〔必修2P.38习题1.2〔2〕第11题〕变题如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，〔I〕求证：AC⊥BC1；〔=2\*ROMANII〕求证：AC1//平面CDB1；〔=3\*ROMANIII〕求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．〔=1\*ROMANI〕证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；〔=2\*ROMANII〕证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；〔=3\*ROMANIII〕解：∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.10、〔必修2P.65复习题第14题〕变题如图，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面中心，E是AB的中点，AB=kAA1，(Ⅰ)求证：A1E∥平面PBC；〔Ⅱ〕当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(Ⅲ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？AA1D1C1B1D1POC1B1A1OCBAE(Ⅰ)过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，那么MD1POC1B1A1OCBAE∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。(Ⅱ)过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1∴AF⊥BC，BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，设AA1=a，那么AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=所以，直线AP与平面PBC所成的角正弦值是sin。〔Ⅲ〕连OP、OB、OC，那么OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，那么△PBC为正三角形。即PB=PC=BC所以k=。反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为的重心〔必修2〕平面解析几何初步变式题1.〔必修2P.72练习第1题〕变式1：点，那么直线的倾斜角是〔〕A.B.C.D.解：∵，∴，∵，∴，应选〔C〕.变式2：〔2006年北京卷〕假设三点共线，那么的值等于.解：∵、、三点共线，∴，∴，∴，∴.变式3：点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，那么直线的倾斜角为，依题意有，∴，∴，∴或.由，得，∴，∴，∴直线的斜率为.2.〔必修2P.77练习第3题〕变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，那么〔〕A.B.C.D.解：令得，∴直线在轴上的截距为；令得，∴直线在轴上的截距为，应选〔B〕.变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.3.〔必修2P.97第11题〕变式1：过点〔-5，-4〕且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.解：设所求直线方程为，依题意有，∴〔无解〕或，解得或.∴直线的方程是或.变式2：〔2006年上海春季卷〕直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，那么△OAB面积的最小值为.解：设直线的方程为，那么，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.变式3：射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.解：设，那么直线的方程为.令得，∴，当且仅当即时取等号，∴当为〔2，8〕时，三角形面积最小.4.〔必修2P.81例题2〕变式1：〔2005年全国卷〕过点和的直线与直线平行，那么的值为〔〕A.0B.-8C.2解：依题意有，解得，应选〔B〕.变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是.解：设所求直线方程为，那么，解得或，∴直线方程为或.变式3：三条直线不能构成三角形，求实数的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.5.〔必修2P.87习题2.1(2)第6题〕变式1：〔1987年上海卷〕假设直线与直线平行但不重合，那么等于〔〕A.-1或2B.-1C.2D解：∵，∴且，∴且，解得，应选〔B〕.变式2：〔2005年北京春季卷〕“〞是“直线与直线相互垂直〞的〔〕A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，应选〔B〕.变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值.解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心〔1，-2〕在直线上，∴.6.〔必修2P.91例题2〕变式1：关于直线的对称点为，那么直线的方程是〔〕A.B.C.D.解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为〔1，1〕，∴直线的方程是即，应选〔B〕.变式2：圆与圆关于直线对称，那么直线的方程是.解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.变式3：求点关于直线的对称点的坐标.解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.7.〔必修2P.97习题2.1(3)第14题〕光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，那么反射光线所在直线的方程是.解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.变式2：〔2003年全国卷〕长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和〔入射角等于反射角〕.设的坐标为.假设，那么的取值范围是〔〕A.B.C.D.