11496工大概率论与数理统计1-概率统计

希望知道在n次抛掷中出现正面的次数。在靠碰运气取胜的

中，人们感的是某一

者净胜或者净输多少。在第一、二章中

还没有用术语随理论需要：随实际上已涉及到这种量来定义的函数。

量概念的引进和研究是概率论发展中的重大事件，它使概率论的研究从事件扩大为随

量，这样2就利于使用精细的数学工具实变函数来进行研究和处理，使概率论成为一门真正的数学学科。随

量与实变量的实值函数之间主要区别在于概率分布的有关概念，但是高等微积分或实分析知识仍是研究随量以及它们的概率分布的基本工具。3直观上，

把随机现象的每一种表

现，把随机试验的每一个要以观察到的结果叫做随机事件。有些E的结果本身是数量，有些虽然本身并不是数量但可以数量化。这样的量随着E的重复可以取不同的值，并且在每次E中究竟取什么值事先无法确切

，是带有随机性的。自然地称这样的变量为随

量。因

此，4直观上随

量即在随机试验中被测量的量。例1

向一目标射击n次，共命中目标次数（或随意抽验n件产品其中不合格品的件数），它有n+1个可能值：0，1，2…，n。例2

接连不断地射击，首次命中目标需1要的射击次数，它可取任意的自然数5例3

在长为t的时间内，某交换台接到呼叫的次数，它可取任何非负整数值。v(t)例4

一自动装置无故障运转的时间，它可取区间（0，

）上的任何值。例5

随机测量的误差（例在分析天平上称量某物品的实际称量结果与该物品的质量之差）其值域为（

,

）例6

掷硬币试验中被测量的量：正面0,X

X

e

1,6于是于是X是随机试验结果的数量化。（1）在n重的贝努里E中总成功次数X，Xi表示第i次贝努里E成功次数（

i

1,n

）7成功失败0,X

X

e

1,i

inX

Xii18若成功k次事件为Bk(k=0,1,2,…,n)则

Bk

(

X

k

)（2）E：接连射击两次，S

e1

0,0,e2

0,1,e3

1,0,e4

1,1其中“0”表示来命中目标，“1”表示命中目标，X表示命中目标次数，则X=X(e)是基本事件的函数。（3）E：掷三枚一次，用X表示三枚ee1e2e3e4X(e)0112S

1,1,1,

,

6,6,63点数之和，Xi表示第i枚（i=1,2,3），于是X

Xii1出现的点数9亦是基本事件函数。采纳对应思想建立结果空间S上的r·v!定义1

设E为随机试验，其样本空间为S，若对于

，都有唯一的实数值X(e)

