2014年秋全优课堂高中数学配人教版必修四同步课件第一章三角函数13份

导引对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x

取定义域内的每一个值时，都有

f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数．非零的常数T

叫做这个函数的

周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的

最小正周期．正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z

且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是

2π

．

π

π3．由sin(－x)＝－sin

x可知，正弦函数是

奇

函数；由cos(－x)＝

cos

x

可知，余弦函数是

偶函数．正弦函数在每一个闭区间－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上都是

增

函数，其值从

－1

增大π3π到

1

；在每一个闭区间2＋2kπ，

2

＋2kπ(k∈Z)上都是减函数，其值从

1

减小到

－1

．余弦函数在每一个闭区间

[2kπ－π，2kπ_](k∈Z)上都是

增

函数，

其值从

－1

增大

到

1

；

在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都是减函数，其值从1

减小到－1

．时取得最小值－1；余弦函数当且仅当

x＝

2kπ(k∈Z)

时取得最大值

1，当且仅当

x＝

π＋2kπ(k∈Z)

时取得最小值－1.5．正弦函数和余弦函数的定义域都是

R

，值域都是[－1,1]．π4．正弦函数当且仅当

x＝

2＋2kπ(k∈Z)

时取得最大值

1，当π且仅当

x＝

－2＋2kπ(k∈Z)自主探究若f(x)是以

2

为周期的奇函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋721，求

f

的值．7331

12

2

2

2

2解：由已知得，f

＝f

＋2＝f

＝f－

＋2＝f－

，而

x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，2

1

12所以f－＝2×－＋1＝0，72所以

f

＝0.预习1.

(2013

年崇明一模)设函数

f(x)=|sin

x|,x∈R

,则下列结论错误的是(

)A.f(x)的值域为［0,1］B.f(x)是偶函数C.f(x)不是周期函数

D.f(x)不是单调函数【答案】C2．函数

y＝cos

x

的图象的一个对称中心是()A．(0,1)π

B．2，0C．(π，－1)3πD．

2

，1【答案】B3．y＝sin

3x

的最小正周期是

．4．函数

y＝－3cos

x

的值域是

．【答案】[－3,3]2π【答案】3要点阐释1．正弦函数和余弦函数的周期有无数个，2kπ(k∈Z

且k≠0)都是它们的周期，其中2π

是它们的最小正周期．一般地，今后所说的三角函数的周期，如不加特别说明，一般都是指它们的最小正周期．周期函数的周期不止一个，若T

是周期，则kT(k∈Z

且k≠0)一定是函数的周期．在周期函数中，设T

是周期，若

x

是定义域内的一个值，则

x＋kT(k∈Z

且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定

是

无

限

集

，

当

然

这

里

无

限

集

不

一

定

是

R

，

如πx∈R|x≠kπ＋2，k∈Z也是一个无限集．根据正弦函数和余弦函数的奇偶性和周期性可知，正弦曲线和余弦曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．过它们的最高点或最低点且垂直于x

轴的直线都是它们的对称轴；它们与x

轴的交点都是它们的对称中心．正弦函数和余弦函数的单调区间有无数个，书写一个具体的正弦函数和余弦函数的单调区间时，应把这些单调区间分开写，切忌写成并集．典例剖析知识点

1求正弦函数与余弦函数的周期3

π2

3【例

1】

求函数

f(x)＝4sin

x＋

的周期．2π思路点拨：函数

f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为

T＝

w

.2

33

π

3π2

332π3解：f(x)＝4sin

x＋

＝4sin

x＋

＋2π

＝4sin

x＋2π＋

＝4π3

π3

4π4sin2x＋

3

＋

＝fx＋

3

.故所求周期T＝

34π.1．函数

y＝|sin

x|的周期为

．【答案】π知识点

2

判断函数的奇偶性【例

2】判断下列函数的奇偶性：f(x)＝lg(1－sin

x)－lg(1＋sin

x)；1－cos2xf(x)＝

1－sin

x

.思路点拨：先看定义域是否关于原点对称，再看

f(x)与f(－x)的关系．解：(1)