解：用特例法，取，那么、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项〔A〕〔B〕〔D〕应排除，应选〔C〕.变式3：点，在直线上求一点P，使最小.解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，那么直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，那么.设，那么，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.8.〔必修2P.104例题2〕变式1：〔2006年重庆卷〕过坐标原点且与圆相切的直线的方程为〔〕A.或B.或C.或D.或解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为〔2，-1〕，半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，应选〔A〕.变式2：〔2006年湖北卷〕直线与圆相切，那么的值为.解：∵圆的圆心为〔1，0〕，半径为1，∴，解得或.变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为，那么，解得或，∴圆的方程为或.9.〔必修2P.105例题3〕变式1：〔1999年全国卷〕直线截圆得的劣弧所对的圆心角为〔〕A.B.C.D.解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，应选〔C〕.变式2：〔2006年天津卷〕设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，那么.解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.变式3：圆，直线.〔1〕求证：不管取什么实数，直线与圆恒交于两点；〔2〕求直线被圆截得的弦长最小时的方程.解：〔1〕∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.〔2〕由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.10.〔必修2P.106练习第2题〕变式1：〔2006年安徽卷〕直线与圆没有公共点，那么的取值范围是〔〕A.B.C.D.解：依题意有，解得.∵，∴，应选〔A〕.变式2：〔2006年湖北卷〕假设直线与圆有两个不同的交点，那么的取值范围是.解：依题意有，解得，∴的取值范围是.变式3：假设直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.11.〔必修2P.107练习1〕变式1：〔1995年全国卷〕圆和圆的位置关系是〔〕A.相离B.外切C.相交D.内切解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交，应选〔C〕.变式2：假设圆与圆相切，那么实数的取值集合是.解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.解：设所求圆的圆心为，那么所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.12.〔必修2P.108习题2.2(2)第8题〕变式1：〔2006年湖南卷〕圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是〔〕A.36B.18C.D.解：∵圆的圆心为〔2，2〕，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，应选〔C〕.变式2：，，点在圆上运动，那么的最小值是.解：设，那么.设圆心为，那么，∴的最小值为.变式3：点在圆上运动.〔1〕求的最大值与最小值；〔2〕求的最大值与最小值.解：〔1〕设，那么表示点与点〔2，1〕连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.〔2〕设，那么表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.13.〔必修2P.117复习题15〕变式1：〔2006年四川卷〕两定点，，如果动点满足，那么点的轨迹所包围的面积等于〔〕A.B.C.D.解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以〔2，0〕为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，应选〔B〕.变式2：〔2004年全国卷〕由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，那么动点的轨迹方程是.解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.变式3：〔2003年北京春季卷〕设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.14.〔必修2P.118复习题第25题〕线段的端点的坐标是〔4，3〕，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.变式1：定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，那么点的轨迹方程是〔〕A.B.C.D.解：设.∵，∴，∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，应选〔C〕.变式2：定点，点在圆上运动，的平分线交于点，那么点的轨迹方程是.解：设.∵是的平分线，∴，∴.由变式1可得点的轨迹方程是.变式3：直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.15.〔必修2P.99例题1〕变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上局部高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低时，船才能通过桥洞.〔结果精确到0.01〕解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.∵圆经过点〔10，0〕，〔0，4〕，∴，解得.∴圆的方程是.令，得.故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约，台风将影响城，持续时间约为.〔结果精确到0.1〕解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，那么台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.