高二【数学(人教A版)】《空间向量及其线性运算》【教案匹配版】 课件

空间向量及其线性运算年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：学校：空间向量及其线性运算年级：高二1高二【数学(人教A版)】《空间向量及其线性运算》【教案匹配版】课件2问题1我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？问题1我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面3平面向量的概念空间向量的概念

追问(1)平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？

平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.

空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.平面向量的概念空间向量的概念4追问(2)如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？

追问(2)如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空5平面向量的表示法空间向量的表示法

(1)有向线段(1)有向线段A(起点)B(终点)a(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y，z)acb印刷体：a手写体：平面向量的表示法空间向量的表示法(1)有6追问(3)从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？追问(3)从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.7平面向量的相关概念

零向量：单位向量：相等向量：相反向量：共线向量：平面向量的相关概念零向量：单位向8平面向量的相关概念空间向量的相关概念

模为0的向量，记作

0；零向量的方向任意；模为1的向量；模和方向都相同的两个向量，记作a＝b；模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b；零向量：单位向量：相等向量：相反向量：平面向量的相关概念空间向量的相关概念模为09平面向量的相关概念空间向量的相关概念

共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定，零向量和任意向量共线.共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定，零向量和任意向量共线.平面向量的相关概念空间向量的相关概念共线10问题2

在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？问题2在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的11追问(1)

平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算.先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律.追问(1)平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？12追问(2)

平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？追问(2)平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分13平面向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；b平面向量的线性运算(1)加、减运算：求14平面向量的线性运算

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：平面向量的线性运算15转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算ab.Oα转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算ab.Oα16平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；b平面向量的线性运算空间向量的线性运算(117平面向量的线性运算空间向量的线性运算

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：平面向量的线性运算空间向量的线性运算18追问(3)

平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？

追问(3)平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出19平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算(320平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算(321追问(4)

空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？追问(4)空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异22平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.(3)运算律：(3)运算律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算①交23追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？acb24追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记则a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？acb在平行六面25一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以26问题3平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？问题3平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向27追问(1)

你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？平面向量共线的充要条件空间向量共线的充要条件

对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对28追问(1)

你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ，使得=λa.也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对29追问(2)

任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.ab.Oαcp如何判断三个向量是否共面呢？

追问(2)任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，30追问(3)

你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ab.Oαpp＝xa+yb追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向31平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.平面向量基本定理若向量32追问(3)

你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系吗？ab.Oαp若p在α内，则有p＝xa+yb；p若p＝xa+yb，则p在α内.追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向33平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：

p＝xa+yb.空间向量共面的充要条件ABC平面向量基本定理若向量34问题4

如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.问题4如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作35追问(1)

如何证明E

，F

，G

，H四点共面？追问(2)

如何证明这三个向量共面？根据向量共面的充要条件，用表示即可.可以通过证明这四点构成的三个向量，如共面，来证明这四点共面.追问(1)如何证明E，F，G，H追问(2)如何证明36追问(3)

如何实现上述表示？把根据三角形法则，把分别用等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化为用

来表示的形式.而由平行四边形ABCD，得到，从而可以得到的关系，进一步得到的关系，最终用表示.追问(3)如何实现上述表示？把根据三角形法37证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以.因此，因此，共面，即

四点共面.因为，所以证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以38

选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是用向量解决立体几何问题的常用方法.选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量39问题5

回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1空间向量及线性运算(1)空间向量的概念：定义；表示法；相关概念.(2)空间向量的线性运算：加、减、数乘运算及其运算律.(3)线性运算的应用：直线的方向向量；向量共面.2类比平面向量的研究方法类比猜想证明或转化推广问题5回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1空间向40课后作业本节教材P5-P6课后练习；复习平面向量的数量积运算相关内容.课后作业本节教材P5-P6课后练习；41空间向量及其线性运算年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：学校：空间向量及其线性运算年级：高二42高二【数学(人教A版)】《空间向量及其线性运算》【教案匹配版】课件43问题1我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？问题1我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面44平面向量的概念空间向量的概念

追问(1)平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？

平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.

空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.平面向量的概念空间向量的概念45追问(2)如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？

追问(2)如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空46平面向量的表示法空间向量的表示法

(1)有向线段(1)有向线段A(起点)B(终点)a(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y，z)acb印刷体：a手写体：平面向量的表示法空间向量的表示法(1)有47追问(3)从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？追问(3)从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.48平面向量的相关概念

零向量：单位向量：相等向量：相反向量：共线向量：平面向量的相关概念零向量：单位向49平面向量的相关概念空间向量的相关概念

模为0的向量，记作

0；零向量的方向任意；模为1的向量；模和方向都相同的两个向量，记作a＝b；模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b；零向量：单位向量：相等向量：相反向量：平面向量的相关概念空间向量的相关概念模为050平面向量的相关概念空间向量的相关概念

共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定，零向量和任意向量共线.共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定，零向量和任意向量共线.平面向量的相关概念空间向量的相关概念共线51问题2

在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？问题2在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的52追问(1)

平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算.先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律.追问(1)平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？53追问(2)

平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？追问(2)平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分54平面向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；b平面向量的线性运算(1)加、减运算：求55平面向量的线性运算

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：平面向量的线性运算56转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算ab.Oα转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算ab.Oα57平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.法则：三角形和平行四边形法则；b平面向量的线性运算空间向量的线性运算(158平面向量的线性运算空间向量的线性运算

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)数乘运算：平面向量的线性运算空间向量的线性运算59追问(3)

平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？

追问(3)平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出60平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算(361平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算(362追问(4)

空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？追问(4)空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异63平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.(3)运算律：(3)运算律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的线性运算空间向量的线性运算①交64追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？acb65追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记则a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？acb在平行六面66一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.追问(5)

如何证明空间向量的加法结合律呢？acb一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以67问题3平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？问题3平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向68追问(1)

你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？平面向量共线的充要条件空间向量共线的充要条件

对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对69追问(1)

你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ，使得=λa.也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对70追问(2)

任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.ab.Oαcp如何判断三个向量是否共面呢？

追问(2)任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，71追问(3)

你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ab.Oαpp＝xa+yb追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向72平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.平面向量基本定理若向量73追问(3)

你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系吗？ab.Oαp若p在α内，则有p＝xa+yb；p若p＝xa+yb，则p在α内.追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向74平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(