2020年全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）IX+y二12方程组/的实数解的个数为（）x+|y|二6（A）1（B）2（C）3（D）4解：选（A）。当x±0时，则有y—|y|=6,无解；当x〈0时，则y+|y|=18，解得：y=9,此时x=—3.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A）14（B）16（C）18（D）20解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5）,黑球（0,1,2,3）共4X4=16种已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,a2b2c2TOC\o"1-5"\h\zbx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则厂+一+的值为（）bccaab（A）0（B）1（C）2（D）3解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t,则at2+bt+c=0,bt2+ct+a=0,ct2+at+b=0C三式相加得：(a+b+c)(t2+1+1)=0,因为t2+1+1丰0,所以有a+b+c=0，从而有a3+b3+c3=3abc,Ca2b2c2a3+b3+c33abc所以一+—+===3bccaababcabc4.已知△ABC为锐角三角形，00经过点B,C,且与边AB,AC分别相（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心交于点D,E.（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F,由题意知：0O与OF是等圆，B且弧DmE=弧DnE，所以ZEAB=ZABE,ZDAC=ZACD,即厶ABE与厶ACD都是等腰三角形。分别过点E,F作AB,AC边上的垂线,相交于点H,则点H是厶ABC的外心。又因为ZKHD=ZACD,所以ZDHE+ZACD=ZDHE+ZKHD=180°，即点H,D,C,E在同一个圆上,也即点H在0O上，因而0O经过AABC的外心。5.方程x3+6x2+5x二y3-y+2的整数解（x,y）的个数是（）（A）0（B）1（C）3（D）无穷多解：选（A）。原方程可变形为：x（x+1）（x+2）+3x（x+1）=y（y-1）（y+1）+2,左边是6的倍数，而右边不是62020年全国初中数学竞赛试题及答案2020年全国初中数学竞赛试题及答案第6题图A第7题图GD第8题图第6题图A第7题图GD第8题图E(1)若图像的顶点在AB上，则有<(2)若图像的顶点在x轴下方，则有f(1)=1+a—3+3<0f(2)=4+2(a—3)+3>0,或［f⑴=1+a—3+3>0旦|f(2)=4+2(a—3)+3<0,3J36.如图，点A,C都在函数y=(x>0)的图像上，点B,D都在x轴上,x且使得△OAB,△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为解：填D(2j6,0)。设OB=2a,BD=2b，由△OAB,ABCD都是等边三角形，得A(a,J3a),C(2a+b,J3b),把点A,c坐标代入y=吏3，解得：a=•'J3,b=a/6—^J3,x即D(2a+2b,0)二D(2j6,0)7.如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,CA=4.点P是半圆弧AC的中点，连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值解：填4。连结OP,OB,则所求面积之差的绝对值=2S+2S=2S=2X2X2三2=4。AOPQAOBQAOPB8.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=n・90°，贝yn=解：填6。如图：ZA+ZE+ZF=360°-Za,ZB+ZC+ZG=360°-ZB,所以ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=(360°-Za)+(360°-ZB)+ZDC=540°=6x90°9.已知点A，B的坐标分别为(1,0)，(2，0).若二次函数y二x2+(a-3)x+3的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是.解：填—1Wa<——,或a=3—2、：3^21<—<22解得:A=(a—3)2—12=0,分别解之，得—1<a<—2,综上，得：—1<a10•已知对于任意正整数10•已知对于任意正整数n，都有ai+a2+…+aTOC\o"1-5"\h\z=n3，贝U++...+=a-1a-1a-1解：填3323解：填33。由a+a+...+a=n3及a+a+...+a=(n—1)3得a=n—(n—1)3=3n(n—1)+110012n12n—1n111/1110011闻/111133所以==一(-)，于是=(-)=(1-)=—a-13n(n-1)3n-1na-13n-1n3100100nn=2nn=2三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)

