06至浙江省高等数学竞赛工科类试题

2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解:。2、求解:..3、求解:..4、求过解:令则且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.,,令所求平面方程为:,在曲面则上取一点上取一点,则切平面的法向量为,在曲面,则切平面的法向量为,则.解得:即所求平面方程为:.二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解:当,当,且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解:当时,故中的系数为.四、(20分)计算,其中是球面与平面的交线.解：而,,,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性由于,则,.充分性;要证明,不等式显然成立;,只需证明:,这里,若即只需证明:,而,故只要说明:,即,当时,显然成立;时,也成立,即时,假设当当;.六、(15分)求最小的实数,使得满足解:的连续函数都有.,取,显然,而,取而,显然,,故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求解:.。2、求解:..3、求的值,使解:.被积函数是奇函数,要积分为零,当且仅当积分区间对称,即:,解得:.4、计算.解:,其中如右图.5、计算解:,其中为圆柱面.被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求:(1);(2).解:(1),;(2)(图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，若在轴正向上，求：重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为：，化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为：.四、(20分)求函数值.,在的最大值、最小解：由于具有轮换对称性,令,或解得驻点:或对,,在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数数.的系数满足,,,求此幂级数的和函证明：而,即:一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解为:,由于,解得,故的和函数.六、(15分)已知(1)证明:二阶可导,且,,,.(2)若,证明.证明:(1)要证明,只需证明,也即说明是凹函数,,,故是凹函数,即证.(2),即:.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)(一.计算题1、求解:.。2、计算解:.。法二：，令。3、设，求.解:,则，则被积函数是奇函数,要积分为零,当且仅当积分区间对称,即:,解得:.4、计算.解:,其中如右图.5、计算解:,其中为圆柱面.被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求:(1);(2).解:(1),;(2)(图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，若在轴正向上，求：重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点（3）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（4）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为：，化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为：.四、(20分)求函数值.,在的最大值、最小解：由于具有轮换对称性,令,或解得驻点:或对,,在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数数.的系数满足,,,求此幂级数的和函证明：而,即:一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解为:,由于,解得,故的和函数.法二：，同学们自行完成。六、(15分)已知(3)证明:二阶可导,且,,,.(4)若,证明.证明:(1)要证明,只需证明,也即说明是凹函数,,,故是凹函数,即证.(2),即:.2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限解=====2．计算不定积分解==3．设，求解=4．设，，求此曲线的拐点解，，令当当得时，，时，，，当时，因此拐点为5．已知极限，求常数的值解===1于是，由，得另解＝1二、（满分20分）设，证明：当时，证设则由，且，，知当时，。又设则，所以从而,,不等式得证.三、（满分20分）设，求的最小值，故当证当时，，，，时单调增加；当当时，故当时单调减少；时，，=。由故得。当时，，当时，，是的极小值点，又=，故的最小值为四、（满分20分）=五、（满分15分）设，证明：（1）为偶函数；（2）证（1）（2）=六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解证设则，在上连续，在，当内可导，时，，是方程的解；当又时，，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2．计算3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。5．设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下：，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿曲线向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r(t)随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空