与之对应，则称X(e)为随

量，简记为X。…e

(1,1,1)X

3(2,1,1)4…(6,6,6)18e

S10，有定义于S上的一个函数为事件A的示性函数。首先

xA(e)为一个随

量。对于e

S与之对应：事件A的示性函数：对于e

S

，定义e

AA

0,

eAx

e

1,1112于是A的概率计算等价于求等价，此外，易验证：其次，PA

PxA

1r

vxA

e

取1值的概率。此外，事件的关系和运算与示性函数的关系与运算是一一对应的，例：A

B与xA

xB

,

A

B与xA

xB

,

A

B

与xA

xB

0于是，事件的研究可以纳入随研究。量的A

B与xAB

xA

xB

xA

B

;A

B与xA

B

xA

xB

;A

B与xA

/

B

xA

xA

B

;A与xA

1

xA

;13Note：（1）问题：r

vX数，定义于S上，其值域是单值实函X

S

R

!对一般情形（非结果空间S），需对X加限制。（2）r

vX

引入，事件关系与运算转化为

r

v

之间关系运算，事件概率计算转化为r

vX概率分布

，利于用高等微积分与实分析解决概率中问题。14于是引入分布列概念：§3.2离散型随

量离散型随量X：X的取值至多为有限个实数或可数无穷多个实数。要了解一两个方面事情：取值范围及可能取值；以多大概率来取得这些值。个

r

vX

需（1）r

vX（2）r

vX1516定义：设X为离散型x1,x2,…xn,…，且有：(

I)（1）Pk≥0

（k=1,2,…)（2）r，vX所有可能取值为k

1,2,PX

xk

pk

,则称（I）为离散型

r

vX

的概率分布列or

分布列。易证，

r

vX

的分布列具有性质：

kkk

1P

1

S

X

k

反之，满足（1）（2）的实数列{pk}亦可作为某一离散型分布列表格形式：rvX的分布列。x2…xn…xn+k…X

x1P

p1p2…

pn…pn+k…Note：若S是离散的，F是S的一切子集的集合，则定义在S上的任何单值函数都是离散型

r

v

。1718例1

（巴斯卡分布-Pascal分布）考虑相继的贝努里E，用X表示第r次成功时贝努里E发生的总次数，求X的分布列，P表示成功概率。解：若第r次成功发生在第k次试验，则必有k≥r，设Ck表示第r次成功发生在第k次试验这一事件。19于是Ck发生

前面k-1次试验中有r-1次成功，k-r次失败，而第k次试验的结果为成功。利用试验的独立性：对于p

C

,

k

r,

r

1,PC

Ck

1p

q p

qr1

k

r

r1

r k

rk

1k

1kp

k

r,r

1,

k20（1）Pk≥0，易证。C

r1

lk

r（2）

Pk

Ck

1k

r k

rl0r1

pr

qlrl

1l0

pr

1

qr

1这里利用推广的二项系数公式。l

pr

q

Lrl

1C1

rl

1llrl21时，P(Ck)称为Pascal分布，特别当r=1得到几何分布，Pascal是十七世纪法国数学家，他对概率论的早期发展作出过重大贡献。例2

贝努里E中首次出现成功试验次数X的分布列。解：设贝努里E中首次成功出现在第X次，22（II）（II）称为几何分布，X=k,

k=1,2,…于是(X=k)

=

A1A2

Ak1

Ak利用事件的独立性：p,

k

1,2,PX

k

P

qk

1k

1kq

k

1

p

k

k

1,

2

,

(1

)

p

k

0(

2

)

p

p

k

1

k

123例2

一个人要开门，他共有n把

，其中仅有一把是能开这门的，他随机地选取一把

开门，即在每次试开时每一

把

都以概率1/n被使用，这人在第S次试开时成功的概率是多少？解：这是一个贝努里E，p

1

nn1n

pX

S

n

1

S

124几个常见的分布列：（1）两点分布（贝努里分布）：X~(0,1)（2）二项分布：X~B(n,p)（3）泊松分布：X~P(λ)Question:泊松分布与二项分布之间关系？下面

X~B(n,p)具有什么规律性：PX

k

1PX

k

n

k

1P

1

n

1P

kkq(k

1,n)kq25X01P1-pp（1）两点分布：若

r

vX分布列为：0<p<1，则称X服从两点分布记X~

B1,P（2）二项分布：若r

vXP

P

k

X

C

p

qk

k

nkk

n其中0

p

1,p

q

1分布列为：,

k

0,1,

,

n则称X服从参数为n,p

的二项分布，记（3）泊松分布：若

r

vX

分布列为：26

,

0P

X

ke

,k

0,1,2,k!kkP

则称X服从参数为λ的泊松分布：记X

~

PX

~

B

n,

p

27（1）当k<(n+1)P时，P(X=k)>P(X=k-1),P(X=k)单调上升。（2）当k>(n+1)P时，P(X=k)<P(X=k-1),P(X=k)单调下降。（3）1）k=(n+1)P=[(n+1)P]时，P(X=k)=P(X=k-1)=max282）当(n+1)P≠[(n+1)P]时，令k=[(n+1)P]0i20例k=?n=20,p=0.2,由于(n+1)p=(20+1)×0.2=4.2取k=[4.2]=4故P(X=4)=max

PX

i29通。§3.3随

量的分布函数例1

向区间(a,b]内任掷一质点,此E为几何型的，

落点坐标X的分布。解：易知，利用分布列方法

(a,b],

PX

x

0且(a,b]中实数不可数，因此，用离散型r·vX的分布列描述随机事件的概率行不30一种自然做法：对于

x1,

x2

,

x1

x2

只需要求1

2Px

X

x

Px1

X

x2

Px1

X

x2

即可。由于Halmos已证明实轴上所有开区间或所有区间的集合类生成的σ-域与由所即可。σ-域所有形式为(a,b]的有界半闭区间所成的集合类生成的σ-域相重合(β)，于是只须Px1

X

x2or

Px1

X

x2(2)