依题意有，解得.∴.∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购置此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.、两地的距离是10，顾客购置这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比拟廉价.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，那么，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，那么，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.必修3算法1.画出的流程图，并写出伪代码。2.画出的流程图，并写出伪代码。3.设计一个计算10个数的平均数的算法。4.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为㈠输入输出其中〔单位：〕为行李的重量．㈠输入输出试给出计算费用〔单位：元〕的一个算法，并画出流程图．5.设计一个求任意数的绝对值的算法的流程图，那么〔一〕处应填__________.6.．写出求〔共有6个2〕的值的一个算法，将50个学生中成绩不低于80分的学生的学号和成绩打印出来.WhileS≤10000EndWhilePrintEnd8.一列数，，，…，，…WhileS≤10000EndWhilePrintEnd9.我国的国民生产总值近几年来一直以不低于的年增长率增长，照此速度，最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番？写出一个算法，并画出流程图．10.写出输入两个数a和b，将较大的数打印出来的算法，写出伪代码，并画出流程图11.试用算法语句表示：______________________的算法．12.用秦九韶算法计算多项式，当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是，．13.2．下面的程序运行的结果是．S←0ForIS←0ForIfrom1to11step2S←2S+3IfS>20thenS←S-20EndIfEndForPrintSI←0WhileI<30I←(I+1)*(I+1)N←N+1EndWhilePrintN14．右面的伪代码输出的结果是〔14．右面的伪代码输出的结果是〔〕．A3B5 C9D1315.求两个正数8251和6105的最大公约数．16.写出用区间二分法求解方程在区间内的一个近似解〔误差不超过0.001〕的一个算法．17.阅读以下伪代码，并指出当时的计算结果：〔1〕reada,b(2)reada,b(3)reada,bX←a+ba←a+ba←a+by←a-bb←a-bb←a-ba←(x+y)/2a←(a+b)/2a←(a-b←(x-y)/2b←(a-b)/2b←(a+b)/2Printa,bPrinta,bPrinta,ba=____,b___a=____,b___a=____,b_____统计1、为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为40的样本，检测结果为一等品8件，二等品18件，三等品12件，次品2件。(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频数分步条形图；(3)估计这种产品为二等品或三等品的概率。2、下面是一次考试结果的频数分布直方图，请据此估计这次考试的平均分。概率1、一只口袋装有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球和2只黄球。从中一次随机摸出2只球，试求：〔1〕2只球都是红球的概率；〔2〕2只球同色的概率；〔3〕“恰有1只球是白球的概率〞是“2只球都是白球的概率〞的多少倍。2、一年按365天计算，2名同学在同一天过生日的概率为____________3、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马优于齐王的下等马。现各出上、中、下等马各一匹分组进行一场比赛，胜两场以上即为获胜。如双方均不知对方马的出场顺序，试求田忌获胜的概率。4、设有一个正方形网格，其中每个最小的正方形的边长都等于6cm。现用直径等于25、〔1〕在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率；〔2〕在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率。6、将扑克牌四种花色A，K，Q共12张，洗匀。〔1〕甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都是A的概率；〔2〕假设甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率。7、某种彩票是由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意一个。由摇号得出一个7位数〔首位可能为0〕为中奖号，如果某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖；假设有6位数与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖；假设有5位数与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖；各奖不可兼得。某人一次买了10张不同号码的彩票。〔1〕求其获得一等奖的概率；〔2〕求其获得三等奖及以上奖的概率。8、用计算机随机产生的有序二元数组〔x,y〕,满足，，对每个有序二元数组〔x,y〕，用计算机计算的值，记A为事件“〞。试求事件A发生的概率。9、一次口试，每位考生要在8道题中随机抽出2道题答复，假设答对其中1道题即为及格。〔1〕现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？〔2〕如果一位考生及格的概率小于50%，那么他最多只会其中中的几道题？10、国家平安机机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。后来发现，这段谈话的一局部被某工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处往后的所有内容都被擦掉了。那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被局部或全部擦掉的概率有多大？