材料力学课件-04弯曲内力

4.1

弯曲的概念和实例一、弯曲的概念1.

工程实例起重机大梁车

轴阳台挑梁2.

弯曲的概念qFFRAFRB⑴受力特点：杆件所受外力均垂直于轴线。⑵变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件。二、平面弯曲的概念四、五、六章中所

的弯曲限制在如下范围内：1.

杆的横截面至少有一根对称轴。——

一个纵称面对称轴对称轴对称轴对称轴F1F2q纵称面Me2.杆件所受外力均垂直于轴线，且位于梁的纵

称面内。——受力特点3.

杆件轴线由直线变为一条纵称面内的曲线。——变形特点4.2

受弯杆件的简化一、梁的简化对于平面弯曲的直梁，外力为作用在纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常用梁的轴线来代表梁。二、支座的简化1.

固定铰支座A

A

A2.

滚动铰支座FAyFAxAA

A3.

固定端支座AFAyMAFAxFAy三、载荷的简化FMeq集中载荷F分布载荷q集中力偶Me四、

定梁

基

形FRFR1.

悬臂梁lAB

一端固定端支座一端B一端固定铰支座一端滚动铰支座2.

简支梁

Al3.

外伸梁简支梁的一端或两端伸出支座外

A

B

l⑴起重机大梁简化实例：ABFq⑶阳台挑梁⑵火车轮轴AqABFF4.3

剪力和弯矩一、梁的内力试求图示简支梁m-m截面的内力。FamlABFFmxAB解：1.

求支反力研究整体，受力如图。FaFAx

0Fx

0，ABMB

，

Fa

FAyl

Fy

0

，

FAy

FB

F

0FAyFAxFBFAx

以后可省略不求AyFBl

l

Fa

F

F

(l

a)F

FaF

F

(l

a)A

Bl

lFaABmmx2.

截面法求内力研究m-m截面左段，受力如图。Fy

0，

FA

FS

0lFAFBFSMFalFS

FA

AFAO.xM

，M

F x

剪力FS

：平行于横截面的内力。FaFSOAAM

F x

Fa

xBFBMl弯矩M：垂直于横截面的内力偶矩。研究m-m截面右段，可得相同结果。二、内力正负号规定⑴使梁顺时针转动的剪力为正；FS（＋）FS⑵使梁下部受拉的弯矩为正。（＋）MM三、简便法求内力1.

横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上所有外力的代数和——FS

=

Fi左(右)截面左侧梁段向上的外力，或者截面右侧梁段向下的外力将引起正的剪力；反之为负。——左上右下剪力为正2.

横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上所有外力对该截面形心力矩之代数和——M

=

MOi截面左侧梁段顺时针转向的外力偶，或者截面右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正的弯矩；反之为负。——左顺右逆弯矩为正例1

求图示简支梁E截面内力。2FeM

=Fa解：

1.

确定支反力M

0F

FABDF

0AB3

5F

yAFFBFAC

E1.5aaaa2F32.

研究截面左侧FSEAy

F

03

5FSE2F

FSEF

F33FaFAC

E1.5aME3

2a

0

2F

M

E

22M

E5F

3aF3.

研究截面右侧可求得相同结果MEBE

D

MEMe=FaSEFB.

aBF

F3AF

5F2FeM

=Fa34、简便法求内力ABDSF =

Fi左左上为正FBFAC

E1.5aaaa2FSEF2F

F3

5FAM=

MOi左3左顺为正FAC

E1.5aFSEMEE2作业：4.1（c）（f）

（g）3

2

2M

5F

3a

2F

a

3

Fa4.4

剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程是表示梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式FS

FS(x)、M

M(x)，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。二、剪力图和弯矩图显示剪力和弯矩随截面变化规律的图形。三、作图步骤求支反力（悬臂梁可不求支反力）列内力方程根据内力方程画内力图(弯矩画在受压一侧)注意：⑴ 在集中力、集中力偶的作用点和分布载荷的起止点处，内力方程可能发生变化，这些点均为内力方程的分段点，分段点所在截面为控制截面。⑵

在集中力作用截面

剪力方程为开区间；在集中力偶作用截面，弯矩方程为开区间。a

a

FFMe(0

<

x

<

a)(0

≤

x

<

a)FS图MFS图yq例1

试写出图示梁的剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。xBxAlFAFBqlFS2+Mxql23ql2ql22-x323ql

328+解：1.