A,

AAii1(1)S封闭！3132而。这样做只是为了充分利完整地描Px1

X

x2

PX

x2

X

x1

PX

x2

PX

x1

从而研究Px1

X

x2

概率转化为研究PX

x,x

R用函数

F

x

PX

x所显示出的巨大的优越性，亦使分布函数定义更具一般性。这样，F

(x)

P(

X

x)33定义1

设

称为

的分布函数，记为dfF(x)。Note：F(x)=P(X<x)是分布函数另一种定义，在一些优良性质上有差异。F(x)是左连续的。述了r

vX（即r

vX

取哪一些值及以怎样的概率取这些值）。r

vXx

RF

x

PX

x34定义1

设

称为

的分布函数，记为dfF(x)。Note：F(x)=P(X<x)是分布函数另一种定义，在一些优良性质上有差异。F(x)是左连续的。述了r

vX（即r

vX取哪一些值及以怎样的概率取这些值）。r

vXx

RF

x

PX

x例11,x

aF

x

x

a/

b

a,

a

x

bx

b0,b1x35y0

a例2

设

r

vX-11

23xX363的分布列为-1

21/2

1/31/6的df

F(x)P求r

vXy1/237图象为一梯形。1,

0,x

11

x

22

x

3x

31/

2,F

x

PX

x

1/

2

1/

3解：x

R38对于一般离散型

r

vX

,

PX

xi

Pi

,(i=1,2,…)

则r

vX

的d

f

为F

x

PX

x

PX

xi

xi

xF(x)在x=xi处有跳跃。39例3

向半径为1圆内任掷一质点，此E为几何型的，求落点到圆心距离X的d

fF(x)。解：由题设对x

R2

0,x

00

x

1

1,

x

1PX

x

x

,Fx11xy0dfF(x)具有下列性质：综上所述，可归纳r

vX的0

Fx1(1)x

R,x0x

x(4)对于x

R,lim

Fx

x

Fx

0Fx是单调不减函数lim

Fx

0,

lim

Fx1,反之，若某一实函数F(x)亦满足(1)(2)(3)(4)则必存在r

vX以F

x作为r

vX

的df

。40求A，B=？解：由题意：例4

设

r

vX

的df

为F

x

A

Barctgx,

x

41

2

2

F

1

lim

A

Bartgx

A

B

F

0

lim

A

Barctgx

A

B

xx42例5袋中装有a个白球，b个黑球，从袋中任取r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解：设X为r个球中黑球个数，则X的分布列为：B

1/∴解得：

A

1/243由题设，k为有意义数必有：CrabCk

CrkPX

k

b

a

r

a

br

a

bk

br

k

0k

0

k

r

ar

k

a

k

rk

bk

044的分布列为：于是max0,r

a

k

minb,r于是r

vXCrabCk

CrkPX

k

b

a

k

max

0,

r

a

,max

0,

r

a

1, ,

min

b,

r

个非负的可积函数P(x)，对于有：§3.4连续型随

量：r

vX

取值充满一个区间或者为整个实轴，而且其分布函数F(x)是绝对连续函数。定义：设F(x)是r

vX

的df，若存在一x

RxF

x

Ptdt45则称r

为连续型r

v

，同时称P(x)为vX

X

的pdf

。定义的直接推论：（1）在R上，F(x)是连续的；（2）若P(x)在点x=x0连续，则有：F

'x0

Px0

（2）刻划了

r

vX

的pdfP(x)与dfF(x)之间们工科学生常用的

r

vX

的pdfP(x)常常为连续的。46科学生常用的连续的。的pdfP(x)常常为（2），则有：rvX的pdfpx与d

fF(x)之间们工r

vXr

vX

的

pdfP

x

满足（1）Px

0,x

RPxdx

1（3）若对于x1

x2147的pdfP(x)几何意义：反之，若存在一个实函数P(x)满足（1）（2），则P(x)一定是某个r

vX的pdf。x

x+△x48x1

x2x0关于

r

vXy49（3）以(x1,x2]为底，以曲线（1）

y=P(x)曲线分布在x轴上方；（2）y=P(x)与x轴所围区域面积数值为1。y

Px为

顶的曲边梯形的面积表示概率

P

x

1

X

x

2

的值。以曲线y=P(x)为顶，以(-∞,x]为底的曲边梯形面积A，表示F(x)的值。另外，pdfP(x)的数值大小反映了rvX取x邻近值的概率之大小。于是又F(x)在R上连续，§1.6公理1故PX

