高数下全部课件-第9章重积分

badU

—定积分.一、问题的提出(1)积分元素dU；定积分的元素法(2)把定积分的元素法推广到重积分.重积分问题:总量U

可以表示成部分量之和.部分量

f

(

x,

y)d

dU

—称为总量U

的元素.U

dU

f

(

x,

y)dD

D步骤:(1)计算总量的元素(2)求重积分.二、曲面的面积—重积分在几何中的应用设曲面S

的方程为z

f

(x,y)，(x,y)

D，其中D

为曲面在xOy

面上的投影区域.设函数f

(x,y)在D

上有一阶连续偏导数，求曲面S

的面积A.(称曲面z

f

(x,y)为“光滑曲面”)分析：把曲面细分，在每一小曲面上任取一点M求出曲面在点M

处的切平面，“以平代曲”，再求和取极限.步骤:(1)计算面积A

的元素(2)求重积分.(1)将区域D

任意划分成n

个小区域，任取其中

一个小区域d

(其面积也记作d

).取d

上一点

(x,y)，它对应曲面S

上一点M

(x,y,f

(x,y))，过点

M

作曲面S

的切平面.以d

的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小块曲面A，在切平面上截下一小块平面dA.与A

在xOy

面上的投影均为d

)A

d

dA

cos，其中n

(

fx

,

f

y

,1)

cos

1

f

2

f

2x

y1dA

1

f

2

f

2

d

—面积元素.x

yxyzd(

x,

y)MnAdAxyddAknd

dA

cosz(2)曲面

z

f

(

x,

y)

的面积x

yD

D1

f

2

f

2

d

1

(

z

)2

(

z

)2

dxdy.x

yA

yzDy

z同理可得，设曲面

S

的方程为

x

g(y,z)A

1

(

x

)2

(

x

)2

dydz.zxDz

x设曲面S

的方程为y

h(z,x)A

1

(

y

)2

(

y

)2

dzdx.例1

证明半径为a

的球面面积A

4

a2

.解以坐标原点为球心上半球面方程为

z

f

(

x,

y)

a2

x2

y2a2

x2

zx

zy

a2

x2

则

1

z2

z2

x

ya2

x2

y2.aa2

x2

y2球面面积

A

2

a

dDD：0

2

0

r

a.20

2a

a

0

a2

r

2drdr0

4

a[

a2

r

2

]a

4

a2

.1例2

求由旋转抛物面

S

：2z

x2

y2

及上半球面S

：z

3

x2

y2

所围成的 的整个表面积.2解

曲面

2z

x2

y2

及

z

3

x2

y2

所围成的区域在xOy

面上的投影为二者交线在xOy

面上的投影曲线所围成的区域.

x2

y2

2而二者交线在xOy

面上的投影曲线为

z

0故D：x2

y2

212对S

：z

1

(x2

y2

)xz

x

zyxy

z2

1

x2

y2则

1

z23

x2

y22对S

：z

3

x2

zx

3

x2

zy

则

1

z2

z2

x

y3

x2

y231

x2

y2

dxdy1DA

D：0

2，0

r

2.220021

r

rdr

d

322203

2

1[

(1

r

)

]13

2

( 3

)22233

x

yDA

dxdy

2220033

rdrdr0

2

3

[

3

r

2

]

2

2

(3

3

)3A

A1

A2

2

(3

1

3

33)

16

.三、重积分在物理中的应用—质心、转动惯量、引力1.

质心由有限个质点所组成的质点系质心坐标的求法假设在xOy

面上有n

个质点，位于Ai

(xi

,yi

)处质量为mi

(i

1,2,nynmi

xii

1mii

1MMx

,n)，令(x,y)为质心坐标，则n.xnmi

yii

1mii

1My

M由元素法x

D

y

D

.设有一平面薄片，占有xOy

面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y).假设(x,y)在D

上连续，求平面薄片的质心.

x

(

x,

y)d

y

(

x,

y)d

(

x,

y)d

(

x,

y)dD

D如果平面薄片是均匀的，则质心也称为形心.D

DA

Ax

1

xd

y

1

yd其中A

d

.D类似地，对于体密度为(x,y,z)，占有空间有界闭区域

的物体，其质心坐标为

(

x,

y,

z)dvx

y

x

(

x,

y,

z)dv

y

(

x,

y,

z)dv

(

x,

y,

z)dvz

.

z

(

x,

y,

z)dv

(

x,

y,

z)dv例3

求位于两圆

r

2sin，r

4sin

之间的均匀薄板的形心.解D

关于

y

轴对称

x

0.Dydy

AA

4

3

D：0

，2sin

r

4sin

.10

4sin2sind

1

3r

sin

rdr13r

34sin2sinsin[

]d

3

0sin4

d1

563

0

33

7

.73所以形心坐标为(0,

).2.

转动惯量由有限个质点所组成的质点系转动惯量的求法假设在

xOy

面上有

n

个质点，位于

Ai

(

xi,

yi

)

处质量为mi

(i

1,

2, ,

n)，质点系对于x

轴和y

轴的转动惯量分别为2ni

1xi

iI

m

y2ni

1yi

im

x

.I

设有一平面薄片，占有xOy

面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y).假设(x,y)在D

上连续，则平面薄片对于x

轴和y

轴的转动惯量为平面薄片对于x

轴的转动惯量为Ix

y

(

x,

y)d2D平面薄片对于y

轴的转动惯量为I

y

x

(

x,

y)d

.2D类似地，对于体密度为(x,y,z)，占有空间有界闭区域

的物体，其对于x

轴、y

轴、z轴的转动惯量分别为Ix

(

y

z

)(

x,

y,

z)dv2

2I

y

(z

x

)(

x,

y,

z)dv2

2Iz

(

x

y

)(

x,

y,

z)dv.2

2解bo例4

设有一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a,b，求该三角形对两条直角边的转动惯量.yx建立直角坐标系a1对x

轴的转动惯量为2xDI

y

dxdyy2dy

00ab(1

x

)a

dx

ab3

12对y

轴的转动惯量为2yDI

x

dxdy00ba(1

y

)x2dx

bdy

a3b

.1123.

引力设有一平面薄片，占有xOy

面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y).假设(x,y)在D

上连续，求该平面薄片对位于z轴上点P(0,0,a)处的质量为M

的质点的引力.元素法(1)将区域D任意划分成n

个直径很小的小闭区域任取其中一个小闭区域d

(其面积也记作d

).在d

上任取一点(x,y)，则dm

(x,y)d，dm集中在(x,y)上，x2

y2

a2r

2则由质点间引力公式可得dF

元素的大小为dF

GM

(x,y)d

，其中r

方向为(x,y,a)x

y

z3232322

2

2dF

(dF

,dF

,dF

)

(GM x

(

x,

y)d

,(

x2

y2

a2

) (

x2

y2

a2

)(

x

y

a

)GM y

(

x,

y)d

,

GM a

(

x,

y)d

)32(

x2

y2

a2

)

x(

x,

y)

dx