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四色定理简易证明ZhouYan-hui（周彦辉）

（Freelance,Beijing100070,china）摘要：首先，证明一个多边形只需要3种颜色就可以保证相邻的边不同色。然后，将多边形的边换成折线-边界线，结论不变。最后，在地图上任选一个中心区域，以边界线的颜色代表相邻地区的颜色，即可证明只需要4种颜色就可以保证相邻的地区不同色。关键词：多边形，颜色，折线，国家，地区1、 引言四色定理是指在地图上只需四种颜色即可将所有的国家和地区分开，或者是相邻的两个国家或地区不能使用同一种颜色，只需要四种颜色就能保证这一点。四色定理曾经是一个无法证明的定理，后来科学家用计算机经过上亿次验算才得以证明，但是，还有没有更简单的证明方法呢？2、 任意一个多边形相邻的两条边若不同色，只需3种颜色。证明：多边形的两条邻边须用不同的颜色，两条被隔离的边就可以使用同一种颜色。按照这条规则，如果一个多边形的边数是偶数，只需要2种就能保证；如果一个多边形的边数是奇数，则要增加一种颜色，即需要3种颜色（见图一）。图一所示是一个七边形ABCDEFG，唯独“FG”边的颜色是绿色。如果去掉“FG”，就是一个六边形，只需要红、黄两种颜色。因此，一个多边形要保证相邻两边不同色，只需要3种颜色。3、 要保证两条相邻的边界线不同色，只需3种颜色。证明：一个国家的区域由数条边界线围成，将上述的多边形的每条边由直线段变成折线段，类似于地图上凹凸不平的边界线。折线虽然并非直线，似乎有数不清的边，但是，由于每条折线段都有两个端点，相邻的折线同样可以用不同的颜色加以区分。只要不涉及计算折线长度的问题，这个区域仍然可以按多边形处理。由前面的结论推论，要保证相邻的边界线不同色，只需3种颜色（见图二）。4、 地图上相邻的两个国家不能使用同一种颜色，那么，只要4种颜色就能保证这一点。证明：在地图上任意取一块地区作为中心区域O,它和周围地区的分界线就构成一个不规则的“多边形”。以每条边的颜色代表相邻地区的颜色，只要保证将邻边的颜色区分开来，就可以将地区之间的颜色分开（见图三）。根据上面的推论，一个多边形只需要3种颜色，就能保证相邻的边不同色，再加上中心区域的一种颜色，共计4种。即用4种颜色即可将地图上的中心区域和相邻的区域彼此都分开。由于中心区域的形状是任意的，而且，它的周围任意两个国家或地区都已经

分开了，结论对任何地方都适用。即用4种颜色就可以将地图上所有国家和地区分开。中心区域可以移动到任何一个位置，例如，将中心移到FE地区，FE地区目前的三个近邻用三个不同颜色标记，如果在它的上方再出现一个邻居，必然和O地区相隔离，两者可以使用同一颜色-白色（见图四）。如果中心区域出现了国中之国，

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