2020-2021济南市高三数学上期末一模试题带答案

2020-2021济南市高三数学上期末一模试题带答案一、选择题4y1.若正实数x,y满足一+—=1，且x+>a2-3a恒成立，则实数a的取值范围为xy4()A()A.[-1,4]B.(一1,4)C.[-4,1]D.(-4,1)2.已知数列怠｝2.已知数列怠｝的前n项和S二n2nn（）A.T=（-1〉xnnC.T=-nnb=(-1)na则数列(b}的前n项和T满足nnnnB.T=nn\n,n为偶数，DT=<.n-2n,n为奇数.3.在AABC中,a,3.在AABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若A=牛b=1,AABC的面积为#A．2B.朽24.若a<0<b，则下列不等式恒成立的是11A.>-B.-a>bC．a2>b2则a的值为（）abD．1D.a3<b35．设x，y满足约束条件x+y—】>0,则-的取值范围是（xy<2A.(-8,-2)U[2,+a)B.(-2,2]C.(-8,-2^J[2,+8)D.[-2,2]”x一y+1<0）x>0若目标函数z=的最小值为6.已知实数x、y满足约束条件｛y若目标函数z=的最小值为xy—

——+丄<1

、3a4a32，则正实数a的值为()A．4B．3C．2D．13+logx,x>07.已知函数f(x)={2，则不等式f(x)<5的解集为()x2一x一1,x<0A.[-1,1]B.[-2,4]C.(-2,-2l(0,4)D.(-a,-2L[0,4]已知等差数列｛a｝满足a+a二4,a+a=10，则它的前10项的和S二()TOC\o"1-5"\h\zn243510A.138B.135C.95D.23x+y—7£0,设x，y满足约束条件］x-3y+K0,则z=2x-y的最大值为().3x—y—5》0,A.10B.8C.3D.2若a、b、c>0且a(a+b+c)+bc=4—2*3，则2a+b+c的最小值为()a.3—1B.3+1C.2、运+2D.2朽—2在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A设S为等差数列｛a｝的前n项和，(n+1)S<nS(neN*).若厶<—1，则()nnnn+1a7A.S的最大值为S8B.S的最小值为S8C.S的最大值为S7D.S的最小值为S7n8n8n7n7二、填空题Sb若几为等比数列:®計的前n项的和，旳—呵U,贝J=S3已知数列⑺｝中，其中a二9999，a=(a)a1，那么log99a100=n1nn-199100已知S为数列｛a“｝的前n项和，且a2—a=a2—1，S=a2，则｛a“｝的首项的所TOC\o"1-5"\h\znnn+1n+1n1313n有可能值为在△ABC中，角A，b，C所对的边分别为a，b，c，若三角形的面积斤S=—(a2+b2-c2)，则角C=.42KABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=5bcosA，asinA-bsinB=2sinC，则边c的值为.设(1+x)1+(1+x)2+•••+(1+x)n=a+ax+ax2+•••+axn，其中neN*，且012nnn2，若a+a+a+•—+a=1022，贝yn=43已知a>0，b>0，且a+3b=1，贝ij+—的最小值是.ab等差数列｛a｝前9项的和等于前4项的和•若a=1，a+a4=0，则k=_.n1k4三、解答题已知在等比数列｛a｝中，a=1，且a。是a1和a3-1的等差中项.n1213(1)求数列｛a｝的通项公式；n

(2)若数列｛b｝满足b=2n-1+A(neN*),求｛b｝的前n项和S.nnnnn已知等差数列｛A｝的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为n50.求数列｛A｝的项数；n求A+A+•••+A的值.212230△ABC的内角A,B,C的对边分别为A,b,c，且A(J3sinB—cosC)=(c—b)cosA.(1)求A；兀(2)若b=\i3，点D在BC边上，CD—2，ZADC=—，求△ABC的面积.已知公比为4的等比数列｛A｝的前n项和为s，且s—85.nn4求数列｛A｝的通项公式；n求数列｛(n—1)A｝的前n项和T.nn在等比数列｛A｝中，A—1，且A是A与a-1的等差中项.n1213求数列｛A｝的通项公式；n若数列｛b｝满足b—n(neN*)，求数列｛b｝的前n项和s.nnn(n+1)nn1|.已知函数/(x)=|x-1+x+1|.(1)解不等式f(x)<2；2)设函数f(x)的最小值为m，若a，b均为正数，且丄+4二m，求a+b的最小ab值．参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】ry)r14)X+二一+—14丿1xY丿【分析】y，结合基本不等式可求得x+才>4，从而得到关于a的不