11、两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2：1时比赛因故终止。有人提出按`2：1分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？第一章三角函数1、〔P11ex10〕，角对称，求角的的集合。2、〔P11ex12〕设是第一象限角，试探究：〔1〕一定不是第几象限的角？〔2〕是第几象限的角？变式：的终边的区域是什么？如何表示？3、〔P11ex13〕假设扇形的周长这定值，那么该扇形的圆心角这多大时，扇形的面积最大？4、〔P23Ex1〕5、〔P23ex4〕分别根据以下条件求函数的值〔1〕〔2〕6、〔P23ex6〕根据以下条件，确定是第几象限角或哪个坐标轴上？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕7、〔P24ex9〕〔1〕设；〔2〕设。变式：设，求的值。8、〔P24ex10.2〕为第四象限角。9、〔P24ex15〕的值。10、〔P24ex16〕假设角的终边经过点的值。11、〔P24ex18〕〔1〕的值；〔2〕的值。变式：，求的值．解：∵，∴即∴当时，；当时，．12、〔P42ex5〕一个单摆如下图，小球偏离铅垂方向的角为作为时间的函数，满足关系．求：〔1〕最初时的值是多少？〔2〕单摆摆动的频率是多少？〔3〕经过多长时间单摆完成5次完整摆动？13、〔P42ex6〕画出函数的简图，并指出它可由函数的图象经过哪些变换得到，画出图象变换流程图。变式：画出函数的图象。14、〔P43例2〕一半径为３ｍ的水轮如下图，水轮圆心Ｏ距离水面２ｍ，水轮每分钟转动４圈，如果当水轮上点Ｐ从水中浮现时〔图中点〕开始计算时间．〔１〕将点Ｐ距离水面的高度ｚ〔ｍ〕表示为时间ｔ〔ｓ〕的函数；〔２〕点Ｐ第一次到达最高点大约要多长时间？15、〔P44例3〕海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深〔１〕选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；〔２〕一条货船的吃水深度〔船底与水面的距离〕为4ｍ，平安条例规定至少要有1.5ｍ的平安间隙〔船底与海底的距离〕，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？〔３〕假设船的吃水深度为４ｍ，平安间隙为1.5ｍ，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3ｍ的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？16、〔P46ex11〕如图，摩天轮的半径为40ｍ，点Ｏ距地面的高度为50ｍ，摩天轮做匀速转动，每３min转一圈，摩天轮上的点Ｐ的起始位置在最低点处．〔１〕试确定在时刻t〔min〕时点Ｐ距离地面的高度；〔２〕在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点Ｐ距离地面超过70m？17、〔P49ex12〕求以下函数的单调区间；〔1〕；〔2〕；〔3〕。变式：〔1〕求上的单调区间；〔2〕求的单调增区间。18、〔P50ex18〕设函数最高点Ｄ的坐标为．由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与ｘ轴的交点为．〔１〕求Ａ，ω和φ的值；〔２〕求出该函数的频率和单调区间第二章平面向量1、〔书P62例2〕在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h解：设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际过江的速度，因为，所以四边形ABCD为平行四边形，在Rt⊿ACD中，∠ACD=90°，所以∠CAD=30°。答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为被偏西30°。2、〔书P67例4〕⊿OAB中，C为直线AB上一点，。求证：.证明：因为又所以即又因为即所以3、〔书P68习题7〕是两个不共线的向量，，假设与是共线的向量，求实数的值.答案：4、〔书P69习题9〕设点P、Q是线段AB的三等分点，假设，试用表示向量、.解：因为所以。5、〔书P69习题11〕求证：当两个向量不共线时，〔1〕〔2〕提示：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。6、(书P74例3)P是直线上一点，且，求点P的坐标.解：设，那么由得得到因为所以因此，P点坐标为。当时，就得到线段的中点的坐标公式。7、〔书P76例4〕，当实数为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向.解：由向量平行的条件可得所以，此时8、〔书P77习题9〕点A〔2，3〕，B〔5，4〕，C〔7，10〕，假设点P满足，当为何值时，〔1〕点P在第一、三象限角平分线上？〔2〕点P在第四象限内？解：设，由题意知因为，所以可得P在第一、三象限角平分线上，那么P在第四象限，那么，所以。9、〔书P77习题12〕⊿ABC三个顶点为，求证：〔1〕⊿ABC的三条中线交于点〔2〕。证明：由题知G为⊿ABC的重心，设D为AC的中点，故G分BD的比为2因为点D的坐标为所以。〔2〕所以10、〔书P81例4〕在⊿ABC中，设且⊿ABC是直角三角形，求k的值。10、解：假设∠A=90°，那么，于是，解得假设∠B=90°，那么，又故得解得假设∠C=90°，那么，故解得；所求k的值为或或。11、〔书P83习题5〕求证：，如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？证明：左===右其几何意义是：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。12、〔书P83习题10〕设假设与的夹角为钝角，求x的范围。解：因为为钝角，所以那么所以。13、〔书P85习题2〕某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东流速为。假设此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度。解：南偏东30°，。14、〔书P86习题3〕两点试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为。解：任取圆上点，那么，即。15、〔书P86习题7〕向量满足条件，且，求证：⊿ABC是正三角形。证明：设OA，OB，OC的长为1，那么所以，即，同理，所以⊿ABC是正三角形。16、〔书P89习题6〕设A，B，C，D为平面内四点，A点坐标为〔2，1〕，B点坐标为〔-2，2〕。