专题09＋导数与不等式的解题技巧（理）

PAGE27专题09导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式1常用函数的导数①C′＝________C为常数;②′＝________；③2′＝________；④eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,′＝________；⑤eq\r′＝________．2初等函数的导数公式①n′＝________；②sin′＝__________；③cos′＝________；④e′＝________；⑤a′＝___________；⑥ln′＝________；⑦loga′＝__________．5．导数的运算法则1[f±g]′＝________________________；2[f·g]′＝_________________________；3eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\ff（）,g（）′＝____________________________．6．复合函数的导数1对于两个函数y＝fu和u＝g，如果通过变量u，y可以表示成的函数，那么称这两个函数函数y＝fu和u＝g的复合函数为y＝fg．2复合函数y＝fg的导数和函数y＝fu，u＝g的导数间的关系为___________________，即y对的导数等于y对u的导数与u对的导数的乘积．二．题型分析（一）函数单调性与不等式例1．【2022一轮复习】已知函数f＝3＋sin，∈－1，1，则满足fa2－1＋fa－1>0的a的取值范围是A．0，2B．1，C．1，2D．0，【答案】B【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣）＝﹣f（），且f′（）＞0可知函数f（）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围．

【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．练习1．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项【解析】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是D．故选：D．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数如已知是，可构造，可得（二）函数最值与不等式例2．【福建省福州市2022-2022学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可

（四）不等式中存在任意问题例4．【安徽省皖南八校2022届高三第二次（12月联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得若时，，，所以只需，解得当时，成立综上，故选D练习1已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题练习2．函数，，若对，，，则实数的最小值是_________．【答案】14【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f（），g（）的最值，将问题转为求f（）min≥g（）min即可．【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需f（）min≥g（）min即，故答案为：14练习3．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是________．【答案】【解析】存在，使得对任意的，恒成立，即

，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由

，可求得的范围；【详解】的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即

，，当时，为减函数，，∴，，∴故答案为：【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。（五）数列与不等式例5．【湖北省武汉市2022届12月高三数学试题】等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】设f（）=32022判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断a8a2022=2，且a2022＜a8，推出结果．

故选：A．【点睛】本题考查构造法的应用，利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，数列与函数相结合，考查计算能力．已知函数在处的切线方程为1求函数的解析式；2若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值；3数列满足证明：①；②【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析【解析】（1）把=3代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于a，b方程，再由得另一方程，联立求解a，b的值，则函数解析式可求；（2）把（1）中求出函数f（）的解析式代入方程f（）=e，然后转化为=e﹣（2﹣1），然后利用导数求函数的极值，根据函数的极值情况，通过画简图得到使方程=e﹣（2﹣1），即方程f（）=e恰有两个不同的实根时的实数的值；（3）①利用作差法证明即可；（2）由得到，分别取n=1，2，…，代入后化简，则的整数部分可求．【详解】1,依题设,有即，解得，∴2方程,即,得,记,则令,得∴当时,取极小值；当时,取极大值作出直线和函数的大致图象,可知当或时,它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根3①证明,得,又∴,∴②由,得,,即：,【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数列的和，解答此题的关键在于构造函数，然后利用导数分析函数的极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况，是难度较大的题目．（六）极值点偏移与证明不等式例6．【福建省福州市2022-2022学年高三第一学期质量抽测】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析【解析】（1）求出的导数，求得切线的斜率，由得切点由点斜式方程可得切线的方程；（2）（ⅰ）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可（ⅱ）先由（ⅰ）得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合，只需证明再构造，结合单调性即可证明结论．【详解】（1）解：由已知得，∴∴，又∵，曲线在点处的切线方程为：（2）（ⅰ）令，∴，由得，；由得，易知，为极大值点，又时，当时，即函数在时有负值存在，在时也有负值存在由题意，只需满足，∴的取值范围是：（ⅱ）由题意知，，为函数的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，只需证明，而，所以，只需证明令，则∴∵，∴，即所以，，即在上为增函数，所以，，∴成立所以，【点睛】本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，教学中的重点和难点．练习1．已知函数的极小值为（1）求的值；（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出后把用，表示，再把与作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0，从而得到，运用同样的办法得到，最后得到要证的结论【详解】（1）显然，，令，解得当时，若，为减函数；若，为增函数,∴在处取得极小值，∴解得当时与题意不符，综上，（2）由（1）知，，∴,∴，即=设，则再设，则，在上是减函数∴，即，又∴，即，∴，∴,同理可证得,∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数和，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．练习2．已知函数，Ⅰ当时，求函数在区间上的最值；Ⅱ若，是函数的两个极值点，且，求证：【答案】Ⅰ最小值为，最大值为；Ⅱ证明见解析。【解析】（Ⅰ）求出函数f（）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．（Ⅱ）1，2是函数的两个极值点，所以（1）＝（2）＝0．令通过及构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出,所以，即可证明结论．【详解】Ⅰ当时，，函数的定义域为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增所以函数在区间上的最小值为，又，显然所以函数在区间上的最小值为，最大值为

当，，函数单调递减；所以函数的最大值为。所以当直线与函数图像有两个不同的交点时，，且要证，只要证，易知函数在上单调递增，所以只需证,而，所以即证，记，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以当时所以，因此练习3已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】1首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；2根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果【详解】（1）的定义域为，（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减（ii）若，令得，或当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确练习4已知函数．（1）求的单调区间；（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）求导数后根据a可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;（2）由（1）有极值，则，由题设化简得，作差比较，构造函数，利用导数可得，进而可得，再利用由知在上是减函数，即可得出结论【详解】（1）的定义域为，①若，则，所以在上是单调递增②若，当时，，单调递增当时，,单调递减2由（1）当时，存在极值由题设得

又，

设则令，则所以在上是增函数，所以又，所以，因此即又由知在上是减函数，所以，即（七）构造函数例7．【河北省衡水中学2022届高三第一次摸考】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析【解析】1求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论【详解】（1）函数的定义域为，若，，则在区间内为增函数；若，令，得则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数（2）当时，不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即下面证明当时，恒成立设，则，故在区间内为增函数，，即，所以【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明练习1设函数（1）若恒成立，求的取值范围；（2）对函数图像上任意两个点，，设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】（1）恒成立即，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；（2）由要证，即证，令，，即证【详解】（1）解法一：，，在为减函数，在为增函数∴，由已知，所以所求范围为解法二：由，有，∵，∴恒成立，，，易知在为减函数，在为增函数，，∴（2）证明：∵，∴，要证，即证∵，只要证，即证令，，即证，也即证设，，∵∴在为减函数故，即，所以成立【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略1构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数练习1已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值；Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．【答案】Ⅰ4；Ⅱ；证明见解析【解析】Ⅰ求出函数的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出即可；Ⅱ化简恒成立的不等式为，得到令，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到，然后求解的范围；Ⅲ，是函数的两个零点，可得，构造函数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论．【详解】Ⅰ函数的定义域为

因为，所以在内，，单调递增；在内，，单调递减．所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值．因为函数的最大值为3，所以，解得

Ⅱ因为当时，恒成立，所以，所以，即．令，则

因为，所以．所以在单调递增

所以，所以

，所以即实数的取值范围是；Ⅲ由Ⅰ可知：，．所以

因为，是函数的两个零点，所以．因为

令，则．所以在，，单调递减．所以．所以，即．由Ⅰ知，在单调递增，所以，所以【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立即可或恒成立（即可）；②数形结合图象在上方即