由1－sin

x＞0，1＋sin

x＞0，得－1

＜sinx

＜1

，可见其定义域πx∈R|x≠kπ＋2，k∈Z关于原点对称．又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin

x)－lg(1－sin

x)＝－f(x)，所以

f(x)＝lg(1－sin

x)－lg(1＋sin

x)为奇函数．(2)由1－sin

x≠0，得

sin

x≠1，即定义域为

πZ

x|x∈R，且x≠2kπ＋2，k∈

，

这个定义域不关于原点对1－cos2x称．故函数f(x)＝

1－sin

x

既不是奇函数也不是偶函数．

π

2．函数

f(x)＝xsin2－x是()A．奇函数

B．非奇非偶函数C．偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A知识点

3求正、余弦函数的单调区间和最值或值域【例

3】

π(1)求函数

y＝sin3－2x的单调递减区间；25π3 6

(2)求函数

y＝3cos

x＋

－2

的值域．思路点拨：先把

x

的系数化为正，再利用整体代换求出单调区间；利用cos

x

的值域求解．解：π

π(1)将y＝sin3－2x化为y＝－sin2x－3，可见，欲求y＝π

πsin3－2x的单调递减区间，只需求y＝－sin2x－3的单调递减区π

π

π

π

5π间．于是由－2＋2kπ≤2x－3≤2＋2kπ(k∈Z)解得－12＋kπ≤x≤12＋kπ(k∈Z)，故所求函数的单调递减区间为

π

5π－12＋kπ，12＋kπ(k∈Z)．25π25π3 6

3 6

(2)由－1≤cos

x＋

≤1，得到－3≤3cos

x＋

≤3，5π3 6

2

25π3 6

－5≤3cos

x＋

－2≤1，故函数

y＝3cos

x＋

－2

的值域为[－5,1]．方法点评：求函数

y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R

及y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R的单调区间，当式中

x

的系数为负时，应先利用诱导公式将

x

的系数化为正数再求其单调区间．求函数

y＝Asin(ωx＋φ)＋k，x∈R

及y＝Acos(ωx＋φ)＋k，x∈R

的最值与值域，应将

ωx＋φ

看作整体

X，先求出

sin

X

与cos

X的最值与值域，再求出

Asin

X

与Acos

X

的最值与值域，接着求出

Asin

X＋k

与Acos

x＋k

的最值与值域，即为函数

y＝Asin(ωx＋φ)＋k，x∈R

及y＝Acos(ωx＋φ)＋k，x∈R

的最值与值域．3．求下列函数的最大值与最小值：3cos

x－1(1)y＝

cos

x＋2

；π3ππ3

6(2)y＝3－2cos2x＋

，x∈－

，.解：3cos

x－1

2y＋1(1)由y＝

cos

x＋2

，得

cos

x＝

3－y

.2y＋1因为|cos

x|≤1，所以

3－y

≤1，

即|2y＋1|≤|y－3|，(2y＋1)2≤(y－3)2，2整理得

3y2＋10y－8≤0，解得－4≤y≤3.2故所最大值为3，最小值为－4.

ππ(2)因为

x∈－3，6，π2π

π3

3

π

2π13 3

2所以

2x∈－

3

，

，2x＋

∈－

，

，从而－

≤cos2x＋

π3ππ3

3≤1，－2≤－2cos2x＋

≤－1，1≤3－2cos2x＋

≤4.π3ππ3

6故y＝3－2cos2x＋，x∈－，的最大值为

4，最小值为

1.误区而出错在求

msin

x

的最值时，不考虑

msin

x

中m

的符号【例题】

已知函数

y＝a＋bsin

x

的

3

1最大值是2，最小值是－2求a，b

的值．错解：由题意可得，2

3a＋b＝

，1a－b＝－2，解得1a＝2，b＝1.错因分析