〔1〕假设C点坐标为〔-1，4〕，求D点坐标〔2〕原点为O，，求P点坐标。解：〔1〕〔-6，5〕〔2〕〔-5，1〕17、〔书P89习题9〕是菱形的四个顶点，求实数的值。解：〔1〕假设BC为菱形的边，且，即那么且的模等于的模，即所以〔2〕假设BC为菱形的边，且即不成立〔3〕假设BC为菱形的对角线，那么，即且，即，显然不成立。综上可知，。18、〔书P89习题12〕：D，E，F分别是⊿ABC中BC，CA，AB的中点，P是平面内任意一点，求证：。证明：所以，。19、〔书P89习题13〕某人骑自行车以的速度向东行驶，感受到风从正北方向吹来；而当速度为原来的2倍时，感受到风从正东北方向吹来，试求实际的风速。解：分别表示开始时人对地的速度和风对人的速度，分别表示后来人对地的速度和风对人的速度，表示风对地的速度，因为，，又45°所以45°，因此，实际的风速为，从西北方向吹来.改编题1、在四边形中，假设，那么四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形答案A2、假设平行四边形的3个顶点分别是〔4，2〕，〔5，7〕，〔3，4〕，那么第4个顶点的坐标不可能是〔〕(A)〔12，5〕(B)〔-2，9〕(C)〔3，7〕(D)〔-4，-1〕答案C3、在平行四边形ABCD中，，，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，那么向量用，表示为；用，表示为．答案；4、点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，那么()(A)点P在线段AB上(B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上(D)点P不在直线AB上答案B5、，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，那么向量用、表示为．答案26、向量，，假设向量与的夹角为直角，那么实数的值为；假设向量与的夹角为钝角，那么实数的取值范围为．答案或27、如图，点、是线段的三等分点，求证：〔1〕一般地，如果点，，…是的等分点，请写出一个结论，使〔1〕为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．解：∵，∴同理，那么；一般结论为证明：∵，∴，而∴注：也可以将结论推广为证明类似，从略．8、等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，〔Ⅰ〕判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；〔Ⅱ〕求的最大值．〔Ⅰ〕由于，而，那么∵，∴，即的值不会随点的变化而变化；〔Ⅱ〕由于，∴，∵∴〔等号当且仅当与同向时成立〕，∴的最大值为3．第三章三角恒等变换1．(苏教版P96，习题4)，求的值．解：(1)+(2)，得：(1)－(2)，得：变式1(苏教版P99，例6)，求的值．〔答案：〕变式2(苏教版P101，习题８)，求证：(1)．(2)2．(苏教版P96，习题5)设Ｏ为坐标原点，和为单位圆上两点，且，求证：解：设，Ｏ为坐标原点，那么，当时，那么与的夹角为，，又，；当时，那么与的夹角为，同理，得3．(苏教版P96，习题6)求的最大值和最小值．解法一：类似于本章“引言〞中的方法，通过将向量点乘(1，-1)推导．解法二：变式1(苏教版P98，例3)求函数的最大值．解：当时，即时，函数取得最大值1．变式2：求函数的最大值和最小值．〔答案：〕变式3(苏教版P101，习题13(2))的最大值．〔答案：〕变式4：求函数的周期．〔答案：〕4．(苏教版P100，练习2)，求的值．简答：将两式平方相加后，解得．变式(苏教版P117，复习题11)，求的值．〔答案：〕5．(苏教版P101，习题14)中，为直角，于，设．(1)假设，试求的各边之长，由此推出的三角函数值．(2)设，〔均为锐角〕，试由图推出求的公式．解：(1)依题意，作//交于，那么，在中，在中，(2)设，在中，在中，作//交于，那么，在中，在中，6．(苏教版P104，例题4)在斜三角形ABC中，求证：．证明：在斜三角形ABC中，有，即，且都不等于，所以有：，即，即，所以变式1推出能使等式成立的一般性条件．变式２(苏教版P105，练习2)求证：．证明：即．变式３(苏教版P105，练习3)求证：变式４(苏教版P117，复习题10)在ABC中，求证：证明：在ABC中，有，，去分母、移项，得变式5(苏教版P106，习题8)假设，求证：．证明：即即变式6(苏教版P118，复习题15(2))探求：．〔答案：〕7．(苏教版P109，例题4)求证：证明：左边＝＝右边所以原式成立．8．(苏教版P110，练习3)，且都是锐角，求的值．解：是锐角，且变式1(苏教版P110，习题5(4))，求的值．简解：．变式2(苏教版P117，复习题6)求：的值．解：原式＝9．(苏教版P110，习题2(4))化简．解：原式＝10．(苏教版P111，习题8)求值．解：原式＝变式1求值．解：原式＝变式2化简解：仿变式1，原式＝变式3求值：．略解：利用变式2的结论，原式＝．11．(苏教版P111，12题)将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么的长度取决于角的大小．探求之间的函数关系式，并导出用表示的函数关系式．解：如图，在四边形中，由内角和定理，得在中，即．必修五一、解三角形局部典型例题及习题1、P24、1、在三角形ABC中，，求C变题：在三角形ABC中，AC=2，BC=3，，求2、P24，2、在三角形ABC中，判断三角形ABC的形状变题：在三角形ABC中，，试判断三角形ABC的形状3、P24，5、向量的夹角等于1350，的夹角等于1200，4、P11、7、在三角形ABC中，，证明三角形ABC是正三角形5、P11，8、在三角形ABC中，角A的角平分线交BC的延长线于D，用正弦定理证明：6、P16，练习1、在三角形ABC中，如果那么变题：在三角形ABC中，设命题P：，命题Q：三角形ABC是等边三角形，那么命题P是命题Q的条件7、P11，2、仿照正弦定理的证法1，证明，并运用这一结论解决下面的问题：在三角形ABC中，变题：三角形ABC的周长为〔1〕求边AB的长；〔2〕假设三角形ABC的面积为8、P21第四题如图，一船由西向动航行，测得某岛的方位角为650，前进5km后测得此岛的方位角为420，该岛周围3km内有暗礁，如继续东行，有无触礁危险？MMABC二、数列局部教材变式题汇编1.〔江苏版第58页习题6〕求和：变式题1、数列和，设，求数列的前项和．解：，两式相减得变式题2、〔2007全国1文21〕设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，〔Ⅰ〕求，的通项公式；〔Ⅱ〕求数列的前