确定约束力由对称性知：FA

FB

ql

2列剪力、弯矩方程FS

x

ql

/

2

qx

0

x

l

M

x

qlx

/

2

qx2

/2

0

x

l

依方程画出剪力图和弯矩图称，弯矩图对称。载荷对称、结构对称，则剪力图剪力为零的截面弯矩有极值。FCab例2

试写出图示梁的剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1.确定约束力x2x1BAlFAFBB

y

M

0，

F

0Fb

lFSxFA

Fb

l，

FB

Fa

l2.列剪力、弯矩方程+AC:

F

x

Fb

/

l

0

x

a10

x1

aa

x2

l

S

1M

x1

Fbx1

/

lCB:

FS

x2

Fa

/

lM

x2

Fal

x2

/

lFal-FabM+lx2a

x

l

*

在集中力作用截面剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折（尖角）。3.依方程画出剪力、弯矩图abBAl例3

试写出图示梁的剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力x2x1MCFAFBB

y

M

0，

F

0MlFA

M l，

FB

M l

()2．列剪力、弯矩方程FS

x1

M

/

l

0

x1

a

M

x1

Mx1

/

l

0

x1

aAC:sF

图+MaCB:S

2F

x

M

/

l

0

x

bM

x2

Mx2

/

l20

x2

bM图+lMb-l3.

依方程画出剪力图、弯矩图作业：4.2

（a）

（j）

（l）*集中力偶作用截面剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值大小等于集

中力偶矩的大小。*平面刚架的内力图FS一、刚架用刚性接头连接的杆系结构。刚性接头的特点：约束——限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移。FN受力——既可传递力，也可传递力偶矩。平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。特点：刚架各杆横截面上的内力有：FS、M、FN。二、内力图规定弯矩图：画在各杆受压一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。三、平面刚架分类简支刚架悬臂刚架三铰刚架主从刚架BaF2F1Cx1x2例试作图示刚架的内力图。解：悬臂刚架可不求固定端约束力。1.

列内力方程

2.

做内力图N

1CB杆：F

x

0FS

x1

F1lM

(x1

)

F1x1(杆的内侧受压)

(杆的内侧受压)BA杆：FN

x2

F1FS

x2

F2M

x2

F1a

F2

x2AF1F1aF1aF1F2FN图FS图F1a+F2lM图4.5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系q(x)以向上为正值。取微段的平衡：Fy＝0FS(x)

FS

(x)

dFS(x)

q(x)dx

0略去二阶微量后得：OM

＝0S2M

(x)

dM

(x)

M

(x)

F

(x)dx

q(x)dx

dx

0q(x)d2

M

(x)

dM

(x)dF

(x)d

x2

FS(x)d

x

S

q(x)dx二、微分关系应用

q(x)d

x2d2

M

(x)

FS

(x)dM

(x)d

xdF

(x)

S

q(x)dxq图FS图M图q=0（一段）水平线（一段）斜直线（水平线）q<0（↓水平线）斜直线（斜向下）二次抛物线（开口向下）q>0（↑水平线）斜直线（斜向上）二次抛物线（开口向上）FS=0（一段）水平线FS=0（一点）有极值集中力作用面有突变有尖角集中力偶作用面无变化有突变利用上表，除可以校核按内力方程法作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程。三、简易法作内力图步骤1.求支座约束力；（悬臂梁可不求）2.求控制截面内力；一算一判3.根据微分关系分段判断内力图形状；二判二算4.根据形状连接控制截面内力。三连线三连线BA1kN·mCD1.5mFAFB2kN1.5m

1.5m例1简支梁受力如图示，试画出其剪力图和弯矩图。解1：1．确定约束力截面AC左C右D左D右BFs-0.89-0.89-0.89-0.891.111.11M0-1.34-0.34-1.67-1.6701.11xFS/kN+O0.89M

/kN·m-xOMB＝0，

Fy＝0FA＝

.89kN，

FB＝1.11kN2.确定控制截面集中力和力偶两侧及支座内侧为控制截面。计算控制截面内力判断内力图形状并连线一算、二判、三连线1.341.670.34-BA1kN·mCD1.5mFAFB2kN1.5m

1.5m1.11+FS图（

kN）0.89解2：1．确定约束力FA＝0.89kN，

FB＝1.11kN2.分两段画剪力图AD段：水平线，定一点

DB段：水平线，定一点3.分三段画弯矩图AC段：斜直线，定两点-M图（

kN·m

）-CD段：斜直线 定两点DB段：斜直线，定一点一判、二算、三连线1.34

0.341.67qaq例2

试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。BAaCaaDMAFAFBqa解：1．确定约束力q

BCDFDFBqa/2++FS图qa/2D

0

F

3qa

/

2研究DC：M研究整体：

Fy

0-BFA

qa

2MA

qa2

/

2M图MA

0--qa2/2作业：4.4qa2/2（a）（b）4.11

（a）（b）2．画剪力、弯矩图特点：铰链传力不传力偶，与中间铰相连S的横截面上，M为零，

F

不一定为零。四、叠加法作内力图前提条件：⑴小变形（原始尺寸原理）；⑵所求参数（内力、应力、变形）与外力满足线性关系。叠加原理：多个载荷同时作用下所引起的内力等于每个载荷单独作用下所引起的内力的代数和。FS(F1,

F2,

,

Fn

)

FS1(F1)

FS2

(F2

)

M(Fn

)F

,

F

,

,

FFi

——广义力1

2

n

M1

F1

M

2

F2