高数上册归纳公式篇完整

公式篇目录一、函数与极限常用双曲函数常用等价无穷小两个重要极限二、导数与微分常用三角函数与反三角函数的导数公式n阶导数公式高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较参数方程求导公式微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用一阶中值定理高阶中值定理部分函数使用麦克劳林公式展开曲率四、定积分部分三角函数的不定积分几个简单分式的不定积分五、不定积分利用定积分计算极限积分上限函数的导数牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理三角相关定积分典型反常积分的敛散性Γ函数(选)六、定积分的应用平面图形面积体积弧微分公式七、微分方程可降阶方程变系数线性微分方程常系数齐次线性方程的通解二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))常用等价无穷小(x→0时)两个重要极限二、导数与微分常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号 )n阶导数公式特别地,若n高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身参数方程求导公式5.微分近似计算( x很小时)( 注意与拉格朗日中值定理比较 )常用:( 与等价无穷小相联记忆 )三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理 ( f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导)罗尔定理( 端点值相等 f(a) f(b))拉格朗日中值定理柯西中值定理 (g'(x) 0≠0)2.高阶中值定理 ( f(x)在(a,b)上有直到(n 1)阶导数)泰勒中值定理Rn为余项( ξ在x和x0之间)令x0 0,得到麦克劳林公式部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)曲率四、不定积分部分三角函数的不定积分几个简单分式的不定积分五、定积分利用定积分计算极限积分上限函数的导数推广得牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)积分中值定理函数f(x)在[a,b]上可积f( )称为f(x)在[a,b]上的平均值三角相关定积分三角函数系的正交性典型反常积分的敛散性无穷限的反常积分推论1瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence: 发散Γ函数(选)(1)递推公式:推论:欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用平面图形面积直角坐标:由曲线y f(x) 0及x a,x b与x轴围成图形极坐标:有曲线 ( )及 , 围成图形体积绕x轴旋转体体积平行截面面积已知的立体的体积平行截面(与x轴垂直)面积为A(x)弧微分公式直角坐标:极坐标:七、微分方程可降阶方程(1)y(n) f(x)型次积分得y"f(x,y')型作换元p y'得p' f(x,p)得通解p (x,C1)则y(x,C1)dxC2y"f(y,y')型作换元py',y"dppdp,pdpf(y,p)dxdxdx得通解pdy(y,C1)dx则dyxC2(y,C1)变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程 :y'P(x)y Q(x)对应齐次方程:P(x)dxy'P(x)y0的通解为YCe原方程y'P(x)yQ(x)的通解为一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和高阶线性微分方程对应齐次方程为y(n)P1(x)y(n1)Pn1(x)y'Pn(x)y0若y1(x),y2(x),,yn(x)为齐次方程n个线性无关解则齐次方程的通解为 Y(x) C1y1(x) C2y2(x) Cnyn(x)若y*(x)为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为yY(x)y*(x)常系数齐次线性方程的通解二阶方程y"pyq0特征方程为r2prq0①0,两个不等实根r1bb2a,r22a通解为yC1er1xC2er2x②0,两个相等实根r1r2p2通解为y (C1 C2x)er1x③0,一对共轭复根r1i,r2p,i,22通解为yex(cosxC2sinx)C1(2)高阶方程y(n)p1y(n1)pn1y'pny0特征方程为rnp1rn1pn1rpn0对于其中的根 r的对应项①实根r一个单实根:Cerx一个k重实根:(C1C2xCkxk1)erx②复根r1,2i一对单复根:ex(C1cosxC2sinx)一对k重复根:ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx]通解为对应项之和二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式y"

py'

qy

f(x),

对应的特征方程为

r2

pr

q 0(1)

f(x)

exPm(x)

Pm

(x)

为

x的

m次多项式特解形式为

y*

xkQm(x)e

xQm(x)是x的m次多项式(2)f(x)ex[Pl(1)(x)cosxPn(2)(x)sinx]Pl(1)(x),Pn(2)(x)分别为x的l,n次多项式特解形式为y*xk[Q(x)cosxR(x)sinx]exmmm max{l,n},Qm(x),Rm(x)为x的m次多项式记z i特殊形式方程(选)伯努利方程dy nP(x)y Q(x)y ( n 0,1)令z y1n,dz (1 n)