x

0最后，x

R因为X

x

x

x

X

x,对于x

0PX

x

Pxx

X

x

FxFxx0

PX

x

limFxFxx0x0利用Theorem:PX

x

05051Note：一个事件概率为0，此事件不一定是不可能事件；同样一个事件概率为1，此事件不一定为必然事件。的pdf为求：（1）A=？（2）df

F(X)（3）P(1<x≤2)例1

设

r

vX0,Px

x

0

Ae3

x

,

x

052(1)由题意30A

A303x3x

Ae

dx

e

0dxPxdx

10

A

300x

0Ptdt

(2)F

x

x3e3t

x

0x2）

e3

x

|2

e3

e611

e0x

0x

03

x（3）两种方法1）P1

X

2

F

2

F

1

e6

1

e6

1

e3

e353具有对称的pdfP(x)即:例2

设

r

vXPx

p

x证明：对于a

0,有a54

Pxdx(2)P|

X

|

a

2F

a1(3)P|

X

|

a

21

F

a21

a

1

F

a

(1)F055Proof(1)Ptdt100

21(

aaaPtdta

aaxtaaPxdxtdt)Ptdt

P1Fa0Fa

Pxdx

Ptdt

Ptdt56(2)

2Fa1P

a)

F

t

dt

F(a)F(

a

1FaP|

X

|

aaa(3)

P|

X

|

a1

P|

X

|

a

21Fa几个重要的分布：（1）均匀分布：X~U[a,b]（等价于一维情几何概率）（2）指数分布：X~E(λ)

（λ>0）（1）均匀分布：若X的概率密度为,

a

x

b其它Px

b

a

0,

157则称X服从[a,b]上均匀分布，记X~

U

a,bP(x)满足1)Px

02)aba

b

adx

0dx1b

1

0dxPxdx则Px

X

x

（2）指数分布：若X的概率密度为：则称X服从参数为λ的指数分布，记X~E(λ)。x1,

x2

a,b3)x1

x2

,x2x121dx

x2581b

a

x1b

a0

0x

0x

0P

x

e

x59002)0dx

Pxdx

易知P(x)满足：1)Px

0xe

dx

e

x|

121x1xxe

dxx

ex2

ex

|x2

ex1Px1

X

x2

03)x1

x2

,

x1,

x20,则有在许多重要场合，某一复杂系统中接连两次故障的时间间隔服从指数分布。它具有无后效性。与Poisson分布有密切联系，在可靠性理论及排队论中有广泛应用。指数分布另一个应用：常用来近似表示各种“

分布”。60例3

设已使用了t小时的电子管在以后的t小时内损坏的概率为t

0t，

其中λ为正常数，0(

t)是t的高阶无穷小(

t→0)，

若电子管

为X，P(X=0)=0，求r

vX

的pdfP(x)。解：由题设Pt

X

t

t

|X

t

t

0t

61Pt

X

t

t

Ft

t

Ft

t

0t62PX

t

1

Ft

令t

0得:F

't

1

F

t11

Ft1

F(t)

ec1e

t

F(t)

1ec1

e

t

c

ec1Ln(1

Ft)

t

cd1

Ft

dtF

t

1

cet63又已知于是：PX

0

0

PX

0

F

0

0F

t

0从而C=1，F

t

1

et

,t

01

et

,t

0,t

0Pt

0,t

0et,t

0§3.5

正态分布Question：一个实函数P(x)满足（1）Px

0,x

R（2）

Pxdx

1则一定有一个

r

vX

（连续型）以P(x)作为其pdf。可观察一下这样的函数：64（2）于是，P(x)作为pdf，X称为正态变量。ePx1x2222,

x

0其中,

2

为两个参数且可验证：（1）

Px

0,x

RPxdx

1能找到一个r

vX

，它以65为常数且服从参数为的正态分布(又称Gauss分布)。正态分布在理论与实际中的地位：总的来说，在概率论与数理统计的理论研究定义：若连续型r

vX

的dpf为：Px

66e

,

x

x

22

212,

20

，则称r

vX,

2亦称X为正态变量。记作

X

~

N

,

2

67和实际应用中，正态分布起着特别重要的作用，它在各种概率分布中居首要地位。(1)在实际中遇到的许多随机现象都跟服从或近似地服从正态分布。例：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标，一般都服从正态分布；在随机测量中，测量结果一般可表示为

a

e68其中a为真值（未知常数），e为随机误差，

和e一般都是正态分布；在生物学中，同一群体的某种特征一般亦服从正态分布；其它，气象中，某地年七月份的平均气温，平均湿度及降雨量等；水文中的水位；…亦都服从或近似地服从正态分布。总之，正态分布律广泛地存在于自然界的自然现象，生产及科学技69术的各领域之中。（2）正态分布是许多重要概率分布的极限分布。例1 De

