多项式的分解式

多项式的标准分解式在求最大公因式中的应用***(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首，416000)摘要:由于一个多项式可以分解成若干个不可约多项式的乘积，若已知两个多项式的标准分解式，那么就很容易得到两个多项式的最大公因式.关键词:最大公因式；标准分解式Theapplicationofthestandardpolynomialingreatestcommonfactor***(Collegeofmathematicsandcomputerscience,JishouUniversity,JishouHunan416000)Abstract:Becauseofapolynomialcanbedecomposedintoanumberofirreduciblepolynomialsoftheproduct,ifthetwopolynomialsareknowntothestandarddecompositionoftype,thenitiseasytoobtainthegreatestcommonfactoroftwopolynomials.Keywords:greatestcommonfactor,thestandardfactorization正文1引言：由高等代数与解析几何书中，我们可以看到多项式的最大公因式的另一种表示方法：.设f(x),g(x)eK[x],且在数域K上有以下分解式：f(x)=cpr1(x)pr2(x)p’s(x),r>0,i=12・・.s.12s1g(x)=cpt1(x)pt2(x)…pt、(x),t>0,1=12・・・s.12s1则(f(x),g(x))=p血卜)pmin确}…pminL，t」其中P(x),p(x)・・・p(X)为首项系12s'、12s数为一的不可约多项式.书中只是将这个结论及其证明板书了出来，但对其的应用却只字未提，所以我写此文主要想介绍一下它的应用.一•预备定理：多项式的最大公因式：设f(x),g(x)eK[x],如果多项式d(x)eK[x],且具有以下两个性质：(!)d(x)为f(x)与g(x)的公因式；(2)f(x)与g(x)的公因式均为d(x)的公因式.则称d(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式.同时我们约定，用：(f(x),g(x))来表示首项系数为1的那个最大公因式，且当f(x)=g(x)=0时，规定(0,0)=0.多项式的标准因式分解式：对任意多项式f(x)eKL],它在数域K上有以下分解式：f(x)=cpri(x)pr2(x)…PL(x),r>0,i=12・・.s.

12s1其中pi(x),p2(x)-^Ps(x)为数域K上首一的不可约多项式.2.主要方法的证明与应用2.1命题1.设f(x),g(x)K[x],且在数域K上有以下分解式：f(x)=Cpr1(x)pr2(x)prs(X),r>0,1=12^8.TOC\o"1-5"\h\z12S1g(x)=Cpt1(x)pt2(x)…pt、(x),t>0,i=12・・・s.12s1贝U(f(x),g(x))=pmin{r1，t1)(x)pmin々,『(x)…pmin%,t)(x),其中12s'、p(x),p(x).p(x)为首项系数为一的不可约多项式。12s证明：不妨令pmin、1)(x)pminZ’jG)…pminR"G)=d'(x),而设12s(f(x),g(x))=d(x).,「min{r,t}<r.且min4,t}<J(1=12.s)「•有d'(x)|f(x)且d'(x)|g(x)「・d'(x)为f(x)与g(x)的公因式.则由最大公因式的定义可知：TOC\o"1-5"\h\zd'(x)|(f(x),g(x))=d(x)(1)又・.・d(x)可以表示成以下分解式：d(x)=pk1(x)pk2(x)…pk(x),(k.为非负的整数，i=1,2・・・s)则由(1)式可知：min{,r}<k.,(i=1,2・・・s)(2)又由最大公因式d(x)|f(x),d(x)|g(x)则有k<t且k<r(i=1,2・・・s)iiiik<min{,r}(i=1,2.・・s)(3)则有(2)(3)两式可得：min(t,r}=k(i=1,2・・・s)iii所以可得：(f(x),g(x))=p血n卜}(x)pmin42，r2}(x)•••pmin上,rs}(x),其中p(x),p(x)…12s'、12p(x)为首相系数为一的不可约多项式.s「・命题2.1结论成立.小结：上述命题所得的结论只能从理论上将两个多项式的最大公因式表示出来，若要将两个多项式的最大公因式具体的求出，那么上述方法就行不通了，这主要是将多项式表示成标准分解式所需的不可约多项式不易求出.但上述方法在解决一些理论问题上却很大的功效，下面我通过几道例题来说明这个道理.TOC\o"1-5"\h\z例1证明：如果f(x)|g(x)，f(x)|g(x)，且(f(x)，f(x))=1，1212那么f(x)f2(x)|g(x).证明：f(x)，f2(x)，g(x)可以分解成以下式子：f(x)=cpr1(x)pr2(x)…prs(x),r>0,i=12・3.112s1f(x)=cpt1(x)pt2(x)…pts(x),t>0,i=12・・・s.212sig(x)=c3pk1(x)pk2(x)…pk(x),k.>0i=12・・・s.其中p1(x),p2(x)・・・ps(x)为首项系数为一的不可约多项式.・f(x)|g(x)则min(r,k)=r,(i=1,2・・・s)⑴1iiif(x)|g(x)则min(t,k}=t,(i=1,2・・・s)⑵2iii