等式，解不等式求得结果.详解】y竺+丄y4x・.・x〉0,y>竺+丄y4x・.・x〉0,y>04x-x>0y丄>04x4x（当且仅当——二y即4x4x（当且仅当——二y即4x二y时取等号）=-1+2xife存-(2n-1)x3+1=2Sn,=(-1)nn,4xy4xy+>2•=2y4xy4x二x+—>4•••a2-3a<4，解得:ae(-1,4)本题正确选项：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.2．A解析：A【解析】【分析】先根据S=n2,求出数列｛d｝的通项公式，然后利用错位相减法求出他｝的前n项和T.TOC\o"1-5"\h\znnnn【详解】解:S=n2,.・.当n=1时,a二S=1；n11当n>2时,a=S一S=n2-(n-1)2=2n-1,nnn-1又当n=1时,a〔=1符合上式,・：a=2n一1,1nb=(-1)na=(-1)n(2n-1),nn.・・T=1x(-1)+3x(-1)2+5x(-1》+•••+(-1》(2n-1)①，n.・・-T=1x(-1)2+3x(-1》+5x(-1)4+•••+(-1》+1(2n-1)②，n⑪②，得2T=-1+2x(-1)2+(-11+(-1》+•••+(—1)n-(2n-1)x(-1)n+1nL_・・・数列的前n项和Tn=（-1儿.故选:A.【点睛】本题考查了根据数列的前n项和求通项公式和错位相减法求数列的前n项和,考查了计算能力，属中档题.3.B解析：B【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得1xlxcsin—hc二2,由余弦定理32得.=斗考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理.4.D解析：D【解析】•/a<0<b・••设a=-1,b=1代入可知A，B，C均不正确对于D，根据幕函数的性质即可判断正确故选D5.A解析：A【解析】【分析】根据题意，作出可行域，分析-的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率，x根据图象即可求解.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，-的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率，由[xy+1—°，得点A的x[y—2坐标为(1,2)，所以koA=2，同理，kQB=-2，所以兰的取值范围是(一8,-2)U〔2,+8).x

故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型6.D解析：D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.【详解】目标函数z=二三=x+1+2Y+"=1+2X斗,TOC\o"1-5"\h\zx+1x+1x+1设k二£，则k的几何意义是区域内的点与定点D(-1,-1)连线的斜率,x+1x+2y+333若目标函数Z二的最小值为恳，即z=1+2k的最小值是恳，x+122由1+2k=3，得k=1，即k的最小值是1，244作出不等式组对应的平面区域如图：114'由斜率的意义知过D的直线经过B(3a‘o)时，直线的斜率k最小，此时k二乔吕得3a+1—4，得a=1.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题7.B解析：B

【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可.详解:由于f(x)=3+logx,x>02x2【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可.详解:由于f(x)=3+logx,x>02x2—x—1,x<0当x>0时，3+log2x<5,即log2x<2=log24，解得0Vx<4,当x<0时，x2-x-l<5，即(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<0,・•・不等式f(x)<5的解集为［-2,4］，故选B.点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的8.C解析：C【解析】试题分析:二4二10'・•・{a+2d二21a+3d二510x9.・.S二10a+xd=—40+135二95.1012考点：等差数列的通项公式和前n项和公式.9.B解析：B【解析】【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为y=2x—z,(x+y—7=0联立］$，解得(5,2).Ix—3y+1=0

