（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第13讲 数列求和（解析版）

第第页第13讲数列求和一．公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．【解题方法总结】常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．题型一：公式法【例题1-1】已知是数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式．故．（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．当时，；当时，综上：【变式1-1】已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列(1)求通项公式(2)设，求数列的前项和【解析】（1）设等差数列的公差为，则，即，又成等比数列，所以，即，整理得，得或，若，则，，若，则，得，，.综上所述：或.（2）若，则，；若，则，.【解题方法总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．题型二：错位相减法【例题2-1】设数列的前项和为，且;数列为等差数列，且.(1)求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，得.当时，两式相减有即.因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.则.所以数列的通项公式为.（2）在等差数列中，设首项为公差为，则解得所以.则①②所以①②得即解得【变式2-1】已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.【变式2-2】设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求其前项和【解析】（1）因为，所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，两式作差得：，化简得：即，所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为；（2）方法一：设，则有，比较系数得，所以所以，所以，所以.方法二：因为，所以，所以，所以，所以.【解题方法总结】错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．题型三：分组求和法【例题3-1】已知数列的前n项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.【解析】（1）当时，由且得当时，由得，所以.所以，故，又当时，，适合上式.所以.（2）因为，，所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.故数列的前2n项的和，所以数列的前2n项和为.【变式3-1】已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为，即，则，又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，所以.所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.【变式3-2】为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.【解析】（1）当时，，解得（舍去），由得时，，两式相减得，因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，所以；（2）由于，因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，所求和为.【变式3-3】已知数列的首项，，.(1)设，求数列的通项公式；(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.【解析】（1）因为，，所以，取倒得，所以，即，即，因为，所以是，的等比数列，所以.（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，合计个3，所以.【解题方法总结】（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．（2）分组转化法求和的常见类型题型四：裂项相消法【例题4-1】已知数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）当时，，当时，因为对也成立.所以，所以数列是等差数列，则公差，故.（2）因为，所以，故.【变式4-1】已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并证明：.【解析】（1）设公差为，由题意得解得∴.（2）由（1）知，∴，.∵，∴.【变式4-2】已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1）由已知①，当时，，即，解得，当时，②，①②得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）因为，所以.【变式4-3】已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求和.(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以，即，得，解得或（舍），所以，所以，.（2）由（1）得，，所以.【解题方法总结】裂项相消法求和（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．题型五：分段数列求和【例题5-1】已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）法一：因为是公比的等比数列，所以由，得，即，两式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因为是公比的等比数列，所以由得，即，则，，解得或（舍去），故，则，所以.（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以.【变式5-1】已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【解析】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.【解题方法总结】（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和第13讲数列求和1．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（

）A．366 B．367 C．368 D．369【答案】A【解析】设，由题意是公差为的等差数列，则，故，则，故于是.故选：A2．已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，又，即，，代入①，解得，，则，所以；故选：A.3.已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若数列与数列的公共项，则设，即，因为为偶数，所以也为偶数，所以令数列与数列的公共项为：，所以，所以，故选：B.4．已知数列满足，，则.【答案】【解析】当时，，∴，又，满足，∴，，即，∴.故答案为：.5．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为．【答案】6066【解析】设等和数列的公和为m．因为，所以，，，，…，所以，又，所以，所以．故答案为：60666．已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为.【答案】【解析】由，，可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，由此可得进而可得，则数列的前50项和为．故答案为：．7．记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值．【解析】（1）证明：由已知有：①，把换成，②，②①可得：，整理得：，由等差数列定义有为等差数列；（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，故，解得，