四川省宜宾市南溪2023年高三下第一次测试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为，集合，则（）A． B． C． D．2．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（）A． B． C． D．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）A． B．3 C．1 D．4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A．4 B．5 C．6 D．75．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知角的终边经过点，则的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或7．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为()A． B． C． D．8．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则A． B．C． D．9．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．0 B． C． D．110．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．11．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A． B． C． D．12．已知集合，，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量满足，且，则_________．14．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____15．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.16．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.18．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且,求点P的坐标.19．（12分）已知函数（I）当时，解不等式.（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围20．（12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，求函数在上最小值.21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．22．（10分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值5514840310972981

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.2．D【解析】

先计算，然后将进行平方，，可得结果.【详解】由题意可得：∴∴则.故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。3．D【解析】

整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.4．B【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i＜5时退出，故选B．5．C【解析】

求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意，，令，解得，，故当时，，当，，且，故方程在上有两个不同的实数根，故，解得.故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.6．B【解析】

根据三角函数的定义求得后可得结论．【详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．7．B【解析】

根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.【详解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此类推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此类推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.8．A【解析】∵集合∴∵集合∴，故选A9．B【解析】

根据题意可得平面，，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，，易得，所以，所以，故选B．10．B【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由，得，所以，.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.11．D【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.12．A【解析】

进行交集的运算即可．【详解】，1，2，，，，1，．故选：．【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．【详解】由题意，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．14．5.【解析】

由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为：5【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【解析】

求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.16．1【解析】

根据均值的定义计算．【详解】由题意，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.【详解】（1），∵，∴，∴，由题可知：，：（）.（2）因为，设，，则，，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.18．（I）．（II）【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率，即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得：∴∴椭圆的方程为．（II）设由（I）易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得，因此将问题转化为恒成立，借此不等式即可．试题解析：（Ⅰ）由得，，或，或解得：所以原不等式的解集为.（Ⅱ）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则当时，不等式恒成立；当时，解不等式得．综上．所以实数的取值范围为.20．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是【解析】

（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；

（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．【详解】函数的定义域

为．

因为，令，可得；

当时，；当时，，综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，函数在区间上是减函数，

的最小值是当，即时，函数在区间上是增函数，的最小值是当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．

又，

当时，的最小值是；

当时，的最小值为综上所述，结论为当时，函数的最小值是；

当时，函数的最小值是.【点睛】求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间