由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，z有最大值2x5-2=8.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.10．D解析：D【解析】由a（a+b+c）+bc=4—2\；'3,得（a+c）・（a+b）=4—2.Ta、b、c>0./2a+b+c、2.•.（a+c）・（a+b）W（当且仅当a+c=b+a,即b=c时取“="）,I2丿2a+b+c>2'4—2\3=2（\：3—1）=2和'3—2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误11．A解析：A【解析】sin（A+C）+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC所以2sinBcosC=sinAcosCn2sinB=sinAn2b=a，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到a=2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.12．C解析：C解析】分析】由已知条件推导出（n2-n）d<2n2d，从而得到d>0,所以a7<0,ag>0,由此求出数列{Sn}中最小值是S丁【详解】•.•(n+1)S<nS,,nn+1nan+1Vna1+n2d,AS<nan+1Vna1+n2d,n(n-1)d艮卩na+—12整理得(n2-n)d<2n2d*.*n2-n-2n2=-n2-n<0

.*.d>0V-ivoa7.\an<0,a。>078数列的前7项为负，故数列｛Sn｝中最小值是s7故选C.【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用.二、填空题13.-7【解析】设公比为q则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3二q6-lq3-l二q3+l=-8+1=-7解析：-7【解析】、4.a%申一I设公比为q,则创门灯心H,所以y'吐.也tr-114.1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列｛log99a｝是以loga=log99為=丄为首项，以99土为99n9919999"99公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解.【详解】=aloga，199n-1得lOg99a=aloga，199n-1得lOg99a=9999，nn-1loga99_l=aloga199n-1则数列｛log。/｝是以log99n99a1=陀999则数列｛log。/｝是以log99nloga99loga99100=丄-(99^)99=1.99故答案为：1.【点睛】7171本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．15．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：-3,4【解析】【分析】根据题意，化简得a-1=a2-a2，利用式相加，得到S-a-12=a2-a2，进而得n+1n+1n131131到a2-a-12=0,即可求解结果.11【详解】因为a2一a=a2一1，所以a—1=a2—a2，TOC\o"1-5"\h\zn+1n+1nn+1n+1n所以a—1=a2—a2,a—1=a2—a2,…，a—1=a2—a2，221332131312将以上各式相加，得S-a-12=a2-a2，131131又S=a2，所以a2—a—12=0，解得a〔=—3或a1=4.13131111【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：・・・・・・・・・故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角【解析】分析：利用面积公式S=2absinC和余弦定理结合可得.absinC.2详解：由S=*C2+b2—cabsinC.24余弦定理：a2+b2—c2=2abcosC，可得：x2abcosC二4absinC,2tanC=%3,•/0<C<n，故答案为：点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现a2+b2-c2，因此联想余弦定理a2+b2-c2=2abcosC，由于要求C角，因此面积公式自然而然选用S=2absinC.许多问题可能比本题要更复杂，故答案为：目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．17.3【解析】【分析】由acosB=5bcosA得由asinA-bsinB=2sinC得解方程得解【详解】由acosB=5bcosA得由asinA-bsinB=2sinC得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3【解析】【分析】由acosB—5bcosA得a2—b2=3c2，由asinA-bsinB—2sinC得a2—b2=2c，解方程得解.【详解】,/口a2+c2—b2—b2+c2—a272由acosB—5bcosA得a-=5b-a2—b2=c2.2ac2bc3由asinA-bsinB—2sinC得a2—b2=2c，2所以2所以3c2=2c，=c=3.故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z记函数f(x)=(1+x)i+(1+x)2+•••+(1+x)n=a+ax+ax2+•••+axn，012nf(1)=a+a+a+…+a=2+22+•••+2n，利用等比数列求和公式即可求解.012n【详解】由题：记函数f(x)=a+ax+ax2++axn=(1+x)1+(1+x)2++(1+x)n，012n

