最新高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用(第1课时)教案新人教A版选修2-3

PAGEPAGE8内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯3．1回归分析的根本思想及其初步应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教材分析1．教材的地位和作用高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修12(文科)、选修23(理科)中．?数学3(必修)?中的“统计〞一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路．“线性回归分析〞是其介绍的一种分析、整理数据的方法．在这一局部中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想、利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容．然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，它们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本节就是在学习了如何建立线性回归模型的根底上，探索如何建立非线性关系的回归模型．通过本节的学习，使学生了解回归分析的必要性和回归分析的根本思想，明确回归分析的根本方法和根本步骤，学会以科学的态度评价两个变量的相互关系，培养学生运用所学内容解决实际问题的能力．2．课时划分?回归分析的根本思想及其初步应用?的教学分四个课时完成．第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的根本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用．第一课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的根本思想、方法及初步应用．过程与方法让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．情感、态度与价值观从实际问题中发现已有知识的缺乏，激发好奇心、求知欲；通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力；通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活〞的意识，提高学习兴趣．重点难点教学重点：理解回归分析的根本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．教学难点：掌握利用回归分析的根本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课))“名师出高徒〞这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？活动设计：学生独立思考答复以下问题．学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生〞．教师提问：为什么？学情预测：两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒，二者之间是相关关系．设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫．提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．上面所提的“名师〞与“高徒〞之间的关系就是相关关系．那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172cm的女大学生的体重．学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法，从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172cm女生的体重．其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报．设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的根本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))假设从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重．学生活动：分组合作探究，查阅课本中的计算公式．活动结果：1.画散点图选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图形象展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比拟好的线性相关关系，因此可以用线性回归直线近似刻画它们之间的关系．2．建立回归方程由计算器可得eq\o(a,\s\up6(^))＝－85.712，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.849.于是得到回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849x－85.712.3．预报和决策当x＝172时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．即一名身高为172cm的女大学生的体重预报值为60.316kg.设计目的：进一步熟悉线性回归分析的具体步骤．提高学生的数据处理能力，并让学生在应用中进一步掌握公式的应用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题：散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性，那么还有什么方法可以描述线性相关性的强弱？学生活动：独立思考或相互讨论．活动结果：还可以通过必修3中的相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系的强弱．提出问题：如何根据相关系数r描述线性相关性的强弱？相关系数的计算公式是什么？学生活动：独立思考或相互讨论，查阅课本．活动结果：其具体计算公式是r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2\i\su(j＝1,n,)(yj－\x\to(y))2))当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．r的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近0，说明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．提出问题：在本例中，身高和体重的线性相关系数是多少？我们建立的线性回归方程是否有实际意义？学生活动：独立计算，求解相关系数．活动结果：利用计算器可求得r＝0.798，这说明体重与身高有很强的线性相关关系，从而说明我们建立的回归模型是有意义的．设计目的：复习判断变量线性相关的方法，进一步熟悉线性相关系数的计算公式．提出问题：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？学生活动：独立思考也可相互讨论．学情预测：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右．提出问题：为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数y＝bx＋a来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系)．在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女大学生的体重应相同．这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，如生理因素、饮食锻炼、测量工具等其他因素．为了更准确地刻画身高和体重的关系，可用以下线性回归模型来表示：y＝bx＋a＋e.我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称为随机误差．提出问题：函数模型y＝bx＋a与线性回归模型y＝bx＋a＋e有什么关系？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：线性回归模型：y＝bx＋a＋e当理想化时，即所有人的遗传因素都一样、所有人的生活方式都一样、所有测量都没有误差等等，此时e＝0，线性回归模型就变成函数模型了．因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式．设计目的：突破本节课的难点，充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))例1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0假设由此资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？分析：正确理解计算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．解：(1)由上表中的数据列成下表i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536故eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，于是eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08，∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计当使用10年时的维修费用为12.38万元．点评：由于本节课题目计算量大，公式较多，所以在求解时易出现公式乱用，数据出错等问题，对这一点，同学们在解题时尤为需要注意．【变练演编】例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．(1)y与x是否具有线性相关关系；(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程．思路分析：先根据数据计算相关系数，然后根据相关系数的大小，判断两个变量是否线性相关．解：(1)由表格中的数据，利用计算器进行计算得eq\x\to(x)＝71，eq\x\to(y)＝72.3，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝51467，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝50520，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝52541，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2\i\su(j＝1,n,)(yj－\x\to(y))2))≈0.7853>0.75，故两个变量有很强的线性相关关系．(2)y与x具有线性相关关系，可设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，那么eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,10,)(xi－\x\to(x))2)≈1.22，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝72.3－1.22×71＝－14.32，所以y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22x－14.32.点评：此题通过计算相关系数，将两个变量相关性的判断转化为数据大小的比拟．变式：在确定上题中y与x的线性相关关系中，是否还有别的方法？假设有，请加以说明．活动设计：学生分组讨论，回忆课本解答问题．活动成果：还可以通过画散点图的方法来判断两个变量是否具有相关性．如选取x的值作为自变量，y的值作为因变量，画出散点图．由图可知两个变量有线性相关性，求其回归直线方程是有实际意义的．设计意图：进一步熟悉判断变量线性相关的各种方法．【达标检测】1．对于回归分析，以下说法错误的是()A．在回归分析中，两个变量的关系假设是非确定关系，那么其中一个变量不能由另一个变量唯一确定B．回归系数可以是正的，也可以是负的C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明变量x与变量y之间完全线性相关D．相关样本系数r∈(－1,1)2．以下各组变量之间具有线性相关关系的是()A．出租车费与行使的里程B．学习成绩与学生身高C．身高与体重D．铁的体积与质量3．假设劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，那么以下判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元C．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高130元D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元答案：1.D2.C3.Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))(给学生1～2分钟的时间默写本节的主要根底知识、方法、例题、题目类型、解题规律等；然后用精炼的、准确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律)1．知识收获：进一步学习回归分析的根本思想以及求回归直线方程的步骤，正确认识随机误差e的产生原因、了解线性回归模型与函数的不同之处．2．方法收获：线性回归方程的求法、用样本估计总体的统计思想．3．思维收获：体会模型诊断的思想，提高利用回归方法解决实际问题的能力，培养探索和创新的精神．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(补充练习))【根底练习】1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关2．实验测得四组(x，y)的值是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，那么y对x的回归直线方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1B.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋2C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1D.eq\o(y,\s\up6(^))＝x－13．回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线的方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋4B.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋5C.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08D.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.08x＋1.234．假设eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2是eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2的2倍，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))是eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2的1.2倍，那么相关系数r＝____________.答案：1.C2.A3.C4.eq\f(3\r(2),5)【拓展练习】5．测得10对父子的身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．解：(1)eq\x\to(x)＝66.8，eq\x\to(y)＝67.01，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝44794，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝4476.27，eq\x\to(x)2＝4462.24，eq\x\to(y)2＝4490.34，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝44842.4.所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2\i\su(j＝1,n,)(yj－\x\to(y))2))≈0.9802>0.75.所以y与x之间具有线性相关关系．(2)设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\u