而由命题2.1可知：'min2(f(x),f(x))=pmin如「［)p121又...(f(x),f(x))=1「•min(x)=ccpr+t(x)pr+t(x)pr+t(X),TOC\o"1-5"\h\zp11p22$$1212$由(3)式可知：ri和J中至少有一个为0(i=1,2—s)贝Ur+1=r或r+1='min2又...(f(x),f(x))=1iiiiii由(1)(2)(4)式可知：min(k,r+1)=r+1,(i=1,2^s)iiiii而(f(x)f(x),g(x))=pmin"1+"「}(X)pminZ+t2,k2}(X)…TOC\o"1-5"\h\z1212"in4+tk}(X}="r+tJ”r+t(有…〃r+t(0=11f^)f^)pminYF，K$)(X)pr1+t1(X)pr2+t2(x)pr+t,(X)f(X)f(X)遥遥遥$12$cc12f(x)f2(x)|g(x),「・命题得证.上述方法虽然略现复杂，但它在解题的思路上较为清晰，明了.所以此法不失一种解题之道.例2.2证明：如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么(f(x),g(x)h(x))=1对于此题我想用两种方法来证明上述问题，以说明利用命题2.1的结论有时能够起到化繁为简的作用.法(一)，证：由(f(x),g(x))=1可知：存在多项式u(x),v(x)使得：TOC\o"1-5"\h\zu(x)f(x)+v(x)g(x)=1(1)同理可得：存在多项式u'(X),材1)使得：uk)f(x)+v'(X)h(x)=1(2)为了构造u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1的形式所以将(1)(2)式进行适当的变形得：u(x)f(x)-1=-v(x)g(x)(3)u'(x)f(x)-1=-v'(x)h(x)(4)(3)x(4)得：(u(x)f(x)-1)(u'(x)f(x)-1)=v(x)v'(x)g(x)h(x)

经化简得：(u(x)+u'(x)一u(x)u'(x)f(x))f(x)+v(x)v'(x)g(x)h(x)=1不妨令：u(x)=(u(x)+u'(x)-u(x)u'(x)f(x))v(x)=v(x)v'(x)则存在u0(x),v0(x)使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1所以：(f(x),g(x)h(x))=1..•上述命题成立.法(二)：证：令f(x)=cpri(x)pr2(x)pr(x)，尸为非负的整数，i=1，2…STOC\o"1-5"\h\z1112sif(x)=cp，1(x)p/x)...pts(x).t为非负的整数，i=1,2.s.2212sih(x)=c3p](x)p；2(x)…p\3),七为非负的整数，i=1，2...S.其中c,c,c为非零的常数，p(x),p(x)...p(x)为首项系数为一的不可约多12312S项式.由命题2.1的结论可知：(f(x),g(x))=pmin{r1,t1)(x)pmin»2/2}(x)•…pmin}(x)12s(f(x),h(x))=pmin»/]}(x)pmin»2,2}(x)•…pmin»/」(x)12s■■又由(f(x),g(x))=1，(f(x),h(x))=1则有minb,t}=0,min{r,l}=0(i=1,2・・・s)(1)而g(x)h(x)=ccpt1+l1而g(x)h(x)=ccpt1+l1(x)pt2+l2(x)…pyis(x)现要证(f(x),g(x)h(x))二1只要证min{r,t+1}=0(i=1,2・・・s)⑵则由(1)式可知：当r=0时（i=1，2・・・s），由于t,l为非负的整数，此时（2）式显然成立.iii当r^0时（i=1，2・・・s），由于t,l为非负的整数，则由（1）式可得：iiit=l=0（i=1，2・・・s）则此时(2)式依然成立./.无论尸为何值，均有minb,t+1}=0(，=1,2...s)(3)TOC\o"1-5"\h\ziiii・.・由命题2.1的结论可知：(f(x).g(x)h(x))=pmin{r,t+1)(x)nmin{r,t+1)(x)…nmin\r,t+l}(X)\J\^7,glH人〃p广11l人Jp2,22l人/pss\^/12s其中p(x),p(x).・.p(x)为首项系数为一的不可约多项式.12s而由(3)式