f(1)=a+a+aHFa=2+22hf2n012n2(1-2n)1-2即2n+1—2=1022,22(1-2n)1-2故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.19．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解解析：25【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z343利用1的代换，将求式子一+〒的最小值等价于求(一+)(a+3b)的最小值，再利用基本abab不等式，即可求得最小值.【详解】434312b3a因为—+—=(-+—)(a+3b)=4+9+——+—>13+2ababab3a:ab=25，等号成立当且仅当a=3a:ab=25，故答案为：25.【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.20.10【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式等差数解析：10【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式可得a7=0，结合等差数列的性质即可求得k的值.【详解】因为S=a+a+a+…a91239S=a+a+a+a，且S=S4123494所以a+a+a+a+a=056789由等差数列性质可知a7=0因为a+a=0k4所以a+a=a+a=0k477则根据等差数列性质可知k+4=7+7可得k=10【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题.三、解答题21.⑴a=2厂1⑵S=n2+2n-1nn【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.⑵结合(1)的结果首先确定数列(b｝的通项公式，然后分组求和即可求得数列｛〃｝的前nnn项和S.n【详解】(1)设等比数列｝的公比为q，则a2=q,a=q2,n23・・・a。是a和《―1的等差中项,213.・.2a=a+(a-1),即2q=1+(q2-1),解得q=2,(2)b=2n-1+a=2n-1+2n-1,nn贝yS=[1+3+・…+(2n-1)]+(1+2++2n-1)n[1+(2n-1)]1-2nL2r1-2=n2+2n-1.【点睛】数列求和的方法技巧：倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.22.(1)50；(2)30【解析】【分析】【详解】【详解】【详解】【详解】【详解】【详解】(1)根据条件结合等差数列的性质可得a+a=6,再根据｛a｝的所有项和为150，即可求出(1)根据条件结合等差数列的性质可得a+a=6,再根据｛a｝的所有项和为150，即可求出1nn项数n的值;⑵根据⑴求出｛a｝的首项q和公差d,然后将a+a+…+a用a和d表示,再求出其值.n12122301【详解】解：(1)由题意，得a+a+a+—+a=10,a+a+a+—+a=50,12310nn-1n-2n-9・(a+a)+(a+a)+(a+a)—+(a+a1n2n-13n-210n-9)=60根据等差数列性质，可知a+a=a+a=a+a=1n2n-13n-2・10(a+a)=60,・a+a=6,1n1n又｛a｝的所有项和为150,・「"丿=150,n2・•・n=50,即数列｛a｝的项数为50.n•二a+a10n-9'(2)由(1)知,Sai+a50=6[2a+49d二6“10x9』即仁1丄"。，・•・10a+d=10I2a+9d=212i11a=:120d=1,10・a+a+a+—+a=5(a+a)212223302130(111)(2010丿.=5(2a+49d)=5【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了转化思想和方程思想,属基中档题.23．(2)S△=座ABC4解析】分析】1)由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1)由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：结合范围AAe(0,兀)，进而可求A的值．兀(2)在AADC中，由正弦定理可得sinZCAD=1，可得ZCAD^-，利用三角形内角和2定理可求ZC,ZB，即可求得AB=AC=运，再利用三角形的面积公式即可计算得解．

(1)Ta('3sinB-cosC)=(c-b)cosA,・••由正弦定理可得：J3sinAsinB—sinAcosC=sinCcosA—sinBcosA,・•・可得：\3sinAsinB+sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，可得：sinB(,3sinA+cosA)=sinB,sinB>0,可得：.・.\/3sinA+cosA=2sinA+—=1,可得：I6丿・.・Ae(0,兀),6丿a兀5兀人2兀・•・A+6=T，可得：A二T・兀(2)・b»3，点D在BC边上，CD=2,AADC=—,・••在^ADC中，由正弦定理AC

sin・••在^ADC中，由正弦定理AC

sinZADCCDsinZCAD可得：<3_2長_sinZCAD，可得:TsinZCAD=1，兀兀・・.ZCAD=—，可得：ZC_兀-ZCAD-ZADC_—，26兀.・・ZB=^-ZA-ZC=—，6AB_AC_和3，・・・S=1AB-AC-sinA_1八込x丫3x叵_.△ABC2224【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．4+(3n—4)•4n24.(1)a_4n-1,neN*；(2)T_nn9【解析】【分析】设公比为q，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式;求得(n-1)a_(n-1)-4n-1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公n式，化简可得所求和．⑴设公比q为4的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4二辽a(1—44)可得—=85'解得a1-则a=4n-1,ngN*；n(2)(n-1)a二(n-1)-4n-1,n前n项和T=0+1-4+2-42+3-43+...+(n-1)-4n-1,