Moivre-Laplace

积分极限定理：则当n充分大时，若npq设

X

~

Bn,

p亦充分大，则近似地有：X

~

N

np,npq即二项分布可用正态分布近似(利用Stirling公式证）。，则当λ充分大时，量的

~

N

0,1量是正态随例2

若

X

~

PX~N(λ,λ)，即X

*

X

/(3)许多非正态随函数。70例在数理统计的理论和应用中占极重要地位的随量函数的分布。（4）正态分布的pdfP(x)与dfF(x)有各种良质和简洁的数学形式。在概率论与数理统计的研究和应用中，每当涉及正态分布时，一般均可得到完满和简单的结果。特别在数理统计中非常明显。

分布，x2t

分布和F

分，布都是正态7172（5）许多随机现象不能用正态分布来描绘，除了正态分布之外，还存在许多重要的非正态分布，它们亦很有成效地用于理论与实际中。产生正态分布的一般条件：假设X是E的rv，若决定试验结果的是大量偶然因素的总和，假设各个因

间近乎独立，并且每个因素的单独作用相对均匀地

小，73那么X的分布一般近似于正态分布。实际应用做法：假设—试验数据—检验数理统计。1

正态变量X的pdfP(x)与dfF(x)性质、图x-μμx0x+μ12象、特点。

P

x直线对称；递增，在为唯一极大值（亦最大；在

x

,（1）P(x)图形关于x

（2）

P(x)有各阶导数；（3）

P(x)在(,)(,)递减；x

值），等于1274处有拐点；且lim

P

x

lim

P

x

0x

x

（4）y=P(x)图形如钟状；参数μ决定y=P(x)图形的中心位置，而参数定y=P(x)图形中峰的陡峭形状。

2

决11/2075μ76（5）

y=F(x)以,1/2为中心对称；（6）

y=F(x)各阶导数均存在；x

为y

F

x拐点（7）F(x)满足（1）（2）（3）（4）特殊性质。2

标准正态分布与一般正态分布之间关系：设X

~

N

,

2

,若

0,

1,则，称rvX服从标准正态分布，其pdf,df分别为X

~

N

0,1xx,

x

x

exe

2

dt

,

x

x

22

,

t

22121

x

两个等式：(1)

x

x(2)

