微积分总2015-2016第一学期CI期末考试题

2015-2016CI一．求解下列各题（5630分求极限

x1lim

f[ln(1x2)exx]f

求极限 (x11)tan(x11)tan x

)dxln(1x2C，求不定积分xf'(2x)dx二．求解下列各题（6636分设f ，求dy

d22xdx22x

yyx是由方程exyxye2在(11点附近确定的函数，求dyd2d2

。求不定积分

3)2dx。求不定积分x求不定积分x三．综合题（434分12.（8分设0x1，证明不等式13.（8分fx在闭区间[03上连续，在开区间(03fx)0（1）存在03πf'()f(cot（2）存在03πf'()f(cot14.(8分某公司生产某产品x件的总成本为C(0.2x20.001x3（单位：万元。xp1500.5x（单位：万元xLx15.（10分y12x2015-2016CI求极限

x1sin解原极限lim 1。x51 1lim解原极限lim

ln(3x5x

3 ln35xln

5

ln3ln

55

ln5原极限eln55

f[ln(1x2)exx]ff(1)

求极限 (x11)tan 解因lim[ln(1x(x11)tan

ln(1x2)exx1 令uln(1x2exx1

ln(1x2)exx

fu1f(1)u

f'(11

1~1x,tanx~x，以 121 1lim12

ex e1 x3 3=3ylnxx解若使曲线有水平渐近线，应有y'1lnx0xey1x 此时的切点为(e,1ey1e

f

2C，求不定积分xf'(2x)dx 解因ln(1x22x 1∴原积分2xf'(2x)d(2x)

2f(3x)，29222

f(2 94x269)ln969)ln949

Cx二．求解下列各题（6636分x

y

1ln

，求dy 解

。 x y

ln

d23131 (332lnxln(1x)1ln(3x)2ln|3x

2

y 1 3(3 3(3 y ∴y'y

1

3 2 1

x)2

1

3(3 3(3x) 则y"y' 112 2112x112 2112x 2222

yyx是由方程exyxye2在(11点附近确定的函数，求dyd2d2

。1x求导数exyyxy')1y'y'

1xexy1y"

(xexy1)2。由y。

1

yy

2ee2exyyxy1y'，直接代入x1,y1可

yy xexyyxy')2exy(2y'xy")y"代入x1,y1,y1y

。e求不定积分

3)2dx。解取换元ux3 2

u2

22原积分(u2

du du

du

2(u3) 3(u3)2222求不定积分 2解原积分2根据d(4x9)(2x4)dx，可推原积分2252552

Cx求不定积分xx解 令u ，则xu21，dx2udxu原积分u

2u2arctanuu21

du2arctanudu

arctanuduu212uarctanu

u2

duarctan2

xx2u2arctanxx解 原积分

u2

du，令varctanuutanv

du

vdvvtan2

原积分

sec2

vdv2vtanvdv2

v2vsec2vdv2vdv2vtanv2tanvdvx2vtanv2ln|cosv|v2C2uarctanuln|sec2u|arctan2uxxx

lnx

C三．综合题（434分12.（8分设0x1，证明不等式证

fx1x(1

在区间[0,112令 1x0，猜出f(x)有驻点x1x 令

1x，则 ln(1x)lnx 1 1 g

10gx在区间(01x1gx在(01 fx在在(01fx在区间[0,1x01,12f(0)

f(1)

f() fx的最大值是。 证 1设f )，则 ，f1

0x01fx

x1xx21x，则 f()2

f(2x12x2)

f(x1)

f() (1x)ln2即ln12

lnx

1=2

2

x0113.（8分fx在闭区间[03上连续，在开区间(03fx)0（1）存在03πf'()f(cot（2）存在03πf'()f(cot证（1）只需证明存在0,π使得f'(sinf(cos0Fx)

f(x)sinx，则F(x)在[0,π]满足定理的条件故存在0,πF'()0f'(sinf(cos0（2）只需证明存在03π，使得f'(sinf(cos0

Fx)sinxf(

F'(x)

f(x)cosxf'(x)sinf2x) f()0fx严格单调增加，则在区间[0,πfx)0Fx在上[0,π尔中值定理的条件，故存在0,πF'()0f'(sinf(cos0f()0fx严格单调增加，则在区间[π,2πfx)0Fx在上[π,2π满足中值定理的条件，故存在π,2π)F'()0。故结论成立。f()0fxf(2π)0[2π3πfx)0F在上[2π,3π]满足中值定理的条件，则存在(2π,3π)，使得F'()0。故结论成立14.(8分x件的总成本为

3（单位：万元xp1500.5x（单位：万元xLx（1）

L(x)xC(x)(150x0.5x2)(1800250.2x2

18001250.3x20.001x31250.6x0.003x20，得到驻点

0.6

。0L"(x0)0.60.006x00L(x0

15.（10分y12xx0y

2x2x2