最新高中数学必修5第一单元测试卷1(含答案)

PAGEPAGE5?解三角形?测试题一、选择题：1．(2023·沈阳二中期中)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinBcosC＋csinB·cosA＝eq\f(1,2)b，且a>b，那么∠B＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)[答案]A[解析]因为asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，所以sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，即sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，a>b，所以A＋C＝eq\f(5π,6)，B＝eq\f(π,6)，应选A．2．(文)(2023·呼和浩特第一次统考)在△ABC中，如果sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，那么△ABC的面积为()A．4B．1C．eq\r(3)D．2[答案]C[解析]据正弦定理将角化边得a＝eq\r(3)c，再由余弦定理得c2＋(eq\r(3)c)2－2eq\r(3)c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sin30°＝eq\r(3).3．(文)(2023·合肥二检)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设eq\f(c,b)<cosA，那么△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[答案]A[解析]依题意得eq\f(sinC,sinB)<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A．4.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，那么c等于()A．1 B．2C．eq\r(3)－1 D．eq\r(3)[答案]B[解析]解法1：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故B＝30°或150°.由a>b得A>B，∴B＝30°.故C＝90°，由勾股定理得c＝2，选B．解法2：由余弦定理知，3＝c2＋1－2ccoseq\f(π,3)，即c2－c－2＝0，∴c＝2或－1(舍去)．5．(2023·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，那么AC＝()A．5B.eq\r(5)C．2 D．1[解析]由题意知S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB，即eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB，解得sinB＝eq\f(\r(2),2).∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(eq\r(2))2－2×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(eq\r(2))2－2×1×eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝5，解得AC＝eq\r(5).符合题意．应选B.[答案]B6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，∠B＝eq\f(π,6)，∠C＝eq\f(π,4)，那么△ABC的面积为()A．2eq\r(3)＋2B.eq\r(3)＋1C．2eq\r(3)－2D.eq\r(3)－1[解析]∠A＝π－(∠B＋∠C)＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(7π,12)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，那么a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2sin\f(7π,12),sin\f(π,6))＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)＋1.答案：B7．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，那么角A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[解析]因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以∠A为锐角，又因为a＞b＞c，所以∠A为最大角，所以角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).[答案]C8．(文)(2023·东北三省四市二联)假设满足条件AB＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)的三角形ABC有两个，那么边长BC的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2) D．(eq\r(2)，2)[答案]C[解析]解法一：假设满足条件的三角形有两个，那么eq\f(\r(3),2)＝sinC<sinA<1，又因为eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)＝2，故BC＝2sinA，所以eq\r(3)<BC<2，应选C．解法二：由条件知，BCsineq\f(π,3)<eq\r(3)<BC，∴eq\r(3)<BC<2.9．(2023·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，那么角A的取值范围是()A．(0，eq\f(π,3)]B．(0，eq\f(π,6)]C．[eq\f(π,3)，π)D．[eq\f(π,6)，π)[答案]A[解析]由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥bc，同除以2bc得，eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，即cosA≥eq\f(1,2)，因为0<A<π，所以0<A≤eq\f(π,3)，应选A．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝eq\r(3)acosC，那么sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．3[解析]由csinA＝eq\r(3)acosC，所以sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，即sinC＝eq\r(3)cosC，所以tanC＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(2π,3)－B，所以sinA＋sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＋sinB＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∵0<B<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴当B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)时，sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).应选C.[答案]C二、填空题11．(文)(2023·河南名校联考)假设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，那么ab的值为________．[答案]eq\f(4,3)[解析]∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝eq\f(4,3).12．(文)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，那么eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＝________.[答案]1[解析]∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＝1.13.(理)(2023·吉林九校联合体联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，AB边上的高为eq\f(4,3)，那么AC＋BC＝________.[答案]eq\r(11)[解析]由条件eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(4,3)＝eq\f(1,2)AC·BC·sin60°，∴AC·BC＝eq\f(8,3)，由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝eq\r(11).14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，那么角C＝__________.[解析]∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①又b＋c＝2a，②∴由①②可得，a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，∴cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq\f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b2)＝－eq\f(1,2).∴∠C＝eq\f(2,3)π.[答案]eq\f(2,3)π三、解答题15．(2023·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B．(1)求a的值；(2)求sin(A＋eq\f(π,4))的值．[解析](1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正、余弦定理得a＝2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2eq\r(3).(2)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋1－12,6)＝－eq\f(1,3)，由于0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，故sin(A＋eq\f(π,4))＝sinAcoseq\f(π,4)＋cosAsineq\f(π,4)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(1,3))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4－\r(2),6).16.(理)(2023·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)假设sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．[解析](1)由cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB得．eq\f(1,2)(1＋cos2A)－eq\f(1,2)(1＋cos2B)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，∴eq\f(1,2)cos2A－eq\f(\r(3),2)sin2A＝eq\f(1,2)cos2B－eq\f(\r(3),2)sin2B，即sin(－eq\f(π,6)＋2A)＝sin(－eq\f(π,6)＋2B)，∴－eq\f(π,6)＋2A＝－eq\f(π,6)＋2B或－eq\f(π,6)＋2A－eq\f(π,6)＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(2π,3)，∵a≠b，∴A＋B＝eq\f(2π,3)，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)由(1)知sinC＝eq\f(\r(3),2)，cosC＝eq\f(1,2)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3\r(3)＋4,10)由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，又∵c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5).∴a＝eq\f(8,5).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(18＋8\r(3),25).17.如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．假设乙船速度不变，甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，那么甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？[解析]设到C点甲船遇上乙船，那么AC＝eq\r(3)BC，B＝120°，由正弦定理，知eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，sin∠CAB＝eq\f(1,2).又∠CAB为锐角，∴∠CAB＝30°.又C＝60°－30°＝30°，∴BC＝AB＝10，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，∴AC＝10eq\r(3)(海里)，因此甲船应取