x1

x77关系：设

X

~

N

,

2

别为P(x)、F(x)于是，其pdf，df分x

R

F

x

x

作替换：v

t

78dtexF

x

x

R2t

212e

2

d

vxV

t

v212

x

x

v2

e2

dv

21

79

F

x

x

编制了图表！X

~

N

,

2

故x1

x2

12x

x

Px1

X

x2

F

x2

F

x1

对于x

0x80xt

2e

2

dt12P|

X

|

K例1

设

X

~

N

,

2

，求k

0,1,2,

81

k

k

解：P|

X

|

k

=

k

1

k

2k

182于是P|

X

|

21

1

0.6826

P|

X

|

22

1

0.9544

P|

X

|

231

0.9973P|

X

|3

0.0027|

X

|

3

——小概率事件！因而，在一次E中，X几乎总是落在

3

,

3

3

原则

1

1200

1600

0.96例2

某工厂生产的电子管计）~N(1600,σ2)，若要求X（小时在1200小时以外的概率不小于0.96，求σ。解：由题意：PX

1200

0.96

1

PX

1200

0.9683

400

0.96

1.76

1

400

1

1

400

又x是单调上升的函数1.7684

400

1.76于是

400

227.27例3

测量到某一目标的距离所产生的随机误差X(m)具有pdf。求三次测量中，至少有一次误差绝对值不超过30m的概率。320085

x20

2ePx

140

286

40

40解：这是一个n=3重贝努里E，成功概率为p=P(|X|≤30)设至少有一次误差绝对值不超过30m事件为A。P

P|

X

|

30

30203020

0.25

1.251

0.493187于是0.25

0.59871.25

0894433k

1k

k

3kC

p

qPA

1

q3

1

1

0.49313

0.8788§3.6

随

量函数的分布：设X是一个具有已知分布的r·v，且设f是一个定义在实线上的函数。

寻找Y=f(x)的分布，只要Y亦是一个r·v。定义：设f(x)是定义在r·vX的一切可能取值x集合上的函数，若r·vY随r·vX取x的值而取y=f(x)的值，则称r·vY为r·vX的函数。记作Y=f(X)，结果空间S上r·vX函数。一、当X为离散型r·v时，f(X)分布可直接由X的分布列求得：例1

已知r·vX的分布列为X

0

1

2

3

4

5

P 1/12

1/6

1/3 1/12

2/9

1/9求：Y1=2X+1及Y2=(X-2)2的分布列。8990解：由题设故Y1=2X+1的分布列为P1/121/61/31/122/91/9X012345Y11357911Y2410149Y11357911P1/121/61/31/122/91/991至于Y2的分布列，只需注意在（I）中Y2取值有重复相同的，应把相同的值所对应的概率按概率的加法公式加起来。这样得到Y2的分布列：Y20149P1/31/6+1/121/12+2/91/92

Y

1

(

X

2

2

1)22Y

4

X

2

4

同理6

1292

X

2

1

X

2

1

X

3

X

1

PY2

1

PX

3

PX

1

1

1

X

4

X

0PY2

4

PX

4

PX

012

9

1

222Y

9

X

2

9

X

5

X

1PY2

9

PX

5

PX

1

1

0

1。9

9对于一般离散型r·vX函数分布列处理方式一致93二、连续型r·vX函数Y=f(X)的概率分布：例2．设Y=aX+b,

a,b为常数且a≠0，若r·vX的pdf为PX(X)，求r·vY

的pdf

pY(y)。解：由已知的r·vY亦FY

(

y是)

续型r·v，设r·vY的df分别为

FY

(y)，

r·vX,

r·vY

pdf分别为PX(X)

,

PY(y)

。y

R94FY

(

y)

P(Y

y)

P

(aX

b

y)（1）当

a>0

时，a

y

baPX

(

x)dxy

bFY

(

y)

P(

X

)

yXax

t

ba

a1

P

(

t

b

)

dt于是由概率密度定义：a95aXY(

y

b

)P

(

y

)

1

P（2）当a<0时Xay

byb

P

(x)dxa(F

(

y)

P(

X

Yxt

byXyXaa

a1

t

b)P

(

)dtt

b

1a

a)

dt

P

(1

y

b于是由pdf定义：PY

(y)

a

PY

(a

)

y

Ra

a96YY1

P

(

y

b

)综上所述

:

P

(

y

)

Question:（1）正态变量的线性函数是否还是正态变量呢Y

？是aX。

ba

Ye1|

a

|

2yba2P

y2|a|

2y

RY

~

N

b

a,|

a

|

2

a971

y

b原因：0PY

(

y

)

