向量的综合应用

xxxx中学教学设计方案年—月—日星期—第—节课题向量的综合应用早节第五章第五节教学目的知识目标理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件；了解平面向量的基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式.并且能熟练运用掌握平移公式能力目标培养学生数形结合的思想方法。德育目标激发学习数学的热情，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。教学重点向量的几何方法与坐标方法的运用教学难点向量的几何方法与坐标方法的运用教学方法讲授法学法指导多观察、多动脑、多动手，归纳解题思路。教具黑板、粉笔

教学环节教学过程(一)高考要求理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；掌握向量的加法和减法；掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件；了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式。(二)知识点向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质；重要定理、公式：平面向量基本定理：e,e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平1 2面内任一向量，有且仅有一对实数人，人，使a=Xe+Xe；1 2 11 22两个向量平彳丁的充要条件:a〃b=a=Xb=尤y-尤y=0；1 2 2 1两个向量垂直的充要条件:a-Lb=a,b=O=xx+yy=0；12 1 2线段的定比分点公式：设点P分有向线段Pp所成的比为人，即P1P=APP2，> 1 ， 1则OP=土"+六OP2(线段的定比分点的向量公式)x]+Xx2] 1+X (线段定比分点的坐标公式)y.+Xy.y=1 .2i 1+X一1一― x=三当人=1时，得中点公式：OP=一(OP+OP)或J 22 1 2 y+y^iy=122平移公式：设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x',y。，则OP'=OP+a或/x=x+h，曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数[y，=y+k解析式为：y一k=f(x一h)。

教学环节教学过程（三）题型讲解(6)正、余弦定理正弦定理：-^=—」=~^=2RsinAsinBsinC余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=cosA=2bcc2+a2—b2b2=c2+a2—2accosBOcosB=2caa2+b2—c2c2=a2+b2—2abcosCOcosC=2ab两个向量的数量积：» »已知两个非零向量a与b，它们的夹角为6，则预•b=周bcos9，—►其中切C0S6=ajL称为向量b在a方向上的投影。|—|向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作苏=a,OB=b，则/AOB=6—(0o<9<180o)叫做向量—与b的夹角。———- a•b xx+yycos6=cos<a,b>= —= —.12 -a•bVx2+y2.寸x2+y21 1 2 2>>例1已知a、b是两个非零向量，当a+tb(t^R)的模取最小值时，>>⑴求t的值；(2)求证：b±(a+tb)>>>分析：利用ia+tb12=(a+tb)2进行转换，可讨论有关ia+tbi的最小值问题，若>>>>能计算得b•(a+tb)=0，则证得了bJ_(a+tb)解：设a与b的夹角为。，贝0—► —► —► —►Ia+tbl2=(a+tb)2=lal2+t2lbl2+2a,(tb)— — — IaI=la2+t2Ib2+2tIaIbIcosG=lbI2(t+—cos©)2+Ial2sin2。，IbI—► —►k«w Ial八Iallblcos6 a-bj，——,公日［任所以当t=-cosO一 - =,-时，Ia+tbI有最小值。IbI IbI2 \b12—► ... ^g•b —■证明：因为b•(a+tb)=b•(a— •b)=a•ba•b=0，所以b\b\2—►J_(aJtb)

教学环节教学过程点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便。对|a+tbi的变形，有两种基本的思考方法：一是通过ia+tbi2=(a+tb)2进行向量的数量积运算；一是设预、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题例2已知OA=a,OB=b,a•b=1a—b1=2，当^AOB面积取最大值时，求a与b的夹角。解：因为1a—b12=4，所以a2—2a•b+b2=4。所以1al2+lbl2=4+2a,b=8，S/AOb=^~OA•OBsin©=-lallbl亩—cos20[— — ff 1Jf —=一硕al2lbl2—(a-b)2=—Jlal2lbl2一42W(f f)2—4=*3，(当且仅当[al=lbl=2时取等号)2V 2所以当|a|=|b|=2时，^AOB的面积取最大值，这时，cos©=ff= =，所以©=60lalib12X22例3如图，四边形MNPQ是。。的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM与PN的夹角为120°，QC-QM=2。 Q求。C的方程；(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭/ 了圆的方程。 M( ； N分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求。C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可。解：(1)以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOyVCM与PN的夹角为120°，故ZQCM=60°；于是WCM为正三角形，/CQM=60°；依题意2c=4，2a=lQNl+lQMl，而lQNl=¥‘42—22=2寸3，lQMl=2

教学环节教学过程于是a—y>3+1,b^—a2c2—2x3..・所求椭圆的方程为一^^+闩=1;4+2^3 2^3评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视例4已知平面向量a=（J3,-1）,b=（L匹）.若存在不同时为零的实数k和t，使22—> —>x=a+（t2一3）b,y=-ka+tb,且x±y.（1） 试求函数关系式k=f（t）（2） 求使f（t）>0的t的取值范围。解：（1）•/x±y,:.X-y=0.即[（a+t2一3）b]-（一ka+tb）=0.,/a-b=0,a2=4,b2=1,:.—4k+t（t2—3）=0,即k=—t（t2—3）.4（2）由f（t）>0,得11（12—3）>0,即t（t+J?）（t—&）>0.4贝ij—7?<t<0或t>43例5已知A（—1,0）,B（1,0）两点，C点在直线2X—3=0上，> > > > » » » »且AC-AB,CA-CB,BA-BC成等差数列，记。为CA与CB的夹角，求tan0。^3 » » » » ^5 » »解：设c（一，y）,则AC-AB=5 .:CA-CB=y2+— BA-BC=—12 4 > > > > *• *•又..•一者AC-AB,CA-CB，BA-BC成等差数列；5 3 <3 3w‘3.: +2y2= 4,•: y2= ，•: y=± .: c（ ,土 ）乌3&…—> 5 &—> 1 &当c（一,——）时,CA=（—一,———）,CB=（—一，———）22 2 2 2 22cos0=~r,\0。<0<90。，•-tan0=2同理c（3,—业3）时，tan0=—3

教学环节板书设计补充作业：—一/-一—_A在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OA\OB+OC如勺最小值是 ；—►一 —一…—. — ….fih已知向里a,b满足|a|=2,|b|=3,两向量的夹角为60，则1 —1= ;将圆X2+y2=2按向量v=(2,1)平移后，与直线X+y+人=0相切，则4的值为 ;把一个函数图像按向量a=(-,-2)平移后，得到的图象的表达式3为y=