11.已知抛物线C:y=—x2—3x+4和抛物线C:y=x2—3x—4相交于A，B两点.点P在抛物线1211.已知抛物线C:y=—x2—3x+4和抛物线C:y=x2—3x—4相交于A，B两点.点P在抛物线12q上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C上，也位于点A和点B之间.（1）求线段AB的长;(2)当PQ〃y轴时，求PQ长度的最大值.48|y解:(1)由y=—x2—3x+4解得y=x2—3x—4x=62或y=6,x=2y=—6,f(x)=(-x2-3-x)+42不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）-5所以AB=、&(—2+2)2+(—6—6)2=4\：'10(2)设P(a,b)，则-2WaW2,y=b=—a2—3a+4，p因为PQ〃y轴，所以点Q的横坐标为a,则爲=a2—3a—4所以PQ=y—y=(—a2—3a+4)—(a2—3a—4)=—2a2+8pQ即当a=0(属于-2WaW2)-4Q-6时，PQ的最大值为8。-812.已知a，b都是正整数,i-io试问关于x的方程x2—abx+2（a+b）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有,请给出证明.-12解：假设方程x2-abx+2（a+b）=0有两个整数解为xi，'由x+x=ab>0,xx=十(a+b)>0知x>0,x>0，1212212下证(1)x丰x12事实上，若x=x，则A=(ab)2—2(a+b)=0，(ab)2=2(a+b)，12即ab=汲^%=2(++1)<2(1+1)=4，因a，b为正整数，所以ab=l,2，3或4,abab易知不存在a,b的值满足(ab)2=2(a+b)(2)不妨设x<x122xxa+b11贝y——==+—<2，即xx<x+x<2x,x+xabab1212212所以有x<2，因x是正整数，故x=1111把x=1代入原方程得，1一ab+1(a+b)=0即2ab—(a+b)—2=0，也即4ab—2(a+b)+1=512所以(2a—1)(2b—1)=5，因a,b都是正整数，解得:a=1Ia=3

b=3或［b解得:a=1Ia=3

b=3或［b=1,2b—1=5,或b—1=1,由x+x=ab得x=lx3一1=2122

综上，存在正整数a=l,b=3或a=3,b=l，使得方程x2-abx+2（a+b）二0综上，存在正整数a=l,b=3或a=3,b=l，使得方程x2-abx+2（a+b）二0有两个整数解为X1-1，x2=2。13.如图，点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上，且满足D二CFAD~BC．若CD，FE的延长线相交于点G,ADEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD.求证：1）(2)APABsAPDC.证明：（1）连结PG,PE,PF,四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆ZPGE+ZPDE_180。ZPGF+ZPCF_180。,nZPDE_ZPCF上PED_ZPGD_ZPFCPDDEn_—PCCFADDEAD_PD

~BC~~PC\nAPCEBCCFZPDE_ZPCFnZPDA_ZPCB2)ADPD\nAPADAPBCnBCPCZAPD_ZBPCnZAPB_ZDPC、<PAPDPAPB|nAPABAPDC〔PBPCPDPCJ14.(1)是否存在正整数m,n，使得m(m+2)_n(n+1)?(2)设k(k>3)是给定的正整数，是否存在正整数m,n，使得m(m+k)_n(n+1)?解：(1)由m(m+2)_n(n+1)得：(m+1)2_n2+n+1又因为当n为正整数时，n2<n2+n+1<(n+1)2，所以n2+n+1不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数m,n，使得m(m+2)_n(n+1)(2)当k=3时，由m(m+3)_n(n+1)得：m2+3m一n(n+1)_0,若关于m的方程有正整数解，则A_9+4n(n+1)_8+(2n+1)2_l2(l为正整数)，即12-(2n+1)2_&[1+(2n+1)][(l-(2n+1)]_8

+(2n+1)二8亠+(2n+1)二4所以<,或<,[1-(2n+1)二1[1-(2n+1)二2解得：n二5,0所以不存在正整数m,n，使得m(m+k)=n(n+1)。4当k>3时，①若k=2t(t>2的正整数)，代入m(m+k)=n(n+1)。整理得m2+2tm一n(n+1)=0设A=4t2+4n(n+1)=(4t2一1)+(2n+1)2=12(1为正整数)即12-(2n+1)2=4t2―1,1+(2n+1)][(1-(2n+1)]=(4t2―1)x1，解得“，此时m=—^2tL=-2t；2t2=12—tIn=12-122，解得“，此时m=—^2tL=-2t；2t2=12—tIn=12-122②若k=2t+1(t>2的正整数)，代入m(m+k)=n(n+1)。整理得m2+(2t+1)m一n(n+1)=0设A=(2t+1)2+4n(n+1)=4t(t+1)+(2n+1)2=12(1为正整数)即12-(2n+1)2=4t(t+1),[1+(2n+1)][(1-(2n+1)]=2t(t+1)x21+1+(2n+1)=2t(t+