|

a

|

PX

(

)1X

98（2）当a

,b

时即Y

，X

~

N

,

2

则Y

~

N

0,1一般而言，r

vX

的函数Y

f

X

（针对连续型r

vX

而言）是否为r

v？或者更强一些，它是否为连续型r

v呢？有条件！A．若X

为连续型的r

v，若y

f

x为Borel函数，则Y

f

X

为另一r

v

，

所接触函数（1）一切连续函数；（2）事件的示性函数及其线性组合；均为Borel

函数。特别有：Theorem1

设Y=f(X)，X为连续型，PX(x)为X的pdf,若y=f(x)为严格单调的连续函数，且反函数x=h(y)有连续导数，则Y

为连续型，且pdf为：99调，对应的反函数分别为而且PY

y

PX

hy|

h'y

|约定：使x

hy无意义点及其导数无意义点，定义PY

y

0Theorem2

设Y=f(X)，X为连续型，其pdf为PX(x)，若f(x)为一般连续函数，它在不相

的区间I1,I2,…上逐段严格单h1y,

h2

y,h1'y,h2

'y

…均为连续函数，则100Y=f(X)是连续型r·V，且其这pdf为：iX

iiPY

y

P

h

y

|

hy

|'例

3

对球直径进

量，

设直径r

vX

~

U

a,b，求球的体积r

vY

的pdfPY(y)。解：（I）由已知4163X3

Y

2

X

31016y

1x3x

a,b，336

61

1y

a

,

b336

61

1于是：y

a

,

b102

6

1/

3y1/

3

F

Py

Y

y

P

X

Y

y

aya1/

31/

3

61

1b

a

dx

b

a

1/

3

6

1/3

233'yyP

y

F

YY1

2b

a

910333616a31,

61

10,

y

b当y

Yy

1b3a

,

b时F

y

336

61

1y

0,y

P

xa

,

b于是3

1

10,

其它23

,yPY

y

6

6y

a

3

,

b3

1

2b

a

96104（II）

y

1

x3在（a,b）上为严格单调连续函

数

，

y

(1a3

,

1

b3

)

其

反

函

数6

616

6

6

1

1x

h(

y)

(

)1/

3

y3

在(

a3

,

b3

)内有连续1

232y

3,导数于是：PY

(y)PX(h(y))|h'(y)|ba

96

61053y

(1a

,

b3)当a3

,

b3

)

6

by

(时PX

(y)

0例4

设X~N（0，1），求Y=X2

R

pdf。解（I），因为y

x2

在(,0)与(0,)上分别为严格单调的连续函数，其反函数分别为x1

y,

x2

y

即可导且连续！于是：y

0P

(

y)

P

(h

(

y)

|

h'

(

y)

|

P

(h

(

y)

|

h'

(

y)

|Y

X

1

1

X

2

2106e11

y

y

e

2

2

1e12

2

y

2

2

y

y212y当y

0时PX

(y)

00,107

1e

2

,

y

0y

0故

P

(

y

)

yY

2y（II）

y

0FY

(

y)

P(Y

y)

P(y

X

y

)

P(

X

y)

P(

X

y)e112

2

'P

(

y)

F

(

y)

eX

X

y

y112

2

y

2

2

ye108

y212y当y

0时，FX

(y)

0于是PX

(y)

0故P

(y){109Y2y1

e

y

,

y

020,

y

0例

5

设质点

M

随机地落在以原点为圆点，以

R为半径的圆周上，且对弧长是均匀分布的，求质点

M

横坐标

X

的

pdf。解：设X轴与OM夹角点r·vZ，其pdf为，而弧长为r·vW。RZOM(Z,Y)110W=ZR，PZ

(Z

)

RPW

(W

)而

1,

w

[R,R]其它PW

(W

)

2R0,于是0,111

1

2,Z

[,]其它P

(z)

P

(W)

Z

W有连续导数。X

R

cos

Z

，x

[R,

R]，Z

[

,

]在(0,π)上，为严格单调连续函数其反函在(－π,0)上，

X

R

cos

Z

为严格单调R2连续函数其反函数z

h

(x)

arccos

x有连续导数。R1121数z

h

x

arccos

xx

(R,

R)'P

(x)

P

(h

(x)(|

h

(x)

|

P'(h

(x))

|

h

(x)

|1Z

2

2X

Z

11R2

x2当x

(R,R)时PX

(x)

0于是1130,1,

x

(R,

R)其它

x2R2PX

(x)

例6

设X~N（μσ2）求Y

e

X

的pdf10,

y

0

e

,

y

02

2(ln

y

)22YP

(

y)

y例7

设r·VX的pdf

为

0,

其它114Y2x,0

x

P

(x)

2115求Y

sin

X

的pdf21

y2

,0

y

10,

其它PY

(

y)

116习题1．自动生产线在调整以后出现废品的概率为P。在生产过程中出现废品立即进行重新调

整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布列。解：以X表示两次调整之间生产的合格品数，则X的分布列为P(X=k)=(1p)kp

,

k=0，1，2，…2．在

车行驶的道

有四盏红绿信号灯，若汽车遇到绿灯顺利通过和遇到红灯停止前进的概率是相同的，求汽车停止前进时通过的信号灯数的分布列。解：以X表示通过的信号灯数，则X的分布列为X

0

1

2

3

4P2

2

2

2

2

2

221

1×1

1

4(1)2×1

(1)3×1

(

)1173.进行某种试验，设成功的概率为3/4，以X表示首次成功所需试验次数，求X的分布列及X取偶数的概率。解X的分布列为211811(2)

,K

0,1,2,3或

P(

X

K